第十三讲 海底地形图测量的数学模型
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第十三讲 海底地形测量图的插值模型
一、问题的提出
随着全球经济一体化和信息技术的发展，企业之间的
合作日益加强，跨地区甚至跨国合作制造的趋势日益明显。 （outsourcing）出去给发展中国家，而只保留最为核心的 业务（如市场、关键系统设计和系统集成、总装配以及销 售）。在这些合作生产的过程中，大量的物资和信息在更 为广阔的地域间转移、储存和交换，国际物流活动将日益 频繁，港口作为国际物流活动主要的载体，在国际 贸易与国际经济合作中愈来愈发挥着极其重要的作用。
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其中z(Q1, Q2, G)为线性外推值。这种外推比较合理.
Q1
4
Q2
4
G
x
4
3.4
8
z
现将上述一维情况变成二维情况，即未知点G不在已 知点Q1，Q2的连线上。根据假设4，Q1，Q2点对G点深度
GP 的影响取决于三个距离： , GQ 1 , GQ 2 ，其中P是G到Q1Q2
延长线的垂足。利用上面的分析结果修改权因子，得到如 下的加权平均：
5. 两个数据点之间深度的变化对某一未知点深度的 影响与这两个数据点连线线性传播; 6. 每一个给定的数据点对某一未知点深度的影响它 们之间的距离平方成反比。
三、分析与建摸
根据假设条件海底是光滑的，无暗礁，因此很自然地 想到利用光滑曲面来拟合海底曲面。例如可以用二维拉格 朗日(Lagrange)插值或双三次样条函数来逼近。考虑到保 凸性及光滑性的要求，我们采用双三次样条函数来拟合. 为了用双三次样条函数插值，必须知道xoy平面内所
根据光滑假设，由点Q2经点Q1到G点的深度应渐渐变 浅，因此，未知点G的深度应小于4Ft。
Q1
4
Q2
4
G
x
<4 4
8
z
下面用三种外推公式加以分析： 1. 加权平均外推公式
z (Q1 , Q1 , G ) zg = GQ1
2
+ +
z (Q2 , Q2 , G ) GQ2 1 GQ2
2 2
1 GQ1
z (Q1 , Q1 , P ) zg = GQ1
2
GQ2 GP + GQ1 + Q1Q2 1 1 1 + + 2 2 2 2 2 GQ1 GQ2 GP + GQ1 + Q1Q2
+
z (Q2 , Q2 , P )
2
+
z (Q1 , Q2 , P )
2 2 2
P
Q1
Q1Q2
Q2
GP
G
GQ1
zg
为了考虑所有给定点的影响，将上述加权平均推广到 所有点对。设G是某一未知深度的网格点，Qi，Qj 是已知 深度的网格点，记 GPij = min{GQ i , GQ j } ij是到Qi，Qj 连 ，P 线的垂足。采用下面的加权平均来逼近G点的深度.
x
4
8
z
下面用三种外推公式加以分析： 2. 线性外推公式
z (Q1 , Q1 , G ) zg = GQ1
2
GQ2 GQ2 + Q1Q2 1 1 1 + + 2 2 2 2 GQ1 GQ2 GQ2 + Q1Q2
+
z (Q2 , Q2 , G )
2
+
z (Q1 , Q2 , G )
2 2
= 3.4Ft
二、模型假设
1. 海底是光滑的，且无暗礁; 2. 每个给定的数据都影响着其它未知点的深度，且 距离越近，影响越大; 3. 任何两个数据点之间深度的变化都影响着其它未 知点的深度; 4. 对于给定两个数据的变化对于某一未知点深度的 影响，取决于三个距离：两个数据点连线与该未知点的垂 直距离、该未知点与离它最近的那个数据点之间的距离及 两个给定数据点之间的距离;
检测模型比较简单，只要找几个近似大小的海底拓扑 地图，每个随即取14个数据点，把我们的模型应用上去， 通过比较实际地图及由模型画出地图即可。
六、模型的评价
该模型充分利用了已知点 的数据，给出了求未知网格点 上深度的近似方法，用保凸性 较好的双三次样条拟合了海底 曲面，得到了较为满意的结 果。但在实际计算中，三次样 条可能会导致数值上的不稳定，遇到这种情况，可以用加 细网格点的办法来解决，也可以用稳定性较好的B—样条 来拟合。
有网格上的深度，而所给数据的14个随机点并不构成任何 网格。所以 第一步 生成 网格： 我们采取最简 单的方法是过个 14 数据点分别作 平行于x，y 轴的 直线，划分成不 规则14×14的网 格。
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第二步 确定那些未知点数据网格上的深度： 应该说所有数据对未知网格的深度都有影响，只是越 靠近的数据点影响越大。由于我们对海底所知甚少，所以 只能通过某种加权平均来逼近未知网格接点上的深度，采 用距离的倒数作权重反映出距离越小影响越大。但仅用加 权平均来逼近未知点的深度，它不能反映数据点深度的变 化趋势 。 设Q1，Q2点的深度分别为4Ft和8Ft，G是Q1Q2连线上 未知深度的点(见图1)，Q1Q2 = GQ1 = 4 Ft ，求G点的深度 zg。
