两角和与差的正弦余弦和正切公式

第五讲：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、导学目标
1、会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.、
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式
4、熟悉公式的正用、逆用、变形应用．
二、知识点自主梳理
1、(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________，
cos(α－β)＝_____________________________________________.
(2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________，
sin(α－β)＝_____________________________________________.
(3)两角和与差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________，
tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2
，k ∈Z ) 其变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2、辅助角公式
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，
其中⎩⎪⎨⎪⎧ cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．
三、自我检测
1．(2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( )
A.12
B.33
C.22
D.32
2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435
，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是 ( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45
3．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．(2011·台州月考)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ( )
A.⎝⎛⎭⎫π3，π2
B.⎝⎛⎭
⎫π3，π C.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 D.⎝⎛⎭
⎫π3，3π2 5．(2011·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( )
A ．1 B. 3 C ．3 D ．9
二、典例讲解
题型一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)
例1、求值：
(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．
过手练习 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°
； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6
＋θ)．
题型二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
例2、已知0<β<π4<α<3π4
，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．
过手练习 (2011·广州模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12
. (1)求tan α的值；
(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)
的值．
题型三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)
例3、已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210
. (1)求sin α的值； (2)求β的值．
变式迁移3 (2011·岳阳模拟)若sin A ＝55，sin B ＝1010
，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．
五、课后练习
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·佛山模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435
，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45
2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233
，则sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6的值是 ( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.23
3．(2011·宁波月考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝
⎛⎭⎫α＋4π3等于 ( )
A ．－34
B ．－14 C.34 D.14
4．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )
A ．x ＝5π4
B ．x ＝3π4
C ．x ＝－π4
D ．x ＝－π2
5．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( )
A.π6
B.56
π C.π6或56π D.π3或23
π 二、填空题(每小题4分，共12分)
6．设sin α＝35 ⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12
，则tan(α－β)＝________. 7．(2011·惠州月考)已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．
三、解答题(共38分) 8．(12分)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513
.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17
，求2α－β的值．
9．(12分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－
sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
（2）已知△ABC 的面积S =12
，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C . 11．(14分)(2011·济南模拟)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，
b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .
(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦
⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．
答案 自主梳理
1．(1)cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β
(2)sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2
自我检测
1．A 2.C 3.B 4.C 5.C
课堂活动区
例1 解题导引 在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．
解 (1)原式
＝⎣⎡⎦⎤2sin 50°＋sin 10°·⎝
⎛⎭⎫1＋3sin 10°cos 10°·2sin 80° ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2 sin 80° ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10° ＝⎝
⎛⎭⎫2sin 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10° ＝2sin 60°cos 10°
·2cos 10°＝22sin 60° ＝22×32
＝ 6. (2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]
＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0. 变式迁移1 解 (1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°
＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°
＝ 3. (2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6
＋θ)＝ 3. 例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．
解 cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35
， ∵0<β<π4<α<3π4
， ∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4
＋β<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－45
， cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭
⎫3π4＋β ＝35×⎝⎛⎭⎫－1213－45×513＝－5665
.
∴sin(α＋β)＝5665
. 变式迁移2 解 (1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α
＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13
. (2)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)
＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
＝－(sin αcos β－cos αsin β)cos αcos β＋sin αsin β＝－sin (α－β)cos (α－β)
＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β
＝－13－121＋13×12
＝17. 例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭
⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭
⎫－π2，π2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角．
解 (1)∵tan α2＝12
， ∴sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2·α2＝2sin α2cos α2
＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝⎛⎭
⎫122＝45. (2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35
. 又0<α<π2
<β<π，∴0<β－α<π. 由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210
. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22
. 由π2<β<π得β＝34
π. (或求cos β＝－22，得β＝34
π) 变式迁移3 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010
，
∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－
25＝－255， cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55
×1010＝22.① 又∵π2<A <π，π2
<B <π， ∴π<A ＋B <2π.②
由①②，知A ＋B ＝7π4
. 课后练习区
1．D 2.D 3.B 4.A 5.A
6．－12 7.－211 8.3 －23
π 9．解 (1)∵β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513， ∴sin β＝1213
.…………………………………………………………………………(2分) 又∵0<α<π2，π2
<β<π， ∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)
＝－ 1－⎝⎛⎭⎫33652＝－5665
，…………………………………………………………(4分) ∴sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝3365·⎝⎛⎭⎫－513－⎝⎛⎭⎫－5665·1213＝35
.…………………………………………………………(6分) (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17
＝13，……………………………………………………(8分) ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋121－13×12
＝1.……………………………………………………(10分) ∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17
<0， ∴0<α<π4，π2
<β<π， ∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4
.……………………………………………………(12分) 10．(1)
①证明 如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交
⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.
则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))，
…………………………………………………………………………………………(2分)
由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)
＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，
展开并整理得：
2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分)
②解 由①易得，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α，
sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α.
sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α＋β)
＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋(－β) ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝⎛⎭
⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分)
(2)解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c .
则S ＝12bc sin A ＝12
， AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，
∴A ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，cos A ＝3sin A ，……………………………………………………………(9分) 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，
∴sin A ＝1010，cos A ＝31010
， 由cos B ＝35，得sin B ＝45
. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010
. ……………………………………………………………………………………………(11分)
故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010
. ……………………………………………………………………………………………(12分) 11．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x
＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＝1－3，
得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－32
.……………………………………………………………………(3分) ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6
. ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4
.………………………………………………………………(6分) (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2
＋2k π (k ∈Z )， 即－π3＋k π≤x ≤π6
＋k π (k ∈Z )， 得函数单调增区间为⎣⎡⎦
⎤－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z )．……………………………………(10分) 列表： x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6
π y 2 3 2 0 －1
0 2 描点连线，得函数图象如图所示：。