概率论课件 (13)

§9.3.一个正态总体的参数假设检验. 一般步骤: 1.提出假设H0与H1. 3.确定拒绝域R.R; (一)已知σ2检验假设 2.选择检验统计量T.S; 4.核对假设,并得出结论;
H 0 : 0 H 1 : 0
设(X1,X2,…Xn)是X~N(μσ2)一个样本,
X 0 不应太大.
动机床产品的某个尺寸X服从正态分布,其标准 差σ0=10.00毫米,并且把σ0=10.00毫米定为机床 精度的标准,为控制机床工作的稳定性,定期对它 产品的标准差进行检验,每次随机地抽验5件产品 测量结果记为x1,x2,..x5.试制定一种规则,以便能根 据样本标准差s的值判断机床的精度(即标准差σ) 有无变化. 解: H 0 : 10.00
假设检验会不会犯错误呢？
由于作出结论的依据是下述
小概率原理 不是一定不发生
小概率事件在一次试验中基本上 不会发生 .
如果H0成立，但统计量的实测值落 入否定域，从而作出否定H0的结论，那 就犯了“以真为假”的错误 .
如果H0不成立，但统计量的 实测值未落入否定域，从而没有 作出否定H0的结论，即接受了错 误的H0，那就犯了“以假为真” 的错误 . 请看下表
A组:假定0.5 1.25 0.8 2.00是来自总体X的简单 随机样本值,已知Y=lnX服从正态分布N(μ,1) 1.求X的数学期望EX(记EX=b); 2.求μ的置信度为95%的置信区间; 3.利用上述结果求b的95%置信区间; 解:
2 1 X e y 1 2 y 2 e EX e e dy 2
2 12 / 2 n 1 02.975 4 0.484
拒绝域:
n 1S

2
2
4S 2 >11.143 即 10
2
2
S 16.691 S 3.479
2 4 S n 1S <0.484 2 10 2
即
当s的值落入拒绝域中时,精度发生显著变化.
以上是单个正态总体的双侧检验。
检验中还有一类是单个正态总体的单测检验。
例3 某织物强力指标X的均值 0 =21公斤. 改 进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测 得 X =21.55公斤. 假设强力指标服从正态分 布 N ( , 2 ), 且已知 =1.2公斤， 问在显著 性水平 =0.01下，新生产织物比过去的织物 强力是否有提高? 解:提出假设: H0 : 21 H1 : 21 取统计量 U
H1 : 32.5
给定α
设(X1,X2,…Xn)是X~N(μσ2)一个样本,
S n 由：P{| t | t ( n 1 )}
T
X u0
~ t( n 1 )
得否定域 | T | t ( n 1 ) 由样本值决定是否拒绝H0。
t
t
(三)方差σ2的检验.
假设检验和区间估计
作业:
1.预习§9.4 练习P181 1—6
A组: 设总体X的概率密度函数为: 0 x1 f x , 1 1 x 2 0 其他 θ是未知参数(0<θ<1),X1,X2,..Xn为简单随机样本, 记N为样本值x1x2..xn中小于1的个数,求: 1. θ的矩法估计; 2. θ的最大似然估计;
不否定H0并不是肯定H0一定对，而 只是说差异还不够显著，还没有达到足 以否定H0的程度 .
所以假设检验又叫 “显著性检验”
如果显著性水平取得很小，则拒绝 域也会比较小.
其产生的后果是： H0难于被拒绝.
如果在 很小的情况 下H0仍被拒绝了，则说 明实际情况很可能与之 有显著差异. 基于这个理由，人们常把 0.05 时拒绝 H0称为是显著的，而把在 0.01 时拒绝 H0称为是高度显著的.
H1 : 10.00 若α=0.05
n 1 S 2 n 1 S 2 P P 1 2 2 2
由:
查表求临界值.
1 / 2 n 1
2
2 0.025
4 11.143
1
1
2 n 1 S

