浅谈_线性规划中的整点最优解_的几种求法
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镶写算
２０１０年第１６期
文学教育研究
浅谈“线性规划中的整点最优解”的几种求法
顾钰萍 （湖州中学浙江湖州３１３０００）
（（简单的线性规划问题》是高中数学教材必修５第三章《不 等式》的内容。求线性目标函数的最值问题是本节的重点，也是 本节的难点。课本给出了三个典型例题来介绍实际的线性规划 问题。其中例５和例６代表了第一类线性规划问题：给定一项任 务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最 小。例７代表了第二类线性规划问题：给定一定数量的人力、物 力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大。其 中例６是一个求整点最优解的问题，更是线性规划问题的一个 难点中的难点。 在实际教学过程中我发现学生很难理解教材给出的解答 过程，不知道课本给出的最优解是如何得到的。经过实际的教 学研究和资料查阅我得到几种寻求“线性规划中的整点最优 解”的方法。 一．网格法寻找整点最优解 网格法寻找整点最优解是最容易让学生理解接受的一种 方法。该方法的本质是直线的平移，但它并非一步一步的平移， 而是在非整点最优解附近搜索，同时结合网格，赢接找出附近 的整点来减小搜索范围，从而求出整点最优解。 例：某人有楼房一幢，室内面积共１８０ｍ２，拟分隔成两类房 间作为旅游客房，大房间每间面积为１８肌：，可住游客５名，每名 游客每天住宿费为４０元；小房间每间面积为１５所：，可住游客３ 名，每名游客每天住宿费为５０元・装修大房间每间需１０００元，装 修小房间每间需６００元。如果他只能筹款８０００元用于装修，且游 客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最 大收益？ 解：设隔出大房间间ｘ，小房间问Ｙ，收益为元ｚ，则 解：设隔出大房间间ｘ，小房间间Ｙ，收益为元ｚ，则
淞．
得Ａ（挈，竿），但不是整数解。此时：２００×２０，＋ｌ ５０×竿
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：坚罢。１８５７。又ｚ：２００Ｊ＋１５０ｙ：５０（４Ｊ＋３ｙ），故ｚ取到的最
优解一定被５０整除，则ｚ的最大值可能是ｌ ８５０。即４ｘ＋３ｙ＝３７， 又４ｘ＋３ｙ＝３７的所有整数解是（１，１１），（４，７）（７，３），而（１，１１） 不满足６ｘ＋５ｙｓ．６０，含去ｌ（４，７）不满足５工＋３ｙ≤４０，合去ｌ（７， ３）不满足５ｘ＋３ｙ≤４０，舍去。所以ｚ的最大值不可能是１８５０。则 ｚ的最大值可能是１８００、１７５０、１７００…，直到在可行域内找到满 ｊ 足条件的最优解。 若ｚ＝１８００，即４ｘ＋３ｙ＝３６，又４ｘ＋３ｙ＝３６的所有整数解 是（０，１２），（３，８）（６，４），（９，０），经检验只有（０，１２），（３，８）在可行
５０ｙ＝Ｏ，将直线Ｌ平移到腻时与原点距离最大。
ｒ６０ 得Ａ（手，号），但不是整数解。 解方程组１８ｘ＋１５：盂０１８ｙ＝。８０００得Ａ（等，等），但不是整数解。 万方数据
镶写算
２０１０年第１６期
文学教育研霓
老师创造了机会，学生一边操作一边思考，教师引导启发， 让学生从实际操作中体会到学习的乐趣，既培养了学生的学习 兴趣，又培养了学生思维能力。
３， ’Ｒ ２０
得它们对应的），＝１２，等，二｝，８，ｊ。故可得最优解为（ｏ，１２）
和（３，８），此时＝１８００。 这种方法利用换元来得到参数的范围，相对来说不会因为 画图不准确等原因而遗漏掉个别不太明显的整点最优解。 三种方法各有各的特点，因此解题要根据具体情况选择合 理的方法。但总得来说本质都是以平移法为基础，对于一般的 简单线性规划问题都能够求解。
１６０一３忙ｔ３０（下）
１６０＋３０＝－１９０（下）
师：以上两个答案，你认为第几个对，就伸出几个手指，开 始！同学们都选择了第一个算式。 师：如果现在第二个算式是正确的，题里的条件该怎样改 动呢？（把小青比小华和小明跳的总数少３０下，改为小青比小华 和小明跳的总数多３０下。） 师：好，恭喜大家，你们闯过了第一关１ ２、做一做。屏幕出示７６页做一做中的第２题。指名读题，学 （上接１１５页）ｚ，则
ｆ１８ｘ＋１５ｙ＜１８０
由于Ａ（詈，詈），我们利用附近的网格，可在Ａ附近找到（０，
