(新教材)2020高中数学同步导学人教A第二册：第十章 概率 10.1.3

小蜜蜂教育资源
知识点一 概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率 (probability)，事件 A 的概率用 P(A)表示．
小蜜蜂教育资源
知识点二 古典概型 1．古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间 有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模 型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概 型．
2．概率公式 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点， 事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率
P(A)＝nk＝nnΩA. 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点 个数．
小蜜蜂教育资源
状元随笔
1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等 可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的 重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计 算即可．
2．在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这 些基本事件为等可能基本事件．
[教材解难]
1．教材 P233 思考 在 10.1.1 节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币 的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些？
提示：共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．教材 P234 思考 考虑下面两个随机试验，如何度量事件 A 和事件 B 发生的可能 性大小？
(1)一个班级中有 18 名男生、22 名女生．采用抽签的方式，从 中随机选择一名学生，事件 A＝“抽到男生”；
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，事件 B＝“恰好一次正面朝 上”．
提示：对于问题(1)，班级中共有 40 名学生，从中选择一名学 生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是 一个古典概型．
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的 比例大小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．显然， 这个随机试验的样本空间中有 40 个样本点，而事件 A＝“抽到男 生”包含 18 个样本点．因此，事件 A 发生的可能性大小为1480＝290.
对于问题(2)，我们用 1 表示硬币“正面朝上”，用 0 表示硬币 “反面朝上”，则试验的样本空间
Ω＝{(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)， (0,0,0)}，
共有 8 个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一 个古典概型．
事件 B 发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样 本空间包含的样本点中所占的比例大小．因此，可以用事件包含的 样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量．因为 B＝ {(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)}，所以事件 B 发生的可能性大小为38.
小蜜蜂教育资源
3．教材 P235 思考 在标准化考试中也有多选题，多选题是从 A，B，C，D 四个选 项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确 的)．你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
提示：多选题更难 单选题选对的概率为14 多选题共有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C， D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，(A，B，C， D)共 11 种，选对的概率为111.
小蜜蜂教育资源
4．教材 P236 思考 在例 8 中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子 标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
提示：如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个 点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是 1 点和 2 点，有可能第 一枚骰子的结果是 1 点，也有可能第二枚骰子的结果是 1 点．这样， (1,2)和(2,1)的结果将无法区别．
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间 Ω1＝{(m，n)|m， n∈{1,2,3,4,5,6}，且 m≤n}，则 n(Ω1)＝21.其中，事件 A＝“两个点 数之和是 5”的结果变为 A＝{(1,4)，(2,3)}，这时 P(A)＝221.
5．教材 P236 思考 同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
提示：可以发现，36 个结果都是等可能的；而合并为 21 个可 能结果时，(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型 特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此 P(A)＝221是错误的．
[基础自测]
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记 A 为“所得点数之和小于 5”，则事件 A 包含的样本点数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6 解析：事件 A 包含的样本点有 6 个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)， (2,2)，(3,1)，故选 D. 答案：D
2．下列试验中是古典概型的是( ) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有 2 个白球和 2 个黑球，这 4 个球除颜色外完全相 同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都 是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中 10 环，命 中 9 环，…，命中 0 环
解析：对于 A，发芽与不发芽概率不同；对于 B，任取一球的 概率相同，均为14；对于 C，基本事件有无限个；对于 D，由于受 射击运动员水平的影响，命中 10 环，命中 9 环，…，命中 0 环的 概率不等．因而选 B.
答案：B
小蜜蜂教育资源
3．若书架上放有数学，物理、化学书分别是 5 本、3 本、2 本， 则随机抽出一本是物理书的概率为( )
13 A.5 B.10 C.35 D.12
解析：样本点总数为 10，“抽出一本是物理书”包含 3 个样本 点，所以其概率为130，故选 B.
答案：B
4．在 20 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期．从中任取 1 瓶，取 到已过保质期的饮料的概率是________．
解析：样本点数共有 20 个，事件发生占 2 个，故所求概率为220 ＝110.
答案：110
题型一 基本事件的计数[经典例题] 例 1 连续掷 3 枚硬币，观察这 3 枚硬币落在地面上时是正面 朝上还是反面朝上．
(1)写出这个试验的所有样本点； (2)求这个试验的样本点的总数； (3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
【解析】 (1)这个试验包含的样本点有(正，正，正)，(正，正， 反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)， (反，反，正)，(反，反，反)；
(2)这个试验包含的样本点的总数是 8； (3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下 3 个样本点： (正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正). 1.将样本点一一列举即可. 2.然后找出符合题意的样本点.
方法归纳 要写出所有的样本点通常有列举法、列表法、树形图法．但不 论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏．
小蜜蜂教育资源
跟踪训练 1 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片 中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的所有样 本点数为( )
A.2 B．3 C．4 D．6
解析：用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为 (1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共 4 种可能．故选 C.
答案：C 由奇＋偶法将样本点一一列举．
题型二 对古典概型的判断[经典例题] 例 2 (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任 意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果 只有有限个：命中 10 环，命中 9 环，…，命中 1 环和命中 0 环(即 不命中)．你认为这是古典概型吗？为什么？
【解析】 (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的 所有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能 性相同，这个试验也不是古典概型．
(2)试验的所有可能结果只有 11 个，但是命中 10 环，命中 9 环，…，命中 1 环和命中 0 环(即不命中)的出现不是等可能的，这 个试验也不是古典概型.
判断是否为古典概型的关键：试验是否具有有限性和等可能性.
方法归纳 判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个 特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
跟踪训练 2 下列试验是古典概型的为________． ①从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性 大小 ②同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率 ③近三天中有一天降雨的概率 ④10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③ 不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
答案：①②④ 依古典概型的定义判断．
小蜜蜂教育资源
题型三 简单古典概型概率的计算[教材 P237 例 10] 例 3 从两名男生(记为 B1 和 B2)、两名女生(记为 G1 和 G2)中 任意抽取两人．
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性 别等比例分层抽样的样本空间．
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
【解析】 设第一次抽取的人记为 x1，第二次抽取的人记为 x2， 则可用数组(x1，x2)表示样本点．
(1)根据相应的抽样方法可知： 有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2， B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)， (G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2， G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一
人，其样本空间
Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．
(2)设事件 A＝“抽到两名男生”，则 对于有放回简单随机抽样
A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}． 因为抽中样本空间 Ω1 中每一个样本点的可能性都相等，所以 这是一个古典概型．因此 P(A)＝146＝0.25. 对于不放回简单随机抽样，A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}． 因为抽中样本空间 Ω2 中每一个样本点的可能性都相等，所以 这是一个古典概型．
因此 P(A)＝122＝16≈0.167. 因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以 A＝∅， 因此 P(A)＝0.
教材反思
在求解概率问题时，常常遇到这样的情况，即从一堆小球中 抽取几个小球，根据小球的颜色求解概率．解决此类问题时，首先 要分清抽取的方式，即“有放回”与“无放回”．
“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的 物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样 的．
“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体 放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽 取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少 1.
这两种情况下基本事件总数是不同的．
跟踪训练 3 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中
任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则
红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
1
1
A.3 B.2
2
5
C.3 D.6