考研高数总复习数列的极限

大家好
1.4 数列的极限
极限
y
oa
bx
（四个小矩形面积和A4）
极限
y
oa
bx
（九个小矩形面积和A9）
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽 Start
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
数列的极限
4.数列收敛的准则
设{xn}为一数列，如果xn xn1 则称数列{xn}为单调增数列；
如果xn xn1 则称数列{xn}为单调减数列；
(n 1, 2, (n 1, 2,
)， ),
单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列。
定理4 （单调有界准则）单调增加（或减少）且有上界（或下界） 的数列必收敛.
1) n
1 (1 1 ) n! n
(1 n 1) n
11 1 1
2!
n!
11 1 1 1
12 23
(n 1) n
3 1 3 n
{yn}有上界,
因此， { yn }收敛.
lim(1 1 )n e
n
n
定理5 （夹逼准则）设{ xn },{ yn },{zn }满足条件：
(1) xn yn zn (n 1, 2, );
二、数列的定义
给定 = 1 ,
100
由于
|
xn
1|
=|1+
(-1)n1 n
-1|=
1 n
,
只要取N
100,则当n
N时，恒有：| xn
1 |
1 100
.
给定 = 1 ,
1000
由于
|
xn
1|
=|1+
(-1)n1 n
-1|=
1 n
,
只要取N
1000,则当n
N时，恒有：| xn
1 |
1 1000
n!
由| 2n -0|= 2n = 2 2 2 2 < 2 11 1 2 = 4 ，
n! n! 1 23 n 1
nn
只要让 4 < ,
n
即n 4 ,
总有，| 2n - 0 | ，
n!
因此，取N 4 即可.
证 对 0, 取N 4 , 则当n N时,
总有：| 2n 0 | 4 , 因此,lim 2n 0.
n! nn
0.
定理夹5 逼（准夹则逼：准则）设{ xn },{ yn },{zn }满足条件：
(1) xn yn zn (n 1, 2, );
(2) lim n
xn
A,
lim
n
zn
A;
则数列{
yn
}极限存在，且
lim
n
yn
A
1
lim
n
nk
0
an lim 0 n n!
(k 0), (a R),
1 (1 1 ) n! n 1
(1 n 1) 1 (1 1 ) n 1 (n 1)! n 1
(1 n ); n 1
例4.
设yn
(1
1 n
)n，证明：数列{
yn
}存在极限.
比较yn ,与yn1的表达式， yn yn1 {yn}单调增加.
yn
(1
1 )n n
11
1 (1 2!
二、数列的定义
1,1,1,, (1)n1 ,;
{( 1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注意： 数列是整标函数 xn f (n).
观察数列 {1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
Start
当 n 无限增大时,
(2) lim n
xn
A,
lim
n
zn
A;
则数列{
yn
}极限存在，且
lim
n
yn
A
证
因为lim n
xn
A,
>0,N1,当n N1时，恒有 | xn A | .
A xn A ;
因为lim n
zn
A,对上述的 ,，N2 ,当n
N2时，恒有zn
A | .
A zn A ;
n!
n
n n!
数列的极限
3. 数列极限的性质
（1） 唯一性 定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
证
设 lim n
xn
a,又 lim n
xn
b，
由定义,
0, N1, N 2 .使得 当n N1时恒有 xn a ；
当n N2时恒有 xn b ；
取N maxN1, N2，则当n N时有
.
任意给定
0,
由于 |
xn
1|
=|1+
(-1)n1 n
-1|=
1 n
,
只要取N
1
,则当n
N时，恒有：| xn
1| .
三、数列极限定义
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn A 都成立,那末就称常数 A 是数列 xn
证明.
设
lim
n
xn
A,
由定义，取 1 ,
2
则N
0, 使得当n
N时，有 |
xn
A |
1， 2
即当n
N时，xn
(A
1 2
,
A
1 ), 2
区间长度为1,
而{xn }=1,-1,1,-1, ,即反复取1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内，
因此，该数列是发散的.
事实上,{ xn }是有界的, 但却发散.