2

2
例：某公司有一支车队，为了检测平均每月每
辆车的行驶里程，随机抽取n＝40辆车的样本进 行检测。样本均值和样本标准差分别为2752和 350公里。前几年的记录表明平均每月每辆车的 行驶里程是2600公里，利用样本数据检验现在的 平均里程数是否与往年不同（α＝0.05） 解: H 0 : 2600 H1 : 2600 大样本. X 0 选择统计量: T ~ N 0 , 1
X u
否定域为 W : U u0.01 =2.33

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n
~ N ( 0 ,1 )
{U u0.01} 是
一小概率事件
由于 未知. 取拒绝域为: X 21 2.33 n 代入 =1.2, n=30，并由样本值计算得统计
量的实测值
21.55 21 2.33
故拒绝原假设H0 .
由: P
S/ n X 0 得: 1.96 S/ n
拒绝域:
X 2600 S / 40
1.96
由样本值: x 2752 , s 350 代入检验:
2752 2600 350 / 40 2.75 1.96
拒绝H0.
例 假设以往管理生产过程的大量资料表明某自
所以,b的95%的置信区间为:
0.48 P e e

1 2
e
1.48
e
0.95 0.48 1.48
,e

假设检验原理： 如果H0 是对的，那么衡量差异大小的 某个统计量落入区域 W(拒绝域) 是个小概 率事件. 如果该统计量的实测值落入W， 也就是说， H0 成立下的小概率事件发生 了，那么就认为H0不可信而否定它. 否则 我们就不能否定H0 （只好接受它）.
设(X1,X2,…Xn)是X~N(μσ2)一个样本,
S 2 / 2 不应太大和太小.
2 n 1 S 2
拒绝域
2 确定临界值, 1 / 2 n 1
选取统计量:
~ n 1
2
2
得拒绝域：
2 1 / 2
n 1
2 ,
2
2 n 1 S
1.2 30
21.51
落入否定域
此时可能犯第一类错误，犯 错误的概率不超过0.01.
例: 一种经食物传播的疾病之所以在几个地区大
规模发作,其原因可能是肠炎沙门氏菌引起的.流行 病学家认为病的根源在于冰淇淋,他们从生产冰淇 淋的公司抽取9条生产线检测冰淇淋,数据如下(单位: 0.593 0.142 0.329 0.691 0.231 0.793 0.519 0.392 0.418 利用样本确定冰淇淋中沙门氏菌的平均水平是否 大于0.3mpn/g,这一水平被认为是危险的α=0.01 解: H 0 : 0.3 H1 : 0.3 X u 选择统计量: T ~ t( 8 ) s n
Y
(2) 0.05
1.96
n4
1
1 X ln 0.5 ln 1.25 ln 0.8 ln 2 =0 4


n
0.98
所以,μ的95%的置信区间为: (3)
P 0.98 0.98 0.95
0.98 , 0.98
1 P 0.48 1.48 0.95 2
给定α
拒绝域
U
X
/ n
~ N 0,1
P U


X 0
由 1 2 查表可求
得拒绝域： 即: X 0 / n n
由样本值决定是否拒绝H0。
(一)未知σ2检验假设
H 0 : 32.5
X 0 不应太大.
B组:假设检验的原理及类型,并说明如何选择统计量
假设检验的两类错误 实际情况 决定 H0为真 H0不真 拒绝H0 第一类错误 接受H0 正确 正确 第二类错误
犯两类错误的概率: P{拒绝H0|H0为真}= ,
P{接受H0|H0不真}= . 显著性水平 为犯第一类错误的概率.
请看演示 两类错误的概率的关系 两类错误是互相关联的， 当样本容 量固定时，一类错误概率的减少导致另 一类错误概率的增加. 要同时降低两类错误的概率 , ，或 者要在 不变的条件下降低 ，需要增 加样本容量.
X u 由: P 0.01 s n X 0.3 拒绝域为: 2.896 S 9
得: λ=2.896
0.456 0.3 2.21 2.896 由样本值: 0.2128 / 3
没有充分的理由拒绝H0
P179 例5
假设检验和区间估计的关系
请看演示