材料力学_第八章截面核心

ry=-iz2/ay，rz=-iy2/az
中性轴编号 中性轴 的截距 /m ay az ① 0.45 -∞ 1 ② ∞ -0.40 2 ③ -0.45 ∞ 3 ④ -0.45 1.08 4 ⑤ ∞ 0.60 5 ⑥ 0.45 1.08 6
对应的截面核 心边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上的点
截面核 心边界 上点的 坐标值 /m
解:
1. 计算截面核心边界各点的坐标 图中的6条直线①,②,…, ⑥便是用以确定该T形截面核 心边界点1,2 …,6的中性轴； 其中①②③⑤分别与周边AB、 BC、CD、FG相切，④和⑥ 分别为 DF 和 GA。 根据它们 各自在形心主惯性轴上的截 距计算所对应的偏心压力作 用点的位置ry、rz列表如下：
6a y1
* C
z
4a
(b)
a
2. 确定形心主惯性轴，并求形心主惯性矩 由于z轴为对称轴，且y、z轴的交 点过形心，故图c中y轴和z轴的为形 心主惯性轴。 形心主惯性矩Iy为
z
4a
* C
4a
3 (c) a ( 4a ) 3 4 a ( 2 a ) Iy [ ( a 4 a ) ( 2a ) 2 ] [ (4a 2a ) a 2 ] 12 12 32a 4 4a(a )3 2a(4a )3 Iz 11a 4 12 12
i z2 y ay
2 iy z az
-0.102
0
0.102
0.102
0
-0.102
0
0.20
0
-0.074
-0.133
-0.074
2. 确定截面核心边界
中性轴绕一点旋转时，相应 的外力作用点的移动的轨迹 为一直线的关系，将六个点 的相邻两点用直线连接，即 得截面核心的边界。
作业
6a
y
3. 计算横截面上的内力
将F力向形心C简化，可得杆的内力分别为 FN=F，My=F· 2a， Mz=F· 2a
a
z
4a
* C
4a
(c)
6a y
4. 确定最大拉应力和最大压应力作用点位置并计 a 算应力值
z D2
4a
t ,max
c ,max
FN M y 2a M z 2a 151 F A Iy Iz 264 a 2
Iy
iz2 d 2 / 16 d y1 a y1 d /2 8
z1
2 iy
az1
0
(2) 矩形截面的截面核心
3 2 I b h / 12 b 2 iy y A bh 12 3 2 I bh / 12 h iz2 z A bh 12 h 截距 a y 1 , a z 1 2 2 iz2 h / 12 h y1 a y1 h/ 2 6 2 iy z1 0 az1
2 iz2 iy ay , az yF zF
iz2 yi y F ay 2 iy zi z F az
(1) 圆截面的截面核心
由对称性：截面核心也应该是圆
ay1 d / 2, az1
4 2 I π d / 64 d 2 iy iz2 z 2 A A πd / 4 16
y F y0 z F z 0 1 2 2 0 iz iy
2 z
2 iy az zF
中性轴在形心主惯性轴y、z上的截距
i ay yF
横截面上危险点的位置
横截面有外棱角的杆件受偏心拉伸时，危险点必定在横截 面的外棱角处。
例题8-3
试求图示杆件横截面上的最大拉应力和最大压 应力。外力F与杆件的轴线平行。
F M z y0 M y z0 0 中性轴任意点（y0，z0）满足： A Iz Iy
中性轴方程
az
yF y0 zF z0 F FyF y0 FzF z0 F (1 2 2 ) 0 2 2 A Aiz Aiy A iz iy
y
ay
中性轴 z
F ( z F , yF )
(a)
解: 轴向外力F未通过横截面形心，故杆件为偏心拉伸。 1. 确定横截面形心的位置 横截面的形心C必位于对称轴z上，只需计算形心 C距参考轴y1的距离z(图a)。
a z 4a
(4a a )( 2a 2a ) ( 2a 4a )( a ) z ( 4 a a ) ( 2a 4 a ) 2a
FN M y 4a M z (0.5a ) 17 F A Iy Iz 66 a 2
D1
* C
6a y
+
4a

M yz Iy
+
-

Mzz Iz
(d)
III、（偏心拉、压问题的）截面核心：
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横 截面上出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面 形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心（core of section）。
• 8-6 • 8-11（b）
组合变形的分析方法：在小变形和线弹性情况下，可先
分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采
用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和 总变形。 Ft l/2 F Ft
z
y

l/2
II、偏心拉(压) x F z My
(拉：F 0 ; 压 : F 0)
x F
z y Mz MZ
y
F
My
F ' A
z y (yF , zF)
''
M yz Iy
Mzy ''' Iz
F M yz Mz y A I I y z
F Mz M y max A Wz W y
F Mz M y min A Wz W y
中性轴的方程
zF yF 1 2 z0 2 y0 0 iy iz
B点的坐标yB、zB代入
zB yB 1 2 z F 2 yF 0 iy iz
对应的F点的坐标满足直线方 程
例题 8-4
试确定图示T形截面 的截面核心边界。图中y、 z轴为形心主轴。已知： 截面积A=0.6 m2；惯性 矩Iy=48×10-3 m4, Iz=27.5×10-3 m4；惯性 半径的平方 2 iy 8 10 2 m 2 ， iz2 4.58 10 2 m 2 。