2018全国3卷第21题与极值点的第三充分条件

淘宝上博约书斋店铺的《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识专门给了极值点2018全国3卷第21题与极值点的第三充分条件

例.（2018全国3卷第21题）已知函数()()()x

x ax x x f 21ln 22-+++=（1）若0=a ，证明：当01<<-x 时，()0x 时，()0>x f ；

（2）若0=x 是()x f 的极大值点，求a

分析：0=x 是()x f 的极大值点，能够推导出()00'=f ，很自然地应该思考：反过来成立吗？()3

x x f =是一个反例。研究数学重要的不是否定一个结论，而是能不能修正使得结论成立。若()00'=f 且()00''

定理1：若()x f 在0x x =处有2阶导数，且()0'0=x f ，()0''0≠x f ，则()x f 在0x x =处取得极值，且当()0''0x f 时取极小值；

如果再追问如果二阶导数也为0呢？研究容易得到极值点的第三充分条件

定理2：若()x f 在0x x =处有n 阶导数，且()()()1,,2,1001-==-n k x f k ，()()00≠x f n ，则

（1）当n 是偶数时，()x f 在0x x =处取得极值，且当()()00x f n 时取极小值；

（2）当n 是奇数时，()x f 在0x x =处不存在极值.

【解析】()()()21

21ln 21'2

-++++++=x ax x x ax x f ，()00'=f ；()()()+++=1ln 21''x ax x f ()()()

2211431ln 2212+++++=-+++x a ax x x a x ax x ，()00''=f ；()()()32311

662+++-+=x a x ax ax x f ，由()()03=x f 得6

1-=a .下证：当6

1-=a 时，0=x 是()x f 的极大值点.

淘宝上博约书斋店铺的《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识专门给了极值点因为()()()()

331631++-=x x x x f ，所以()x f ''在()0,1-单增，在()+∞,0单减进而有()()00''''=≤f x f ，从而()x f '在()+∞-,1单减，当()0,1-∈x 时，()()00''=>f x f ；当()+∞∈,0x 时，()()00''=

评注：当学生学完函数，知道系统性的研究方法，能够从函数的观点来看待问题；当学生研究完一个命题，会很自然地思考：①是否能推广到一般情况；②特殊化之后，能否得到一些常用的结论；③命题有等价形式吗？从数和性两方面来解读，比如函数单增的等价命题有()()02

121>--x x x f x f ，几何意义就是任意两点连线的斜率为正，也有导数为非负数，几何意义是切线斜率为非负数；④反过来，成立吗？即考察一个命题的充分性和必要性。；⑤不仅能判断一个命题是否成立，还能够去适当地修改，使其为真命题等等。

如果学生能够这样思考，并且有所发现，我们认为学生就具有了很好的学科素养。