第2章 复合型裂纹

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断裂力学及其工程应用
第7次课 次课
张伟伟
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第二章 复 合 型 裂 纹
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总的能量释放率：
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支裂纹的能量释放率
KI和KII如何确定？ 如何确定？
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确定支裂纹的K
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产生复合裂纹的原因
在裂纹尖端的应力场中，同时参杂着I型和Ⅱ型，甚 至Ⅲ型裂纹的应力。这种裂纹称为复合型裂纹。
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复合裂纹的研究目的
复合型裂纹扩展与单纯张开型裂纹扩展的主要不同之点 在于其裂纹的扩展性往往不是沿着原裂纹方向，而是沿着 与原裂纹面成某一角度的方向进行的。 复合型裂纹的研究，主要在于确定下面两个问题： 1．裂纹开始沿什么方向扩展? 即需要确定开裂角(与原 裂纹面方向的夹角)； 2．裂纹在什么条件下开始扩展? 即需要确定临界状态( 或断裂准则)。
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研究方法
复合型裂纹的脆性断裂理论。不外乎从以下三方面分 析： (1)以应力为参数； (2)以位移为参数； (3)以能量为参数。 本章着重介绍三种主要的，也是最流行的复合型断 裂准则：最大周向应力准则，能量释放率准则和应变能 密度因子准则。给出工程上实用的偏于安全方面的复合 型断裂判据。
还可知： 由(2-1)还可知： 还可知
仍然是(2-1)： 仍然是 ：
讨论该方程， 讨论该方程，前 一部分等于0，后 一部分等于 ， 一部分等于0 一部分等于
所以， 所以，相应于 方向的能 量释放率为： 量释放率为：
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结论： 结论：
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例
开裂角：
题（续）
开裂判据：
开裂临界应力：
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断裂力学及其工程应用
第8次课 次课
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开裂条件
圆周上的最大周向应力为：
根据假设(2)，可以建立起相应的断裂判据： （σθ）max = （σθ）c 式中（σ
θ）c
为最大周向应力的临界值，可以通
I
过I型裂纹的断裂韧度 K
c
来确定。
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能量释放率基本假设： 能量释放率基本假设： (1)裂纹沿着产生最大能量释放率的方向扩展； (1)裂纹沿着产生最大能量释放率的方向扩展； 裂纹沿着产生最大能量释放率的方向扩展 (2)裂纹的扩展是由于最大能量释放率达到了临界值而产生。 (2)裂纹的扩展是由于最大能量释放率达到了临界值而产生。 裂纹的扩展是由于最大能量释放率达到了临界值而产生
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Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹区域应力场
然后代人坐标变换式，即可得Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹 尖端附近的极坐标应力分量表达式：
我们关心周向应力：
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求解开裂角
开裂角的求解公式
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例
题
试求出其最大能量释放率？ 试求出其最大能量释放率？
依据公式(2-19)，注意平面 应力问题变换E和u 1
分解为I,II型裂纹的受力：
分别求解应力强度因子：
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2.l 最大周向应力准则
最大周向应力准则有两个基本假设： (1)裂纹沿最大周向应力σθmax的方向开裂； (2)当此方向的周向应力达到临界值时，裂纹 失稳扩展。
基本思路： 基本思路： 1 求出周向应力的表达式。 2 确定其取得最大值的条件。
塑性修正
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例题分析
表面浅裂纹－ 半无限体－ 附录C 表面浅裂纹－>半无限体－> 附录C-4-6 求解， 求解，得
=1=1-(2.5)/7.5=0.67 从裂纹最深处看－ 平面应变问题－ 确定r 从裂纹最深处看－>平面应变问题－> 确定ry 所以k=0.8185 所以k=0.8185 =2.0341 代入上式， 代入上式，得 求解， 。（注意单位） 求解，得。（注意单位） 注意单位
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例 题 （1）
解：应力分析
应力强度因子： 应力强度因子：
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例 题 （2）
裂纹方向与断裂方向可得： ，裂纹方向与断裂方向可得：
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纯II型裂纹
由断裂判据可知
θ0＝ -70.50°
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例
题
分解为I,II型裂纹的受力：
分别求解应力强度因子：
开裂角求解公式：
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Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹
