(完整版)波利亚的解题理论

波利亚的解题理论

一、波利亚的生平及主要著作

对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”

要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表200多篇论文和许多专著。他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。

《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。著名数学家范。德。瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。

二、波利亚对数学教育的基本看法

波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。在他看来，中学数学教育的根本目的就是“教会学生思考”，意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他应

该强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维。教师要努力做的就是“教学生证明问题，甚至也教他们猜想问题”，启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。当然，他也强调数学教育中培养学生的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感体验等非智力品质的重要性。因为，需要有一定的意志品质的，并不是说在玩中就能学会解题，要学好数学毕竟不是一件轻轻松松的事情。

波利亚将学生依照未来的职业分为三类：数学家(包括理论物理学家、天文学家及某些专门研究领域里的工程师)约占1%，用到数学的人(工程师、科学家及一些社会科学家、数学教师。科学教师等)约占29%，不用数学的人(实业家、律师、牧师等)约占70%，他指出数学教育应当符合于两个原则：

第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么。

第二，那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教育使他们嫌弃数学。

波利亚的数学教育宗旨是：“教会思考”，“培养创造精神”，“倡导探索式教学”，既注重智能因素的培养，又不忽视非智能因素的作用。

为了教会学生思考，教师在教学时应遵循学习过程的三个原则：

1．主动学习原则。“学东西的最好方式是发现它”“亲自发现能够在你脑海里留下一条小路；今后一旦需要，你便可以再次利用它。”因而，教师应该“尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的东西。”思想应在学生头脑里产生，教师则只起助产士的作用。

2．最佳动机原则。为了使学习富有成效，学生应该对学习倍感兴趣并且在学习活动中寻求欢乐。最佳的刺激应该是对所学知识的兴趣。另外，还可以在学生做题之前，让他们猜测学习的结果。（使学生感兴趣的学习材料是教学内容本身的内在魅力，而最佳动机则是学生期望在学习、探索这种强烈心智活动中找到乐趣的心理状态。）

3．循序渐进原则。学习过程是从行动和感知开始的，进而发展到词语和概念，以养成合理的思维习惯而结束。波利亚把人类学习全过程分为三个阶段：探索、形式化（阐明）和同化（吸收）。探索，是对事物的观察和初步了解，处于

比较直观和启发式的水平上（按：这是起始的感性学习阶段）；形式化，是对所接触的事物进行了分类整理，引入了适当的定义、术语，认识了其中的规律性，上升到较为概念化的水平上（按：这是学习的理性思维阶段）；同化，学习者（按：指学习者即学生）已经消化了学习材料，事物的规律性在更广的范围内被认识、推广和应用（按：这是学习的感性与理性相结合的高级阶段）（把所学的知识都在头脑里消化了，然后吸收到自己的知识系统中来，扩大智力的范围。）。

波利亚认为学习的三条原则同时也是教学的三条原则，并以教学的三条原则为基础结合长期教学经验，给数学教师提出了十条建议。

（1）对自己的科目要有兴趣；

（2）熟知自己的科目（按：即教师应有尽可能高的数学修养）；

（3）懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径是亲自独立地发现其中的奥妙。

（4）努力观察学生的面部表情，察觉他们的期望和困难，设身处地地为学生考虑；

（5）不仅要传授知识，还要传授技能技巧，培养思维方式及科学的工作习惯；

（6）让学生学会猜想问题（按：即合情推理）；

（7）让学生学会证明问题（按：即逻辑推理）；

（8）从手头的题目中寻找出一些可能用于解今后题目的特征，揭示出存在于具体情况下的一般模式（按：包括两方面：一是重视基本概念、原理，二是学习、总结、掌握解决问题的策略）；

（9）不要把你的全部秘诀一下子倒给学生——让他们猜测一番，然后再讲给他们听——让他们独立地找出尽可能多的东西（按：教师要学会装傻，还要装得象，这样学生才会积极地、兴趣盎然地去自主探索）；

（10）启发问题，而不要填鸭式地塞给学生。

波利亚强调，要成为一个好的解题者，如果“头脑不灵活起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”，“学东西的最好途径是亲自去发现它”，最富有成效的学习是学生自己去探索、去“发现”。只有学习者自己的思维活动起来了，他在学习中才会寻求到快乐。有了成功的经验，他对数学知识本身才可