概率论与数理统计(浙大版)第三章课件多维随机变量及其分布

(ii)
f ( x, y)dxdy 1
(3) F(x, y)与f (x, y)的关系
xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
f ( x, y)反映(X,Y)落在( x, y) 处附近的概率大小
P( x X x x, y Y y y) f ( x, y)xy
)
y2 2
x1 1
2
1
e
(
x1 )2 212
21
1
e dy
2
2 2
1 (1 2
)
y
2
2 1
(
x1 )2
2 2 1 2
1
( x1 )2
e 212
即二维正态分布的
x 两个边缘分布都是
2 1
一维正态分布，
同理 fY ( y)
1
e ,
(
x2 )2
2
2 2
2 2
并且都不依赖于参数
解: (X,Y)所有可能的取值为： （0,3）（1,1）（2,1）（3,3）
P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8
YX 0
1
2
3
1 0 3/8 3/8 0
3 1/8 0
0 1/8
例2: 设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个 数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数 .求(X,Y)的分布律。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
ke(2x3y) , x 0，y 0
y
f (x, y) 0,
其他
(1) 求常数k；
1
yx
2 求分布函数F(x, y)； 3求P(Y X )的概率
0
x
解： (1)利用 f (x, y)dxdy 1,得 － －
x2 p21 p22 p23
p j p1 p2 p3
pi1
i 1
pi3
i 1
pi
p 1
p1 j
j 1
p2 p2 j
j 1
1
例: 求例1中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的 边缘分布律.
X0
Y
1
2
3 p. j
1
0 3/8 3/8 0 6
8
3
1/8 0 0 1/8 2
8
pi. 1
1。F x, y关于x, y单调不减，即：
x1 x2 F (x1, y) F (x2 , y)
y1 y2 F (x, y1) F (x, y2 )
y (x1,y) (x2,y)
x1 x2
2 0 F(x, y) 1，F(, ) 1 对任意x, y
y2
(x,y2)
y1
(x,y1)
F(, y) F(x, ) F(, ) 0
(2)X,Y的边缘分布律；
(3)P(X 1| Y 1)
解：
(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4
又P(Y
1|
X
1)
0.2 0.3 a
0.2 0.3
a
1 2
a
0.1，b=0.3
(2) X 1 2
p 0.4 0.6 i
3
P( X
1|Y
1)
2 5
0.4
Y -1 0 1
p j
0.2 0.3
FX (x) P( X x) P( X x,Y ) F (x, ) 即在分布函数F (x, y)中令y ，就能得到FX (x)
同理得：FY ( y) P(Y y) F (, y)
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi，Y y j ) pij，i, j 1, 2,
)；
试求二维正态随机变量的边缘概率密度。
二维正态分布的图形
解：fX (x)
f (x, y)dy
1
21 2 1 2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x 1)( y 2 ) 1 2
(y 2)2
2 2
dy
1
21 2 1 2
e e dy
(
x1 )2 212
1 2(1 2
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(x 1)( y 2 ) 1 2
(y 2)2
2 2
x ， y
其中 1，2，1， 2，都是常数，且1 0， 2 0，1 1；
我们称 X ,Y 为服从参数为1，2，1， 2，的二维正态分布，
记为：( X ,Y )
N
(1，2
;12，
2 2
;
其他
fX (x) f (x, y)dy
x 6dy 6(x x2 ),
x2
0 x 1
0,
其他
fY ( y)
f (x, y)dx
y
6dx 6(
y
y y),
0,
0 y 1 其他
例4：设二维随机变量 X ,Y 的概率密度为：
f (x, y)
1
21 2 1 2
exp
1Hale Waihona Puke Baidu
2(1
kxy, 0 x y 1
y
f (x, y) 0, 其他
1
(1) 求常数k；(2) 求概率 P( X Y 1)
yx
解：
1 利用
f (x, y)dxdy 1
0
得：1
f (x, y)dxdy
1
y
kxydxdy
00
x
1 k y3dy k k 8
02
8
2 P(X Y 1)
y
作业题
P.84 2、3、5、6、8、9
(1) 0 pij 1
(2) pij 1
ij
(2)表格法
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13
x2 p21 p22 p23
(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G)
pij
( xi , yj )G
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”， 试求(X,Y)的联合分布律。
§1 二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。
例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
因为P x1 X x2, y1 Y y2
F (x2, y2 ) F (x2, y1) F(x1, y2 ) F (x1, y1) 0
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有 限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散 型随机变量。
设X的可能值为 x1, x2,, xm , Y的可能值为 y1, y2,, yn,
0.5
