第八讲：正态分布及随机变量函数的分布

X 100 解： X ~ N (100 ,16 ), 则 ~ N (0,1) 4 X 100 a X 100 a} P { 100 a P{ } P{ X - 100 a} 4 4 a X 100 a a a a 2 1 P{ } 4 4 4 4 4 4
其密度函数在该区间上的积分或
其分布函数在该区间“右端点” b 处 a f ( x)dx F (b) F (a) 的值减去“左端点”处的值
四、常用连续型随机变量的分布（P32） 1、 均匀分布(P32)
1 , a x b 则称 X 服从区间[a, b]上的 f ( x)＝ b a 0，其它 均匀分布。记作X ~U[a, b]
解：
P 36 40 44 48
0.2
0.3 81
0.4 100 121
0.1 144 0.1
Y 4X
P
Z X2
P
0.2 0.3 0.4 0.1
0.2 0.3
0.4
一般地若离散型随机变量X的分布列为： 可记在P39
X Pk
x1
x2 xk
p1
p2 pk
密度函数的性质 (P31-32) (1) 非负性 f ( x)0，(-<x<)； (2)归一性



f ( x)dx ＝ 1.
(3)在f ( x)的一切连续点处有F / ( x)＝f ( x)
（4） 对任意实数b，连续型随机变量取该值
的概率为零，即(-<b<)，则P{ X =b}＝0。
1 3 1 3 1 3
求：Y=X2的分布律 Y Pk Y Pk 1
2 3
1
1 1 3 3
0
1 3
0
1 3
课练：设 X 的分布如下表，求 X 2 和 2 X
1 的分布。
X
P
-1
0.2
0
0.1
1
0.3
1.5
0.3
3
0.1
X2
P
0
0.1
1
0.5
2.25
0.3
9
0.1
2 X 1 -1
P 0.2
1
2(1) -1 2 0.8413 -1 0.6826
85 55 55 X - (2) P{ X 85} 1 P 3} { 10 10
1 (3) 1 0.998650 0.00135
例4：设X ~ N (100,16)，若已知P{ X 100 a} 0.34, P{ X b} 0.3085，求a，b的值。
定义 : 如果连续型随机变量X的概率密度为 f ( x) 1 ( x ) 2 / 2 2 , 其中 0， , 都是常数， 2
则称X服从正态分布。简记为X ~ N ( , 2 ).
( , 称为正态分布的参数) (1) f ( x)关于直线x 对称；当x 时， f ( x) 对应曲线上的点是拐点；x轴是其水平渐近线
(5)如果 X ~ f ( x) 连续型随机变量落入某区间的概
率等于 1.P{ X a} P{ X a}

a

f ( x)dx F (a)
2.P{ X a} P{ X a} a f ( x)dx 1 F (a)
3.P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
0.1
3
0.3
4
0.3
7
0.1
三、连续型随机变量函数的分布
若连续型随机变量X 的分布函数F ( x)或 密度函数f ( x)是已知的, 要求Y ( X )的分布函数G ( x)或密度函数g ( x) 利用G ( x) P(Y x) P[ ( X ) x] 转换为关于X的分布来求出Y的分布
而随机变量Y是X的函数，Y=g(X)，则Y的分布列为： Y Pk
或
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xk )
p1
p2 pk
Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, …
（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）
例6:已知随机变量X的分布列为： X -1 0 1 Pk 解：
随机变量函数的分布
一、 随机变量函数的概念
定义： 设 f ( x) 是定义在随机变量 X的 一切可能值 x 的集合上的函数。如果对于X 的每一 个可能取值 x ，有另一个随机变量 Y 的相应取 值 y f ( x) 。则称 Y 为 X 的函数，记为 Y f ( X ) 。

二、离散型随机变量函数的分布（P39） 例5：测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量 X (为简便起见把它看成是离散型的)，其分布如下表。求周长 Y 与面积 Z 的分布律。 X 9 10 11 12

分布函数的性质(P28) (1)单调不减性：若x1<x2, 则F(x1)F(x2); (2)规范性：对任意实数x，0F(x)1，且
F( ) lim F( x ) 0, F( ) lim F( x ) 1;
x x
(3)右连续性： 即对于任意实数x0有： F ( x0 0) lim F ( x) F ( x0 ).
x x0
若某函数满足上述3条性质，则它一定是某随机变量的分 布函数
二、离散型随机变量的分布函数 一般地，对离散型随机变量，若P{X= xk}＝pk, k＝1,2, … 其分布函数为 pk F ( x) P{ X x} 一般结论：
设随机变量X的分布列为：
k : xk x

