多视角投影重建算法综述

4期
段新辉等：多视角投影重建算法综述
3
值方法选择不当，即使从投影数据上来看误差已经很小，有可能会使得重建图像带有严重 伪影。
当角向采样不能满足 Nyquist 采样定理时，通过角向插值得到的投影数据也会产生频 率混叠，通过 FBP 重建的图像会产生环状伪影，这一方面是由 Nyquist 条件所决定，另一 方面受 FBP 等重建算法对采样率要求的影响，当对带有噪声实际投影数据直接进行角向插 值重建，这种伪影会更明显。插值前对投影数据进行平滑滤波可以有效地减少这种伪影， 简单的可以使用线性移不变的滤波器，如 Hanning 窗滤波器，复杂的如带有平滑惩罚项的 非参数抑制方法[3－５]。
1.2.2 变换法
变换法就是在几个相关的数据空间的迭代来估计缺失数据，在 CT 重建中相关的三个空 间是图像空间、Radon 空间、图像的 Fourier 变换空间。
Fourier 空间
FT 2D
1D FT
图像空间
投影 反投影
Radon 空间
图３ Radon 空间、图像空间、Fourier 空间三者转换关系
图 2 数据频域分布图
1.2 基于投影数据恢复的重建算法 投影数据的恢复就是利用投影数据的数学性质恢复缺失数据，然后可以用通常的重建
算法进行重建，如投影数据的角向插值、变换法等。 1.2.1 角向插值算法
角向插值通过周期的内插算法来估计缺失的数据[2]。插值方法种类很多，如最近邻、线 性、样条插值、ZP（zero padding）等。插值重建的结果跟模型有着密切的关系，不同的 模型需要与之相对应插值方法才能得到较好的结果，这也限制了这种方法的使用范围。插
其中黑点为源所在位置，从左至右依次为一周内均匀稀松采样，非均匀采样，有限角度采样
图 1 多视角投影方式
由于多视角投影方式在一周内采样稀疏，所以可以采用多角度 DR 投影的方式进行三维 物体的扫描，即逐个角度对整个物体进行 DR 扫描，从而得到物体的多视角投影，这种方式 速度快，而且得到的结果不仅能进行多视角 CT 重建，也可以直接用于三维立体显示[1]。
1.3 基于图像恢复的重建算法
图像恢复算法的着眼点在于对所重建图像的描述，在迭代过程中对图像加以限制，使 重建的结果趋于对图像的要求。在统计迭代中往往使用先验模型来描述重建对象，先验模 型越准确，那么得到的结果也会越接近真实值；在代数迭代中，使用的模型是对图像本身 的描述，如 TV 对图像平滑度要求。
从左到右依次为：模型、角向插值（线性插值）、IRR 迭代
图 4 平行束 180 度均匀 18 个投影重建结果
上面介绍了几种可以用于多视角重建的算法，这些算法各有其特点，在算法本身和实 现方法方面都有很多需要进一步改进和提高的地方，表 1 对这些方法做了一些分析和比较。
算法名称 角向插值 变换法（IRR） 统计迭代 TV 恢复
变换法在有限角度问题中研究和应用较多，两个典型算法就是 IRR 和 GP[9－12]算法。IRR 算法通过图像空间、投影空间之间迭代恢复投影数据，而 GP 算法在图像空间和 Fourier 变 换空间迭代。通过在不同空间之间的迭代，一定程度的弥补了缺失数据，提高了重建质量。
IRR 算法由 M. Nassi 等人于 1982 年提出[6－7]，1985 年由 J. H. Kim 等人提出的 PSIRR 算法［8］，作为 IRR 算法的改进，减少了 IRR 算法在迭代过程中的离散误差积累，代价是增 加了计算量。IRR 算法的一个典型迭代过程如下：
第 16 卷 第 4 期 2007 年 12 月（1-7）
CT 理论与应用研究 CT Theory and Applications
文章编号：1004-4140（2007）04-0001-07
多视角投影重建算法综述1
段新辉，张丽，陈志强，程建平
（清华大学 工程物理系，北京 100084）
Vol. 16 No. 4 Dec., 2007
1.3.2 以 TV 为约束的图像恢复算法