１２），（１，１０），．（２，９），（３，８），（４，６），（５，５），（６，３），（７，１）（８，Ｏ）这 几个整点。经检验，（０，１２）和（３，８）都是最优解，此时ｚ＝１８００。 这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可 数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。 二．穷举法寻找整点最优解 如果我们对ｚ的所有可能取到的整数解进行尝试，验证它 是否在可行域内，也可以找到我们想要的整点最优解。下面我 们以穷举法来求解上面的例题。
Ｊ１８工十１５．！！二竺＜１８０
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７
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即），＝堑≠，将其代入约束条件得：｛ｌｏｏ。ｘ＋６∞！！鱼二兰兰≤８００。
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｛１００Ｑｘ＋６０砂≤８０００其中：：２００ｘ＋１５０ｙ如图可行域是阴影部
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可得０≤Ｊ≤４，又工为整数，故ｘ＝Ｏ，１，２，３或４，代入４ｘ＋３ｙ＝３６
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ｌｘ，ｙ≥ｏ，ｘ，ｙ∈Ｚ
影部分，作直线Ｌ：２００ｘ＋１５０ｙ＝０ 将直线Ｌ平移到Ａ点时与原点距离最大。
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ｆ１８石＋１５），＝１８０
解方程组１１０００ｘ＋６００ｙ：８０００ 骶
三、巧设结尾。升华主题一——回味无穷的尾声
回味无穷的尾声，对课堂教学起了加深主旨的作用，也通 过总结让学生学到思维的规则和方法，逐步提高学生集中思维 的能力。在课堂的结尾让学生说说这节课的学习内容或谈谈自 己的学习收获，有意识地帮助学生对例题进行分析、综合、抽象 和概括，以达到理清知识、内化知识的目的，并作扼要的归纳或 补充，对下节课的内容还可以根据需要设下悬念，让学生有一 种有回味无穷的感觉。在教学人教版九年义务教育六年制小学 数学第五册７５页“两步应用题”例１时，赵老师是这样处理这节课 的尾声的：（多媒体出示智慧城堡和智慧老人） 师：同学们看！智慧老人已经在智慧城堡的门口迎接你们， 你们想不想去智慧城堡看一看？不过，智慧老人说了，只有聪明 人才让进智慧城堡，也就是只有闯过以下几个关卡，智慧老人 才会让你们走进智慧城堡，有没有信心？（有） 出示过关题目： １、选一选。同学们跳绳，小华跳７５下，小明跳８５下，小青比 小华和小明跳的总数少３０下，小青跳了多少下？ （１）７５＋８５＝１６０（下） （２）７５＋８５＝１６０（下）
目△
生独立解答，集体订正。让学生闯过第二关。 ３、猜一猜：多媒体演示三只小兔子参加射击比赛，小白兔 射中１５颗，小黑兔射中１０颗。 师：猜一猜小花兔射中多少颗？能猜出来吗？ 生：猜不出来。 师：为什么猜不出来？ 生：缺少条件。 师：谁能补充—个条件，来猜中小花兔射中多少颗（指名回答） 生１：小花兔射中的比小白兔和小黑兔射中的总和多５颗。 生２：小花兔射中的比小白兔和小黑兔射中的总和少５颗。 生３：小花兔射中的比小白兔射中的多１０颗。 生４：小花兔射中的比小白兔射中的少１０颡。 生５：小花兔射中的比小黑兔射中的多３颗。 生６：小花兔射中的比小白兔射中的少３颗。 师：同学们，第三关，咱们闯过了１ ４，练一练：在动物王国里，一群小猴子们正在举行吃桃子 比赛，看！ｌ号选手吃了ｌＯ＋，２号选手吃了１２个，该３号吃了，它 说：“我吃了一定比他们俩的总数还多３个”。 师：它能吃多少个桃子？ 生：２５个。 学生回答后，智慧老人立即打开智慧城堡的大门，说：“同 学们，欢迎你们来智慧城堡做客！”（这些问题知趣相融，富有思 考价值，使学生所学的知识与实践相结合，有利于开阔学生的 视野，激发学生的学习兴趣；有利于引导学生的思维向纵深发 展，从而完美地实现教学目标。）． 只在这样：扣人心弦的序曲，引人人胜的主旋律以及回味 无穷的尾声，才能达到前后浑然一体的美妙境界。这才构成布 局合理，结构完美的数学课堂。 参考文献 ［１】《中国教育现代化》． ［２］《小学教学设计》（数学．科学版）山西教育报刊社出版 【３】《小学教学设计》山西教育报刊社出版．
・１１７・
分，作直线Ｌ：２００ｘ＋１５０ｙ＝Ｏ将直线四萄瞄冽Ａ点时与原点距离萄最ｒ大。
得Ａ（孚，号），但不是整数 １８ｘ＋工ｌ＋Ｓｙ６０ ＝１，，８：０ｌｉＯ Ｏ－ ｊ －－８０００得Ａ（孚，等），但不是整数
工＋６００，，：
解。此时ｚ：２
０
０×２０，＋１５０×了６０：下１３０００。１８５７。又
：＝２００ｘ＋１５０ｙ＝５０（４ｘ＋３ｙ），故ｚ取到的最优解—定被５０整除，