例4.
设yn
(1
1 n
)n，证明：数列{
yn
}存在极限.
yn
(1 1 )n 1 n n
1 n(n 1)
n
2!
1 n2
n(n 1)(n 2) n!
1 (1)n; n
11 1 (1 1 ) 1 (1 1 )
2! n
n! n
(1 n 1); n
yn1
(1
1 )n1 n 1
1 1 1 (1 1 ) 2! n 1
a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
（2） 有界性
数列{ xn }称为有界数列: 如果存在M 0, 使的对一切n,有 | xn | M .
例如，数列{
xn
}
{
n n
} 1
有界数列.
例如，数列{ xn } {2n }
的极限,或者称数列 xn收敛于 A ,记为
lim
n
xn
A,
或 xn A (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
N定义：
lim
n
xn
A
0, N 0, 使n N时,恒有 xn A .
其中 : 任给定的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
A+ A
A-
N
注意：
1. 不等式 xn A 刻划了xn与A的无限接近;
恒有 | xn A | 1. 于是 | xn|= | xn A A || xn A | | A | 1 | A | .
取M max{| x1 |,| x2 |, ,| xN |,1+ | A |}
则对于一切n,都有 | xn | M . 因此，收敛数列必定有界.
例3. 证明数列xn (1)n1是发散的.
S
柯西
魏尔斯 特拉斯
1.数列的概念
定义：按一定的规律排列的无穷多个实数：
x1, x2 , x3 , , xn , 称为数列，简记为{xn },xn称为数列的一般项， n称为数列的下标.
例如
1, 1 , 1 , 1 , , 1 , ; 234 n
1,1,1, 248
,
1 2n
,
;wk.baidu.com
{1} n
1 {2n }
xn
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
记作：lim n
xn
1, 或
xn
1, (n
).
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语 言刻划它.
数列 {1 (1)n1 } 2, 1 , 4 , 3 , 6 , 5 , 8 , .
n
234567
1+ 1-
N
对 0, 都N 0, 使得当n N时，恒有 | xn - A |
lim n n 1,
n
lim an 0 (| a | 1),
n
lim n a 1 (a 0),
n
n! lim 0. n n n
n 1
1
1，
则有 | xn -1| 成立，
因此，取N
max{ 1
1,1}
证 对 0, 取N max{ 1 1,1}, 则当n N时,
总有：| xn
- 1 ||
n 1| n 1
1 n 1
,
因此,lim n 1. n n 1
例2. 证明 lim 2n 0. n n!
0, N 0, 使得当n N时，恒有| 2n -0|<成立.
取N max{N1, N2},则当n N时， A xn yn zn A .
| yn A | .
lim n
yn
A.
夹逼准则：
例5. 证明 lim n 1 1 1
n
n
证明 因为n为正整数，所以，n,1 n 1 1 n
而，lim1 1, 且 lim（1 1 ） 1.
n
2. N与任意给定的正数有关; 3.数列极限的定义未给出求极限的方法.
数列极限的证明
例1.
设xn
n , 观察得数列的极限为1，请验证 lim
n 1
n
xn
1.
0, N 0, 使得当n N时，恒有|xn -1|<成立.
由|xn -1|=|
n -1|= n 1
1 可知：如果 n 1
1 < ,即n
n
n
1 1 n
所以，由夹逼准则得：lim n 1 1 1.
n
n
夹逼准则：
例6. 证明
lim
n
n! nn
0
证明
因为 n! nn
n
(n 1) nn
(n 2) nn
1，
显然有，0 n (n 1) (n 2) nnn n
1 1， n
而，lim 0 0, 且 lim 1 0.
n
n n
所以，由夹逼准则得：lim n
无界数列.
定理2
收敛数列必定有界.即如果
lim
n
xn
A，则存在M
0,
使的对一切n,有 | xn | M .
分析.
因为lim n
xn
A,
则 0，N 0,当n N时，恒有 | xn - A | , | xn| | A | .
证明.
因为lim n
xn
A,
则对 1，存在N 0,使得当n N时，