对于Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹问题，裂纹尖端附近的 应力场由式(1—61)和式(1—70)相迭加：
转换公式： 转换公式：
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断裂判据
结论： 结论：能量 释放率断裂判据 与最大周向应力 准则的断裂判据 表达式相同。 表达式相同。
P55,式(2-6) 式
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I-III型复合裂纹
结论： 结论：对于 型裂纹， 纯III型裂纹， 型裂纹 可以得出K 可以得出 Ic和 KIIIc之间的关系
Ⅰ-Ⅲ复合型裂纹
二、Ⅰ-Ⅲ复合型裂纹问题
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Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ复合型裂纹
三、Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ复合型裂纹问题
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求解（2）
还可知： 由(2-1)还可知： 还可知
结论： 结论：能量释放率开裂方向与最大周 向应力准则的断裂判据表达式相同。 向应力准则的断裂判据表达式相同。
思考：如何确定开裂方向？ 思考：如何确定开裂方向？
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本节任务：求出应变能密度因子的表达式；求解应变能密度因子最小 本节任务 值方向；确定应变能密度因子的临界值。
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什么是应变能密度因子
弹性体的应变能密度： 弹性体的应变能密度：
I,II,III型裂纹应力场分量 型裂纹应力场分量 叠加结果（平面应变）。 叠加结果（平面应变）。
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例
开裂角：
题（续）
开裂判据：
开裂临界应力：
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2.3 应变能密度因子准则
应变能密度因子准则是薛昌明提出的，简称S准则。 特点：综合考虑了裂尖附近六个应力分量的作用，计算出 裂尖附近局部的应变能密度，并在以裂尖为圆心的同心圆上 比较局部的应变能密度，从而提出裂纹失稳开裂的判据。
回顾： 回顾：上次课讲了利用最大周向应力确定复合 裂纹的开裂方向和断裂准则。 裂纹的开裂方向和断裂准则。 本节：利用能量释放率讨论复合裂纹的开裂方 本节： 向和断裂准则。 向和断裂准则。
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2.2 能量释放率准则
断裂临界状态： 断裂临界状态：
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2.4 工程上应用的近似断裂判据
一、Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹问题
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纯I型裂纹
由于I型裂纹的扩展总是沿着原裂纹面的方向进行 因此，开裂角θ0＝ 0, 将θ0＝ 0°,KⅡ = 0, KI = KIC 代人 (2-3)式，即可求得最大周向应力的临界值为
则按最大周向应力理论建立起来的Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹 的断裂判据。
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基本假设： 基本假设： (1)裂纹沿着产生最大能量释放率的方向扩展； (1)裂纹沿着产生最大能量释放率的方向扩展； 裂纹沿着产生最大能量释放率的方向扩展 (2)裂纹的扩展是由于最大能量释放率达到了临界值而 (2)裂纹的扩展是由于最大能量释放率达到了临界值而 产生。 产生。
设裂纹在开裂方向产生了一个长 的支裂纹，在平面应变情况下：
记： ，则S称为 称为 应变能密度因子” “应变能密度因子”
应变能密度
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系数表达式
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断裂判据
对于纯I型裂纹，开裂角为0，则裂纹扩展时： 对于纯 型裂纹，开裂角为 ，则裂纹扩展时： 型裂纹
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断裂判据的统一公式
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第二章 总结
最大周向应力准则有两个基本假设： 最大周向应力准则有两个基本假设： 周向应力准则有两个基本假设 (1)裂纹沿最大周向应力σθmax的方向开裂； (1)裂纹沿最大周向应力σθmax的方向开裂； 裂纹沿最大周向应力σθmax的方向开裂 (2)当此方向的周向应力达到临界值时，裂纹失稳扩展。 (2)当此方向的周向应力达到临界值时，裂纹失稳扩展。 当此方向的周向应力达到临界值时
KI0，KII0的求解： 的求解： (2-10) 因此，沿支裂纹扩展瞬间的能量释放率为： 因此，沿支裂纹扩展瞬间的能量释放率为：
参考公式(2-1)和(2-10), 有 和 参考公式
ห้องสมุดไป่ตู้
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求解（1）
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I,II型断裂韧度之间的关系
或 因此， 之间的关系为： 因此，KIc和KIIc之间的关系为：
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I,III型断裂韧度之间的关系
因此， 之间的关系为： 因此，KIc和KIIIc之间的关系为：