两角和与差的正弦余弦和正切公式

第五讲：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、导学目标

1、会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.

2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.、

3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式

4、熟悉公式的正用、逆用、变形应用．

二、知识点自主梳理

1、(1)两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝_____________________________________________，

cos(α－β)＝_____________________________________________.

(2)两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝_____________________________________________，

sin(α－β)＝_____________________________________________.

(3)两角和与差的正切

tan(α＋β)＝_____________________________________________，

tan(α－β)＝_____________________________________________.

(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2

，k ∈Z ) 其变形为：

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

2、辅助角公式

a sin α＋

b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，

其中⎩⎪⎨⎪⎧ cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．

三、自我检测

1．(2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( )

A.12

B.33

C.22

D.32

2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435

，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是 ( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45

3．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．(2011·台州月考)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ( )

A.⎝⎛⎭⎫π3，π2

B.⎝⎛⎭

⎫π3，π C.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 D.⎝⎛⎭

⎫π3，3π2 5．(2011·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( )

A ．1 B. 3 C ．3 D ．9

二、典例讲解

题型一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)

例1、求值：

(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°；

(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．

过手练习 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°

； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6

＋θ)．

题型二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)

例2、已知0<β<π4<α<3π4

，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．

过手练习 (2011·广州模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12

. (1)求tan α的值；

(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)

的值．

题型三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)

例3、已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210

. (1)求sin α的值； (2)求β的值．

变式迁移3 (2011·岳阳模拟)若sin A ＝55，sin B ＝1010

，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．

五、课后练习

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·佛山模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435

，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45

2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin α＝233

，则sin ⎝⎛⎭⎫α－7π6的值是 ( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.23

3．(2011·宁波月考)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝

⎛⎭⎫α＋4π3等于 ( )

A ．－34

B ．－14 C.34 D.14

4．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )

A ．x ＝5π4

B ．x ＝3π4

C ．x ＝－π4

D ．x ＝－π2

5．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( )

A.π6

B.56

π C.π6或56π D.π3或23

π 二、填空题(每小题4分，共12分)

6．设sin α＝35 ⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12

，则tan(α－β)＝________. 7．(2011·惠州月考)已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝⎛⎭

⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．

三、解答题(共38分) 8．(12分)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513

.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17

，求2α－β的值．

9．(12分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－

sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

（2）已知△ABC 的面积S =12

，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C . 11．(14分)(2011·济南模拟)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，

b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .

(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎡⎦

⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．

答案 自主梳理

1．(1)cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β

(2)sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β