2004 年到 2006 年，E. Candes 等人先后发表一系列文章，阐述了如何通过少量线性测 量的采样，恢复原始信号的方法，并作了相关理论证明［17－20］。这一成果迅速在 CT 重建领域 得到了应用，尤其是多视角重建问题上，取得了很好的效果［21］。这一结论可以做如下描述：
表 1 多视角重建算法比较
算法描述
主要特点
投影数据角度方向插值，补偿 缺失数据
通过相关空间迭代，估计缺失 数据
统计模型和先验模型求解多 视角问题
利用 TV 等约束条件的代数迭 代方法
计算速度快，插值方法灵活
算法简单，理论上收敛
算法种类繁多，在医学影像中 广泛应用 算法效果好，适用各种数据缺 失情况
问题
2 仿真实验及比较
在仿真实验中，我们采用了标准的 Shepp-Logan 模型，投影数据为 180 度内均匀分布 的 18 个平行束投影，而重建算法我们选择了角向插值和 IRR 重建算法。在角向插值算法的 实验中，我们使用了角向线性插值估计缺失的投影数据，主要原因是在仿真实验中我们发 现：更为复杂的插值算法并没有使得重建质量有明显提高，而线性插值方法已经能够反映 这种重建方法的特点。在 IRR 的仿真实验中则采用了增加采样密度的方法来减少迭代过程 中的离散误差。 重建结果如图 4 所示，从中可以看出：①与模型相比，重建图像的分辨率 明显降低,物体的边缘变得比较模糊；②在物体的外围都会产生较多的带状伪影，主要都是 由投影数据角向采样不够引起的频率混叠所造成的；③角向插值方法在物体结构的边缘有 切向方向的伪影，而 IRR 重建过程中的离散误差，使得重建图像中低对比度的物体轮廓比 较模糊，分辨率较差，而高对比度的部分质量稍好，伪影也相对少些。
其中 Pi ( l, θ ) 为第 i 步的投影数据，它由两部分组成，一部分是重投影的数据，另一部分是 真实的投影数据， F −1 为 Fourier 逆变换。
4
CT 理论与应用研究
16 卷
在多视角问题中，IRR 算法和 GP 算法都有一定的适用性。它们各有优缺点，IRR 算法 由于要进行投影反投影，所以计算量很大，而且比较容易造成误差积累；而 GP 算法计算速 度快，但是收敛慢，而且在需要进行直接 Fourier 重建，不少情况的数据无法进行直接 Fourier 重建。
Pci ( l, θ ) = Pi ( l, θ ) ∗ F −1[ ω ]
（1）
∫ f i ( x, y ) =
π 0
P ci
(
x
cosθ
源自文库
+
y
sinθ ,
θ
)
dθ
（2）
∫ Pui+1( l, θ ) =
L f i (l cosθ − t sinθ , l sinθ + t cosθ ) dt
−L
（3）
对于一个稀松或者可压缩的信号 f ∈ F ，如果它的分量服从指数衰减，那么就可以高精
度的从少量随机测量中恢复原始信号。也就是说，我们可以重新按照大小顺序排列 f 的分
量，使得 f ≥ f ≥, , ≥ f ，如果这些分量满足指数衰减，也就是： f ≤ C i n−1/ p ，
(1)
(2)
(N )
(n)
摘要：本文主要论述了多视角投影重建的主要方法和思路。多视角问题是不完全投影数据重建 的一个特例，也就是投影角度数远小于正常投影角度数的重建问题，比如正常投影数的十分之 一或者二十分之一，所以也被称作稀松投影或者少量投影重建问题。由于问题的相似性，一些 多视角投影重建的方法和思路来源于有限角度投影重建问题。多视角投影重建断层图像的算法 主要有两种思路：一是基于投影数据恢复的方法，如通过插值、空间变换迭代等方法补全投影 数据，另一种是通过在迭代过程对重建的图像加以限制，如先验条件、TV 约束等。
有明显的伪影，效果很有限。
关键字：多视角投影；CT 重建；投影数据恢复；TV
中图分类号：TP 391.41
文献标识码：A
