正态分布优质课(课堂PPT)

如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
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3、标准正态分布 正态总体的函数表示式
关于y轴对称, 偶函数
,(x)
1
e
2
(x)2 22
x(,)
标准正态曲线
y
当μ= 0，σ=1时
μ=0
标准正态总体的函数表示式
σ=1
f (x)
x2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
1
e2
2
x(,)
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例题 : 正态总体 N（0，1）的概率密度函数是：
f (x)
1
e
( x )2 2 2
2
（1）求证： f (x)是偶函数；
（2）求f (x)的最大值；
y
μ=0 σ=1
（3）求f (x)的单调区间 .
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
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思考 观 察
图 2 .4 4 ,结
合 , x 的
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
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正态曲线下的面积规律
▪ 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
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5、特殊区间的概率:
若X~N ( , 2 ) ,则对于任何实数a>0,概率
a
P(a≤ a),(x)dx
a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 a 而言，该面
频率分布折线图
Ukk
频率/组距 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
O1
2 34
56
7
8 9 10 11 槽 的编 号4
撤去球槽 建坐标
离散型随机变量
试验次数增多时 频率分布直方图
连续型随机变量
总体密度曲线
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在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果；
为什么会是在中间位置？
提示：由频率分布直方图求平均数的方法可知
平均数
10
的意义
总体标准差,反映总体随机变量的 集中与分散的程度
1
2
平均数
11
巩固练习1： 给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ
(1)、 f(x)
1
x2
e 2,x( , )
2
(2)、 f(x)
1
(x1)2
e 8 ,x(, )
创设情景，引入新课
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 1
所示的就是一块高尔顿板示意
图.在一块木板上钉上若干排相
互平行但相互错开的圆柱 形小
木块,小木块之间留有适当的空
隙作为通道,前面挡有一块玻璃. 让一个小球从高尔顿板 上方的
图2.41
通道口落下,小球在下落过 程中
与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
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概率（频率）
面积
定积分 y
a
bc
d 平均数
x
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐
标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率如何求？
P(aXb)ab,(x)dx 13
2、正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(aXb)ab,(x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
不作要求
O
图2.43
x
这条曲线 (或 就近 是似 )下地 列函数的 : 图象
φμ,σx 1 ex 2 σ μ 2 2,x , ,
2π σ
其中 μ 和 σ σ 实 0 为 数 .我 参φ 们 μ 数 ,σ x 的 称
图正象 态分布密为 度曲线 ,简 正态称 曲线 . 9
的意义
总体平均数,反映总体随机变量的平均水平即均值
X=μ
(x)
σ=0.5
1 e(x22)2
2
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
12 3 x
（5）当 σ 一定时,曲线随着μ的变化而沿着x轴平移
(6)当μ一定时，曲线的形状由确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
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巩固：把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
解析式及概 Ukk
4、正态曲线的性质1:
y
率的性质
,你
能说 说正态
曲线 的特点
吗?
分组讨论
o
x
图2.44
可以发现 ,正态曲线有如下特: 点
1 曲线 x 轴 位 ,上 与 x 于 轴 方 不 ; 相 2曲线是,它 单关 峰于 的 x直 μ 线
对;称
3曲线 x在 μ处达到 ; 峰值
4曲 线x轴 与之 间 的1.面 积 为
P(X)0.6826,
P(2X2)0.9544,
P(3X3)0.9974.
上的概率,求其概率的计算问题。
重点： 正态分布的概念、正态曲线的 性质和正态分布的一些简单计算
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1、正态曲线
随 着 重 复 次 数,这 的个 增频 加率 直 方 图 的
会
Ukk
越
来
越
像
一
条 线图 钟2.4形3曲 .
y
解析式推导
1
Ukk
图2.41
高尔顿（钉）板演示试验
2
以球槽的编号,以 为小 横球 坐 入落 标 各个球槽
率Uk值 k 为纵 ,可 坐以 标画出频率图 分 图2布 .4直 2. 方
频率/组距 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
O1
2 34 5 6 7
图 2.4 2
8 9 10 11 槽 的编 号3
（ D）
A.曲线b仍然是正态曲线； B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等; C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为 概率密度曲线的总体的期望大2; D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为 概率密度曲线的总体的方差大2。
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正态曲线下的面积规律
▪ X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 ▪ 对称区域面积相等。
在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。 6
高二数学 选修2-3
2.4 正态分布
淮阳一高高二数学组：杨留杰
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学习目标：
1.通过总体密度曲线了解正态曲线的意义； 2.借助正态曲线理解正态曲线的性质； 3.利用正态曲线的对称性及正态总体X在
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1
若固定,
随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
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均数相等、方差不等的正态分布图示
Hale Waihona Puke Baidu
μ=0
=0.5 =1
若 固定, 大
时, 曲线矮而胖； 小时, 曲线瘦
而高, 故称 为形状参数。
=2
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4、正态曲线的性质2:
y