博弈论习题解答(浙江大学)

该方程组无解，所以 S2 无法同时采用 L、M 和 R 同时混合的战略
（2）S2 选择 L 和 M 混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，
3．（投票博弈）假定有三个参与人（1、2 和 3）要在三个项目（A、B 和 C）中选中一个。三人同 时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间 Si=｛A，B，C｝。得票最多的项目被选中， 如果没有任何项目得到多数票，项目 A 被选中。参与人的支付函数如下：
U1(A)=U2(B)=U3(C)=2
B2 2,0,1 1,2,0 2,0,1 1,2,0 1,2,0 1,2,0 2,0,1 1,2,0 0,1,2
C1 2,0,1 2,0,1 0,1,2 2,0,1 1,2,0 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,2 由上，若参与人 1 选择 A 策略。如果参与人 2 同样选择 A 策略，那么参与人 3 选择 ABC 策略
U1(B)=U2(C)=U3(A)=1
U1(C)=U2(A)=U3(B)=0 求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。
首先：将上述博弈过程转换为战略式博弈矩阵。
2和3
1
A3
B3
C3
A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C2
A1 2,0,1 2,0,1 2,0,1 2,0,1 1,2,0 2,0,1 2,0,1 2,0,1 0,1,2
若参与人 1 选择 B 策略。如果参与人 2 选择 A 策略，那么参与人 3 将选择 A 或 C 策略；但当 参与人 3 选择 C 策略时，参与人 2 的最优策略是选择 B，当其选择 A 策略时，参与人 2 将选择 B 策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人 2 选择 B 策略，参与人 3 将选择 ABC 是无差 异的，但其选择 A 和 C 都不满足纳什均衡，因此当其选择 A 和 C 时，参与人 1 将选择 A 或 C，因 此有当参与人 3 选择 B 策略时，才存在纳什均衡（B，B，B）。如果参与人 2 选择 C 策略，参与人 3 也将选择 C 策略；但参与人 3 选择 C 策略时，参与人 2 将选择 B 策略，因此，这时不存在纳什 均衡。
2．求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡 表 1.2 S2 和 S3
S1
X3
Y3
X2
Y2
X2
Y2
X1 0,0,0 6,5,4 4,6,5 0,0,0
Y1 5,4,6 0,0,0 0,0,0 0,0,0 首先看 S1 选择 X 策略。如果 S2 同样选择 X 策略，那么 S3 一定选择 Y 策略；同样，如果 S3 选择 Y 策略，S2 也一定会选择 X 策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果 S2 选择 Y 策略， 那么 S3 一定选择 X 策略；同样，如果 S3 选择 X 策略，S2 也一定会选择 Y 策略，因此，（X，Y， X）是一个纳什均衡。 其次看 S1 选择 Y 策略。如果 S2 选择 X 策略，S3 一定选择 X 策略；同样，如果 S3 选择 X 策 略，S2 也一定会选择 X 策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果 S2 选择 Y 策略，S3 选 择 Y 策略是理性的，如果 S3 选择 X，S2 将选择 X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同 样，如果 S3 选择 Y 策略，S2 也一定会选择 Y 策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。 所以该博弈式的纯战略纳什均衡有 4 个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。
所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有 5 个，分别是（A，A，A）（A，B，A）（A，C，C）（B， B，B）（C，C，C）。
4．求解以下战略式博弈的所有纳什均衡
表 1.3
S2
S1
L
M
R
T
7，2 2，7 3，6
B
2，7 7，2 4，5
首先考虑纯纳什均衡。如果 S1 选择 T 战略→S2 将选择 M 战略→S1 选择 B 战略→S2 将选择 L
若参与人 1 选择 C 策略。如果参与人 2 选择 A 或 B 策略，那么参与人 3 将选择 C 策略；但当 参与人 3 选择 C 策略时，参与人 1 的最优策略是选择 B，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参 与人 2 选择 C 策略，参与人 3 将选择 C 策略；因为这时的 AB 策略都不满足纳什均衡，因此，存 在一个纳什均衡（C，C，C）。
1
是无差异的，但均衡策略只能是参与人 3 选择 A 策略，因此（A，A，A）是一个纳什均衡。如果 参与人 2 选择 B 策略，参与人 3 选择 AB 策略是差异的，但均衡策略只能是其选择 A，因此（A， B，A）是一个纳什均衡。如果参与人 2 选择 C 策略，参与人 3 将选择 C 策略；同样，如果参与 3 选择 C 策略，参与人 2 也将选择 C 策略。因此，（A，C，C）是一个纳什均衡。
可能有以下情况：
（1）S2 选择 L、M 和 R 的混合战略。对于 S2 而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种
战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：
⎧2α + 7(1 − α ) = 7α + 2(1 − α ) ⎩⎨7α + 2(1 − α ) = 6α + 5(1 − α )
纳什均衡
1．在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡 表 1.1
S1
L
S2 M
R
U 4,3
5,1
6,2
M 2,1
8,4
3,6
D 3,0
9,6
2,8
首先，找出 S2 的劣战略。对于 S2，M 策略严格劣于 R 策略，所以 M 为严格劣策略。删除后 M 再找出 S1 的劣战略，显然对于 S1 而言，M 策略和 D 策略严格劣于 U 策略，所以 M 和 D 为严 格劣策略。删除 M 与 D 后找占优均衡为（U,L）即，（4，3）。
战略→S1 选择 T 战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我们考虑寻找混合战略纳什
均衡。因此，S1 可以对 T 与 B 策略进行混合，而 S2 则可以对 L、M、R 中的任意至少两个策略进
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行选择，因此，设 S1 选择 T 策略的概率为 α，S2 选择 L 策略的概率为 β，M 策略的概率为 γ，则