求出所有14×14个网格点上的深度后，调用IMST中 的双三次样条子程序，通过插值得到海底曲面，然后再加 细网格，划分成50×50的网格，计算这加细网格接点上的 深度;最后找出两个危险区域分别在深度为4Ft的两个点的 周围，并借助于Matlab中的绘图程序，绘出海底的二维 三维网格图及等高线图。
五、模型检验
国际上越来越多的制造企业不断地将大量常规业务 “外包”
但是 海底的地形是十分复杂的，它不仅分布有巍峨的海 为 使 轮 船 进 出 港 口 安 全 ， 就 需 要了解港口航道的海底 地形。
底山脉、平缓的海底平原，的水深z，这是在低 潮测得的。如果船的吃水深度为5Ft，试问在矩形区域 (75，200)×(50，50)中行船应避免进入哪些区域？其中 水平方向的坐标x, y以Yd(=0.914m)为单位，水深方向以 Ft(=30.48cm)为单位. x(Yd) 129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.5 105.5 y(Yd) 7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 z(Ft) 4 8 6 8 6 8 8 x(Yd) 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 y(Yd) -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5 z(Ft) 9 9 8 8 9 4 9
∑∑
zg =
i =1 j =1 N N
N
N
z (Qi , Q j , Pij ) GPij + GQij + Qi Q j 1 GPij + GQij + Qi Q j
2 2 2 2 2 2
∑∑
i =1 j =1
,
这里z(Qi, Qj, Pij)是由Qi，Qj点的深度线性外推的Pij点的深 度。
四、模型求解
2
= 4.8 Ft
其中z(Q1, Q1, G)和z(Q2, Q2, G)分别表示Q1, Q2点的深度4Ft 和8Ft。显然，zg不符合小于4Ft的期望。
Q1
4
Q2
4
G
x
4
4.8
8
z
下面用三种外推公式加以分析： 2. 线性外推公式
z g = 0Ft
这个外推值又太小，也不符合实际情况。
Q1
4
Q2
4
G 0
一、问题的提出
随着全球经济一体化和信息技术的发展，企业之间的
合作日益加强，跨地区甚至跨国合作制造的趋势日益明显。 （outsourcing）出去给发展中国家，而只保留最为核心的 业务（如市场、关键系统设计和系统集成、总装配以及销 售）。在这些合作生产的过程中，大量的物资和信息在更 为广阔的地域间转移、储存和交换，国际物流活动将日益 频繁，港口作为国际物流活动主要的载体，在国际 贸易与国际经济合作中愈来愈发挥着极其重要的作用。
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其中z(Q1, Q2, G)为线性外推值。这种外推比较合理.
Q1
4
Q2
4
G
x
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3.4
8
z
现将上述一维情况变成二维情况，即未知点G不在已 知点Q1，Q2的连线上。根据假设4，Q1，Q2点对G点深度
GP 的影响取决于三个距离： , GQ 1 , GQ 2 ，其中P是G到Q1Q2
延长线的垂足。利用上面的分析结果修改权因子，得到如 下的加权平均：
5. 两个数据点之间深度的变化对某一未知点深度的 影响与这两个数据点连线线性传播; 6. 每一个给定的数据点对某一未知点深度的影响它 们之间的距离平方成反比。
三、分析与建摸
根据假设条件海底是光滑的，无暗礁，因此很自然地 想到利用光滑曲面来拟合海底曲面。例如可以用二维拉格 朗日(Lagrange)插值或双三次样条函数来逼近。考虑到保 凸性及光滑性的要求，我们采用双三次样条函数来拟合. 为了用双三次样条函数插值，必须知道xoy平面内所
根据光滑假设，由点Q2经点Q1到G点的深度应渐渐变 浅，因此，未知点G的深度应小于4Ft。
Q1
4
Q2
4
G
x
<4 4
8
z
下面用三种外推公式加以分析： 1. 加权平均外推公式
z (Q1 , Q1 , G ) zg = GQ1
2
+ +
z (Q2 , Q2 , G ) GQ2 1 GQ2
2 2
1 GQ1
z (Q1 , Q1 , P ) zg = GQ1
2
GQ2 GP + GQ1 + Q1Q2 1 1 1 + + 2 2 2 2 2 GQ1 GQ2 GP + GQ1 + Q1Q2
+
z (Q2 , Q2 , P )
2
+
z (Q1 , Q2 , P )
2 2 2
P
Q1
Q1Q2
Q2
GP
G
GQ1
zg
为了考虑所有给定点的影响，将上述加权平均推广到 所有点对。设G是某一未知深度的网格点，Qi，Qj 是已知 深度的网格点，记 GPij = min{GQ i , GQ j } ij是到Qi，Qj 连 ，P 线的垂足。采用下面的加权平均来逼近G点的深度.