例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机
变量(X,Y)具有概率密度
1 A, (x, y) G
f (x, y) 0 , 其他
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
现设(X,Y)在有界区域 x2 y x上均匀分布，其概
率密度为
6,
解：
f (x, y) 0,
x2 y x 求边缘概率密度 fX (x)，fY ( y)
X,Y的边缘分布律为：
记为
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
i 1
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
j 1
注意：
X Y y1
记号pi 中 表示pi 是由pij关于
x1
p
11
j求和后得到的；同样p
k e2xdx e3ydy k 6 1 k 6
0
0
6e(2x3y) , x 0，y 0
f (x, y) 0,
其他
2 F(x, y)
y
x
f
(u, v)dudv
y 0
x 6e(2u3v)dudv,
0
0,
x 0, y 0 其他
x 2e2udu
0
0,
y 3e3vdv,
8
331 888
1
X与Y的边缘分布律如下:
X0 1 2 3
pi. 1 3 3 1
8888
Y1 3
p. j
6 8
2 8
对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 f (x, y)
X,Y的边缘概率密度为：fX (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx
事实上，
FX (x) F(x, )
是由
j
pij关于i求和后得到的；
x2
p …21
xi
p
i1
…
PY yj p·1
… y2
yj
p
12
…
p
1j
p
22
… …
p
2j
p
i2
…
p
ij
…
p·2 … p.j
…… ……
… P X xi
… p1· … p2· … … pi · …
…1
我们常在表格上直接求边缘分布律
X Y y1 y2 y3
x1 p11 p12 p13
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
二维连续型随机变量
定义：对于二维随机变量 X ,Y 的分布函数F x, y,
如果存在非负函数f x, y，使对于任意x, y，
0
x 0, y 其他
0
(1
e2
x
)(1
e3
y
),
0,
x 0, y 0 其他
3
P(Y X )
0
6e(2x3y)dxdy
y
0
3e3 y
(e 2 x
|y )dy
3e 3ye2 ydy 0
3e5 ydy
0
3 5
e5 y
|0
3 5
例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
记成
P( X x,Y y)
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。 0
x
几何意义
(X,Y)平面上随机点的 坐标
F (x, y) P { X x,Y y }
F( x, y) 即为随机点(X,Y) ( , )
落在以点(x,y)为顶点,位于 该点左下方的无穷矩形区域 G内的概率值。
分布函数 F(x,的y) 性质
则 ( X ,Y )的可能值为( xi , yj ),
i 1,2,, m,; j 1,2,, n,
中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
(1)公式法
p( xi , yj ) P( X xi ,Y yj ) pij
pij的性质：
(i, j 1,2,)
有F (x, y)
y
x
f (u, v)dudv
称 X,Y 为连续型的二维随机变量
称f x, y为二维随机变量 X,Y 的联合概率密度
说明
(1) 分布函数 F( x, y) 是连续函数. (因为 F( x, y)
是积分上限函数)
(2) f (x, y) 的性质
(i) f (x, y) 0
概率微分
(4) f ( x, y)的作用: 描述(X,Y)的取值规律
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) G)等于以G为底，以曲面
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
1
1 x
2 dx 8xydy
0
x
1
2 4x[(1 x)2 x2 ]dx 0
1 2
4 x(1
2x)dx
1
1
1
0
23 6
§2 边缘分布
二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 F(x, y), 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数
记为：FX (x)，FY (称y)，为边缘分布函数。
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y) 事实上，
x
3。F x, y关于x, y右连续，即：
lim F(x , y) F(x, y)
0
y2
lim F(x, y ) F(x, y)
0
y1
4 若x1 x2 , y1 y2
0 x1 x2
F (x2 , y2 ) F (x2 , y1) F (x1, y2 ) F (x1, y1) 0
x
f
(t,
y)dydt
同理：
x
fX (t)dt
FY ( y) F(, y)
y
f
( x, t )dx dt
y
fY (t)dt
例2：(X,Y)的联合分布律为
已知：P(Y 1| X 1) 0.5
求：(1)a,b的值；
Y X
-1
0
1
1 0.1 a 0.2
2 0.1 0.2 b
分析 (X,Y)所有可能的取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).
解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1,, i .
则： P( X i,Y j)
P( X i) P(Y j X i)
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}；
设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量
或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
x, y