离散小波变换与正交小波

在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消 失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域， 是频率带限函数，具有好的局部化特性。
例 5.3 考虑线性样条函数
1 t 1, 2 t 0
(t) 1 1 t , 0 t 2
0,
其他
从几何上看， (t) 显然是一个基本小波
易知 (t) s(t) s(t 2)
t, 0 t 1 这里 s(t) 2 t, 1 t 2
0, 其他
是个帐篷函数
s()
s(t)eitdt
1teit dt
2 (2 t)eitdt
0
1
ei
i
1 ei
(i)2
ei
i
ei2 ei
(i)2
1 ei
i
2
ˆ () sˆ() e2i sˆ() (1 e2i )(1 ei )2 i
构成了子空间 S { f (t) L2(R) | fˆ() 0, }
的一个标准正交基
令S2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m}，则 S2m
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
正交小波
且对任意
其中
cj,k
f (t) cj,k j,k (t)
j,k
正交小波级数分解
f (t), j,k (t) f (t) j,k (t)dt, j, k Z
称为 f 的小波系数
小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离 散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正 交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。
mZ 0
1 2
2 0
mZ | ˆ( 2m ) |2ei(kl) d kl .
注意到 1
2
2 0
ei(kl )
d
kl
以及
Fourier
系数的唯一
得： | ˆ( 2m ) |2 1。反之，。。。。证毕。 mZ
正交小波
例5.2 Shannon小波
(t) sint t
尺度函数
(t) 的一切平移所生成的函数系{(t n)} (n Z)
正交小波
正交小波的例：
例5.1 Haar小波
1,
母函数 h(t) 1,
0,
0t 1 2
1 t 1 2 其它
经过二进伸缩与平移可得到
j
hj,k (t) 22 h(2 j t k), j, k Z
是 L2 (R)的一个标准正交基，但此小波基是一族阶梯
函数，连续性较差，不适合分析光滑性较好的信号。 它的时间局部性非常好，但频域局部性不好
§2.5 离散小波变换 与正交小波
1. 离散小波变换
设 (t)为母小波 ，记
j
j,k (t) 22 (2 j t k), j, k Z
则称 Wf j, k f , j,k (t)
为离散小波变换
2.正交小波
定义：
j
设有允许小波 (t)，记 j,k (t) 22 (2 j t k)，其中
定理 4.2 平移正交构造定理
若 g t k , k Z 不构成标准正交基，则可令
(x)
gˆ ()
|
mZ
gˆ (
2m ) |2
于是 t k , k Z 构成标准正交基
j, (t) 22 (2 j t k) | j,k Z}
构成空间 L2 (R) 的标准正交基, 则称 (t)是正交小波
母函数或简称正交小波
函数族 { j,k | j, k Z} 称为正交小波基。
正交小波
对任意 f (t) L2 (R) ，存在唯一的展式：
3.平移正交判定定理
定理5.1 函数系 {(x l) | l Z}为标准正交系当且仅当
| ˆ( 2k ) |2 1 kZ
证明：{(x l) | l Z} 标准正交
((x k),(x l)) (x k)(x l)dx kl
1
2
([ ( x
k)]^ ,[(x
l)]^ )
kl
而 1 ([(x k)]^ ,[(x l)]^ ) 1 (ˆ()eik ,ˆ()eil )
2
2
1 ˆ()eikˆ()eild
2
1
| ˆ()
|2
ei(kl ) d
2
2 周期
1
2
2(m1) | ˆ() |2 ei(kl) d
mZ 2m
1
2
2 | ˆ( 2m ) |2 ei(kl) d
f
(t
)
S 2
m
有
f
(t)
nZ
f
(2
m
n)
sin 2m
2m
(t
(t
2m n) 2m n)
记S
2m
在S 2m1
中的正交补为V2m
，则
V2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m或 2m1}
于是
L2 (R) V m 2m
正交小波
令
(t)
2 (2t
1)
(t
1)
sin
2
(t
1) 2
sin
(t
1) 2
2
(t 1)
2
它的整的平移族{ (t n) | n Z}是V 的标准正交基
m
对任意 m Z ,{2 2 (2m t k) | k Z}是V2m 的标准正交基
m
{2 2 (2m t k) | m, k Z}构成L2 (R)的标准正交基
Shannon小波基