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域内，所以当ｘ＝０，Ｙ＝１２或ｘ＝３，Ｙ＝８时，ｚ取到最大值１８００。 三，换元法寻找整点最优解 类似穷举法，换元法也是利用ｚ的所有可能取值，但是并不
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Ｋ
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踮∞ 引∞．∥ 啪胚“
其中ｚ＝２００ｘ＋１５０ｙ可行域如图所示，
是找出所有可能的整数解，而是利用换元来减少线性约束务件 的元数，以得出参数的范围，从而确定出变量Ｘ，Ｙ的取值，再来 确定最优解的可能值。下面我们以换元法来求解上面的例题。 解：设隔出大房间间工，小房间间Ｙ，收益为元（下转１１７页）
・】１５・
作直线Ｌ，２００ｘ＋１ 解方程组
则ｚ的最大值可能是１８５０。则４ｘ＋３ｙ＝３７，ｌｉｌｌｙ＝二二ｉ∑，将其代 Ｊ
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整数，故ｘ＝３，此时Ｙ为非整数ｚ的最大值可能是１８００，则４ｘ＋３ｙ＝３６，
万方数据
浅谈"线性规划中的整点最优解"的几种求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 顾钰萍 湖州中学,浙江,湖州,313000 读写算（教育教学研究） DUYUXIE 2010(16)
本文链接：/Periodical_dxs-jyjxyj201016110.aspx
２０１０年第１６期
文学教育研究
浅谈“线性规划中的整点最优解”的几种求法
顾钰萍 （湖州中学浙江湖州３１３０００）
（（简单的线性规划问题》是高中数学教材必修５第三章《不 等式》的内容。求线性目标函数的最值问题是本节的重点，也是 本节的难点。课本给出了三个典型例题来介绍实际的线性规划 问题。其中例５和例６代表了第一类线性规划问题：给定一项任 务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最 小。例７代表了第二类线性规划问题：给定一定数量的人力、物 力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大。其 中例６是一个求整点最优解的问题，更是线性规划问题的一个 难点中的难点。 在实际教学过程中我发现学生很难理解教材给出的解答 过程，不知道课本给出的最优解是如何得到的。经过实际的教 学研究和资料查阅我得到几种寻求“线性规划中的整点最优 解”的方法。 一．网格法寻找整点最优解 网格法寻找整点最优解是最容易让学生理解接受的一种 方法。该方法的本质是直线的平移，但它并非一步一步的平移， 而是在非整点最优解附近搜索，同时结合网格，赢接找出附近 的整点来减小搜索范围，从而求出整点最优解。 例：某人有楼房一幢，室内面积共１８０ｍ２，拟分隔成两类房 间作为旅游客房，大房间每间面积为１８肌：，可住游客５名，每名 游客每天住宿费为４０元；小房间每间面积为１５所：，可住游客３ 名，每名游客每天住宿费为５０元・装修大房间每间需１０００元，装 修小房间每间需６００元。如果他只能筹款８０００元用于装修，且游 客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最 大收益？ 解：设隔出大房间间ｘ，小房间问Ｙ，收益为元ｚ，则 解：设隔出大房间间ｘ，小房间间Ｙ，收益为元ｚ，则
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优解一定被５０整除，则ｚ的最大值可能是ｌ ８５０。即４ｘ＋３ｙ＝３７， 又４ｘ＋３ｙ＝３７的所有整数解是（１，１１），（４，７）（７，３），而（１，１１） 不满足６ｘ＋５ｙｓ．６０，含去ｌ（４，７）不满足５工＋３ｙ≤４０，合去ｌ（７， ３）不满足５ｘ＋３ｙ≤４０，舍去。所以ｚ的最大值不可能是１８５０。则 ｚ的最大值可能是１８００、１７５０、１７００…，直到在可行域内找到满 ｊ 足条件的最优解。 若ｚ＝１８００，即４ｘ＋３ｙ＝３６，又４ｘ＋３ｙ＝３６的所有整数解 是（０，１２），（３，８）（６，４），（９，０），经检验只有（０，１２），（３，８）在可行
５０ｙ＝Ｏ，将直线Ｌ平移到腻时与原点距离最大。
ｒ６０ 得Ａ（手，号），但不是整数解。 解方程组１８ｘ＋１５：盂０１８ｙ＝。８０００得Ａ（等，等），但不是整数解。 万方数据
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２０１０年第１６期
文学教育研霓
