复合函数与分段函数

一、复合函数与抽象函数

1.复合函数：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数f(g(x))为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内函数，y=f(x)叫做外函数

2.抽象函数：抽象函数是指没有给出具体解析式的函数

求抽象函数定义域的方法：

①已知函数f(x)的定义域为A，求函数f(g(x))的定义域：其实质是已知g(x)∈A，求x的取值范围

例1：若函数f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x-1)的定义域

②已知函数f(g(x))的定义域为A，求函数f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g（x）的取值范围，此范围就是f(x)的定义域

例2：已知f(x+3)的定义域为[-4,5],求f（x）的定义域

例3.已知函数f(x+3)的定义域为[-4,5],则函数f(2x-3)的定义域是________

例4.已知函数f(x)的定义域是[-1,0]，则函数f(2x+1)的定义域为_______

例5.已知函数f(x+3)的定义域为[-5，-2]，求函数f(x+1)+f(x-1)的定义域

二、分段函数

1.分段函数的概念

在函数定义域内，对于自变量x 的不同的取值范围，函数有着不同的对应关系，这样的函数

就称为分段函数。如f(x)={−1，x ≥01，x ＜0

（1）分段函数虽然由几个部分组成，但它仍是一个函数，而不是几个函数

（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的 如，函数y={1，−2≤x ＜0x ，0

（3）写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏

（4）处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值食欲那个区间，再取相应的对应关系

（5）分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集，值域是各段函数值的并集

例1若函数f(x)={

2x +3,x ≤23x −5，x ＞2，则f(f(1))的值_____

2.分段函数的图像

做分段函数图像时，要特别注意分界点的虚实

如：y={1，>00,x =0−1,x <0

若函数f(x)={x +4,x ≤0

x 2−2x ，0＜x ≤4−x +2，x ＞4

，

（1）求f(f(f(5)))的值

（2）若f(x)=4，求x 的值

（3）画出函数f(x)的图像