随着 X-ray 在医学和工业上的广泛应用，对图像重建提出了更高的要求。传统的 X-ray 透视图虽然能较为简单的观察到物体的透视图，但是由于物体的投影相互重叠，很难区分 各个物体。X-ray CT 利用物体各角度的投影，通过数学重建，得到物体的断层图像，能够 详细地区分物体内部的各个组成部分。但是传统的 X-ray CT 要得到分辨率较高的图像，需 要大量的投影数据，也就意味着较高的剂量和较长的检测时间，这两点在实际使用时都是 不希望的。为了解决这一问题，很多学者研究各种方法解决这一矛盾，一方面设计更为精 确合理的扫描轨迹和扫描方式来尽可能减少剂量和受照时间，另一方面不断改进重建算法， 使之满足不同扫描方式的需求。多视角扫描就是一种解决途径，它能够大大的减少扫描时 间，提高 CT 的检查效率。
N
min ∑ g(t)
g∈RN t =1
s. t. g, Xk = f , Xk
（5）
作为一个特例，在 CT 的 Fourier 重建中，如果 Fourier 变换系数采样个数是图像梯度
中非零数据的两倍，那么这个优化问题可以得到唯一解，而且这个结果对于绝大多数图像
都是适用的。在作者的文章中已经展示了通过 22 个稀松投影重建的图像，可以说是精确重
1 多视角重建算法
1.1 多视角投影方式
多视角投影成像，是一种通过少量投影重建物体断层图像的成像方式。传统的 CT 扫描，
要得到高分辨率的重建图像需要大量的投影，以满足角向采样率的要求。以平行束为例，
( ) 对于探测器个数为 N 的 CT 扫描系统，理论上半周内的投影角度数至少为
π 2
N ≈ 1.6N ，才
我们进行随机测量 f , Xk , k = 1, 2, , K ，其中 Xk 为独立的 N 维高斯向量，从这些测量中，
我们可以重建出信号 f # ，使其满足：
f − f # l2 ≤ Cr i ( K / log N )−r , r = 1/( p − 2 )
（4）
而这个重建过程只需要作下面这个优化问题就可以得到：
多视角投影方式跟有限角度投影有一些相似的地方，如：都属于不完全投影，无径向 截断问题，都是角向数据缺失；不同的是，有限角度问题属于带限信号恢复的问题，而多 视角问题是从稀松采样中恢复原始信号的问题。
左右图分别为多视角投影和有限角度投影数据在频域分布情况。 多视角投影在角向均匀稀疏采样，而有限角度仅在带限区域内采样。
建了 Shepp-Logan 头模型，这个结果的确令人振奋。
4期
段新辉等：多视角投影重建算法综述
5
在扇束和锥束投影问题中，并不能直接使用 E. Candes 等人提出的基于 FT-TV 的重建 算法，2006 年由 E. Sidky 等人提出了基于 ART-TV 的方法，通过在 ART 迭代中引入 TV 约束 实现了多视角重建［21］。这种方法仅在图像域和投影域中操作，不涉及图像的 Fourier 变换， 所以这也是对原有的 FT-TV 算法的一个重要拓展，离实际应用更进一步。
1.3.1 统计迭代在多视角重建中的应用
统计迭代算法使用先验信息，在不完备数据重建中比传统的方法有更好的结果，所以 在多视角投影重建问题中也是一个研究方向。在统计迭代中用的比较多的目标函数包括： 最大似然估计（maximum likelihood），最大后验估计（maximum a posteriori，MAP），以 及贝叶斯估计（Bayesian estimation）。在统计迭代中应用的先验模型有高斯先验（Gaussian priors）、脉冲噪声先验（impulse noise priors）、马尔可夫随机场先验（Markov random field priors，MRF）等。在医学影像中，常常利用带有先验的统计迭代方法研究多视角重 建问题[13－16]。
能满足分辨率的要求，如果有 800 个探测器就需要至少 1 300 多个投影，这个数据量是相当
大的，当然数据获取和处理的时间也相应地较长。
项目基金：国家自然科学基金（10575059）；新世纪优秀人才支持计划。
2
CT 理论与应用研究
16 卷
二维多视角投影粗略的说可分为三种基本形式，如图 1 所示，一种是一周均匀稀松采 样，第二种是一周非均匀稀松采样，三是有限角度投影。其他的方式就是以上某两种方式 的组合。未经特殊说明的，本文中的多视角投影指的是第一种情况。