X
x1
x2
试求其分布函数F(x)
F ( x)＝P( X x)
x
若随机变量X具有概率密度函数
f (t )dt
0
xa
xa ba 1
a xb
x b
若随机变量X服从区间 [ a, b]上的均匀分布, 则P{c X d }等于区间 [c, d ]包含在[ a, b] 内的 那部分的长占 [ a, b]的总长的比例 .
100 b b 100 1 0.6915 4 4
100 b 0.5 b 98 4
实际中常常有一些随机变量，它们的 分布往往难于直接得到(如滚珠体积的测 量)，但是与它们有关系的另一随机变量 其分布是容易知道的(如滚珠直径测量值)。 因此，要研究由已知的随机变量的分布求 出与之有关的另一随机变量的分布 。
解：P{ X 1.96} (1.96)
1 (1.96) 1 0.9750 0.025
P{1.96 X 1.96} (1.96) (1.96)
(1.96) [1 (1.96] 2(1.96) 1 0.95
教材P163附表1只给出了x 0的情况，若x 0时呢？
三、
连续型随机变量(P30)
定义(P31) ： 对任意实数x，如果随机变量 X 的分布函 数F（x）可以写成
F ( x)＝P( X x)＝
x

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (t )dt
其中f ( x) 0
则称 X 为连续型随机变量， f ( x) 为 X 的 概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为 X ～ f ( x), (-<x<+)
( x)
P( X a) P( X a)
标准正态分布概率计算
例1 ：X ~ N (0,1), 求P{X 1.96}; P{1 X 1.96}. 解：P{ X 1.96} (1.96 ) 0.9750
P{1 X 1.96} (1.96) (1)
X 55 P {) -1 1 } 解： (1) P{45 X 65} F( 65 -F (45) 10
65 - 55 45 - 55 (1) - (-1) - 10 10
(1)在区间［45,65］； (2)大于85千克。
0.9750 0.8413 0.1337
1 分布函数为：( x) P( X x) 2
( x)的值可由教材P163附表1查得

x


t 2 / 2
dt
如果X ~ N (0.1)，则 对于任意非负实数x，
例2：X ~ N (0,1), 求P{X 1.96}; P{1.96 X 1.96}.
一、分布函数（P27）
定义(P27) ： 设 X 是随机变量，对任意实数 x ， 事件 { X x} 的概率 P{X x} 称为随机变量 X 的 分布函数。 记为 F ( x)，即 F ( x) P{ X x}
X
x
P( X a) F (a )
F ( x) P( X a) xlim a
(2) f ( x)在(-， )严格单调上升，在( ， )内 严格单调下降，在x 处取最大值；

的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦，说明随机变量取值越分散 越小，曲线越陡峻，说明随机变量取值越集中。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布

特别( P36)：当 0， 1时的正态分布称为标准正态分布， 1 x2 / 2 记为X ~ N (0,1). 其概率密度为： ( x) , 2 1 x t 2 / 2 其 分布函数为：( x) P( X x) dt 2
( x) 1 - ( x)
当x 0时，( x) P{ X x} P{ X x}
P37
1 P{X x} 1 P{X x}
1 ( x )
一般正态分布概率计算
如果 X ~ N ( , )，其分布函数为F ( x)
( x) 1 - ( x)
P37
a a a 依题意得： 2 1 0.34 0.67 0.44 a 1.76 4 4 4 X 100 b 100 b 100 b 100 同理：P{ X b} P{ } 即 0.3085 4 4 4 4
x
还可得：当0 a b时P(a X b) a b
要求： （1）明确分布函数的含义。 （2） 掌握连续型随机变量的概 率分布密度函数和分布函数及简 单概率计算。 （3）掌握均匀分布和指数分布的 概率计算 。
第八讲 正态分布及随机变量函数的分布 3、正态分布（P35）
…
xK
…
P
其中x1 x2 xk
则X的分布函数为：
0 p 1 p1 p2 F ( x) P{X x} k pi i 1
p1
p2
…
pk
…
x x1 x1 x x2 x2 x x3 xk x xk 1
2、指数分布（P33）
定义 : 如果随机变量X具有概率密度 x x0 f ( x) 其中 0， others 0 f ( x) 记作X ~ E ( ) 则称X服从参数为的指数分布。

0
其分布函数为： 1 x F ( x) 0 x0 others
P40
例7： 已知X的概率密度是f ( x), Y ( X ) 4 X 1, 求Y的概率密度g ( x)
2
定理 : 如果 X ~ N ( , )，而Y
2
X -
，则Y ~ N (0.1)。
F ( x) P( X x)
P( X


x

) P(Y
x

)
x .
由此可得P37结论
例3：若人的体重X ~ N (55,100), (单位：千克)。 试求任选一人，他的体重是下列情况的概率：