x
4
8
z
下面用三种外推公式加以分析： 2. 线性外推公式
z (Q1 , Q1 , G ) zg = GQ1
2
GQ2 GQ2 + Q1Q2 1 1 1 + + 2 2 2 2 GQ1 GQ2 GQ2 + Q1Q2
+
z (Q2 , Q2 , G )
2
+
z (Q1 , Q2 , G )
2 2
= 3.4Ft
二、模型假设
1. 海底是光滑的，且无暗礁; 2. 每个给定的数据都影响着其它未知点的深度，且 距离越近，影响越大; 3. 任何两个数据点之间深度的变化都影响着其它未 知点的深度; 4. 对于给定两个数据的变化对于某一未知点深度的 影响，取决于三个距离：两个数据点连线与该未知点的垂 直距离、该未知点与离它最近的那个数据点之间的距离及 两个给定数据点之间的距离;
检测模型比较简单，只要找几个近似大小的海底拓扑 地图，每个随即取14个数据点，把我们的模型应用上去， 通过比较实际地图及由模型画出地图即可。
六、模型的评价
该模型充分利用了已知点 的数据，给出了求未知网格点 上深度的近似方法，用保凸性 较好的双三次样条拟合了海底 曲面，得到了较为满意的结 果。但在实际计算中，三次样 条可能会导致数值上的不稳定，遇到这种情况，可以用加 细网格点的办法来解决，也可以用稳定性较好的B—样条 来拟合。
有网格上的深度，而所给数据的14个随机点并不构成任何 网格。所以 第一步 生成 网格： 我们采取最简 单的方法是过个 14 数据点分别作 平行于x，y 轴的 直线，划分成不 规则14×14的网 格。
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第二步 确定那些未知点数据网格上的深度： 应该说所有数据对未知网格的深度都有影响，只是越 靠近的数据点影响越大。由于我们对海底所知甚少，所以 只能通过某种加权平均来逼近未知网格接点上的深度，采 用距离的倒数作权重反映出距离越小影响越大。但仅用加 权平均来逼近未知点的深度，它不能反映数据点深度的变 化趋势 。 设Q1，Q2点的深度分别为4Ft和8Ft，G是Q1Q2连线上 未知深度的点(见图1)，Q1Q2 = GQ1 = 4 Ft ，求G点的深度 zg。
求出所有14×14个网格点上的深度后，调用IMST中 的双三次样条子程序，通过插值得到海底曲面，然后再加 细网格，划分成50×50的网格，计算这加细网格接点上的 深度;最后找出两个危险区域分别在深度为4Ft的两个点的 周围，并借助于Matlab中的绘图程序，绘出海底的二维 三维网格图及等高线图。
五、模型检验
国际上越来越多的制造企业不断地将大量常规业务 “外包”
但是 海底的地形是十分复杂的，它不仅分布有巍峨的海 为 使 轮 船 进 出 港 口 安 全 ， 就 需 要了解港口航道的海底 地形。
底山脉、平缓的海底平原，的水深z，这是在低 潮测得的。如果船的吃水深度为5Ft，试问在矩形区域 (75，200)×(50，50)中行船应避免进入哪些区域？其中 水平方向的坐标x, y以Yd(=0.914m)为单位，水深方向以 Ft(=30.48cm)为单位. x(Yd) 129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.5 105.5 y(Yd) 7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 z(Ft) 4 8 6 8 6 8 8 x(Yd) 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 y(Yd) -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5 z(Ft) 9 9 8 8 9 4 9
∑∑
zg =
i =1 j =1 N N
N
N
z (Qi , Q j , Pij ) GPij + GQij + Qi Q j 1 GPij + GQij + Qi Q j
2 2 2 2 2 2
∑∑
i =1 j =1
,
这里z(Qi, Qj, Pij)是由Qi，Qj点的深度线性外推的Pij点的深 度。
四、模型求解
2
= 4.8 Ft
其中z(Q1, Q1, G)和z(Q2, Q2, G)分别表示Q1, Q2点的深度4Ft 和8Ft。显然，zg不符合小于4Ft的期望。
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G
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4
4.8
8
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下面用三种外推公式加以分析： 2. 线性外推公式
z g = 0Ft
这个外推值又太小，也不符合实际情况。
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