老师创造了机会，学生一边操作一边思考，教师引导启发， 让学生从实际操作中体会到学习的乐趣，既培养了学生的学习 兴趣，又培养了学生思维能力。
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ｆ１８ｘ＋１５ｙ＜１８０
由于Ａ（詈，詈），我们利用附近的网格，可在Ａ附近找到（０，
１２），（１，１０），．（２，９），（３，８），（４，６），（５，５），（６，３），（７，１）（８，Ｏ）这 几个整点。经检验，（０，１２）和（３，８）都是最优解，此时ｚ＝１８００。 这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可 数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。 二．穷举法寻找整点最优解 如果我们对ｚ的所有可能取到的整数解进行尝试，验证它 是否在可行域内，也可以找到我们想要的整点最优解。下面我 们以穷举法来求解上面的例题。
Ｊ１８工十１５．！！二竺＜１８０
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即），＝堑≠，将其代入约束条件得：｛ｌｏｏ。ｘ＋６∞！！鱼二兰兰≤８００。
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三、巧设结尾。升华主题一——回味无穷的尾声
回味无穷的尾声，对课堂教学起了加深主旨的作用，也通 过总结让学生学到思维的规则和方法，逐步提高学生集中思维 的能力。在课堂的结尾让学生说说这节课的学习内容或谈谈自 己的学习收获，有意识地帮助学生对例题进行分析、综合、抽象 和概括，以达到理清知识、内化知识的目的，并作扼要的归纳或 补充，对下节课的内容还可以根据需要设下悬念，让学生有一 种有回味无穷的感觉。在教学人教版九年义务教育六年制小学 数学第五册７５页“两步应用题”例１时，赵老师是这样处理这节课 的尾声的：（多媒体出示智慧城堡和智慧老人） 师：同学们看！智慧老人已经在智慧城堡的门口迎接你们， 你们想不想去智慧城堡看一看？不过，智慧老人说了，只有聪明 人才让进智慧城堡，也就是只有闯过以下几个关卡，智慧老人 才会让你们走进智慧城堡，有没有信心？（有） 出示过关题目： １、选一选。同学们跳绳，小华跳７５下，小明跳８５下，小青比 小华和小明跳的总数少３０下，小青跳了多少下？ （１）７５＋８５＝１６０（下） （２）７５＋８５＝１６０（下）
目△
生独立解答，集体订正。让学生闯过第二关。 ３、猜一猜：多媒体演示三只小兔子参加射击比赛，小白兔 射中１５颗，小黑兔射中１０颗。 师：猜一猜小花兔射中多少颗？能猜出来吗？ 生：猜不出来。 师：为什么猜不出来？ 生：缺少条件。 师：谁能补充—个条件，来猜中小花兔射中多少颗（指名回答） 生１：小花兔射中的比小白兔和小黑兔射中的总和多５颗。 生２：小花兔射中的比小白兔和小黑兔射中的总和少５颗。 生３：小花兔射中的比小白兔射中的多１０颗。 生４：小花兔射中的比小白兔射中的少１０颡。 生５：小花兔射中的比小黑兔射中的多３颗。 生６：小花兔射中的比小白兔射中的少３颗。 师：同学们，第三关，咱们闯过了１ ４，练一练：在动物王国里，一群小猴子们正在举行吃桃子 比赛，看！ｌ号选手吃了ｌＯ＋，２号选手吃了１２个，该３号吃了，它 说：“我吃了一定比他们俩的总数还多３个”。 师：它能吃多少个桃子？ 生：２５个。 学生回答后，智慧老人立即打开智慧城堡的大门，说：“同 学们，欢迎你们来智慧城堡做客！”（这些问题知趣相融，富有思 考价值，使学生所学的知识与实践相结合，有利于开阔学生的 视野，激发学生的学习兴趣；有利于引导学生的思维向纵深发 展，从而完美地实现教学目标。）． 只在这样：扣人心弦的序曲，引人人胜的主旋律以及回味 无穷的尾声，才能达到前后浑然一体的美妙境界。这才构成布 局合理，结构完美的数学课堂。 参考文献 ［１】《中国教育现代化》． ［２］《小学教学设计》（数学．科学版）山西教育报刊社出版 【３】《小学教学设计》山西教育报刊社出版．
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作直线Ｌ，２００ｘ＋１ 解方程组
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浅谈"线性规划中的整点最优解"的几种求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 顾钰萍 湖州中学,浙江,湖州,313000 读写算（教育教学研究） DUYUXIE 2010(16)
本文链接：/Periodical_dxs-jyjxyj201016110.aspx