水产的养殖与捕捞

水产的养殖与捕捞

[摘要]:

由于社会的快速发展，人们的生活水平不断提高，大家对于食物的要求也不断提高，光从自然界中捕捞的水产品的量已经不足以满足人们的需求了，从而衍生出了人工养殖水产这一职业。本文解决的是一个从实际生活中引发出的问题，该问题在考虑部分影响因素的情况下，确定一些必要量，对三种不同情况，分别运用微分法和规划论，建立相应的微分规划，积分规划和变分法数学模型，再利用微分法，变分法及Maple 数学软件进行求解，对不同的投资情况进行求解。

[关键字]:虾量 捕捞策略 养殖策略 利润最大

1 问题重述

人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖），其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比。而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加。但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去。

现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定比例量捕捞。用)(t x 表示养殖场中第月的虾量（单位：斤），用)(t y 表示第月的月养殖费（单位：元/月）.根据以往经验和市场调查，我们有如下数据：

1）这种虾的自然死亡率为05.0,=λλ（1/月）；

2）环境容许的最大虾量为=N N ，10（斤）；

3）在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量)(t x 的增加速度与月养殖费)(t y 成正比，其比例系数是)(t x 的函数；当)(t x 达到时，此函数为0；当)(t x 为0时，此函数为常数1＝，αα（斤/元）；

4）虾的捕捞采用拉网式固定比例量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量)(t x 成正比，比例系数为.这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3,而捕捞成本为斤）元(1.0,=ββ；

5）小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元.

（1）若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费)(t y 与该月虾量)(t x 成正比，比例系数为2.0,=a a （元/斤﹒月）。试制定捕捞策略（确定），使虾的月利润最大，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？

（2）若某人承包此养殖场5年，且月养殖费)(t y 与该月虾量)(t x 成正比，比例系数为,又取E ＝0.08（1/月）。试制定养殖策略（确定）,使5年的总利润

最大。如果初始虾量为10斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？

（3）若某人承包此养殖场5年，每月按强度1.0=E （1/月）捕捞，试制定养殖场策略（确定养殖费)(t y ）,使5年的总利润最大.

2 问题假设

（1） 虾群作为一个相对独立的整体，且不与其他生物发生竞争；或者虽然有竞

争，但是其影响就限于虾的自然死亡率范围内

（2） 在同一个问题中，虾群的捕捞模式一定，采用拉网式固定比例量捕捞，每

月的捕捞量与此时养殖场虾量)(t x 成正比，比例系数为常量

（3） 每月捕捞过后全部销售完，销售价格不变，且不计销售成本

（4） 在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量)(t x 的增加速度与月养殖费

)(t y 成正比，其比例系数是)(t x 的函数；当)(t x 达到时，此函数为0；当)(t x 为0时，此函数为常数1＝，αα（斤/元）

（5） 虾一旦捕捞上岸，不考虑死亡情况

（6） 养殖费)(t y 只与虾量)(t x 有关，不随市场的不稳定而波动

3 符号约定

是环境允许的最大虾量

是固定的增长率

是与每月虾量相关的捕捞系数

()y t 是每月的养殖费用

是该养殖场虾的自然死亡率

是虾销售的数学期望，即平均价格

)(t x 是养殖场中第月的虾量

是单位时间

是养殖费用与虾量的比例系数

4 基本模型的分析与建立

这道题是动态变化中有约束条件的最优问题，分别对三个小问进行分析。 第一小题要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费)(t y 与该月虾量)(t x 成正比，比例系数为2.0,=a a （元/斤﹒月），在此约束条件下可以列出每月虾量的微分方程，再根据相应的收入与支出关系确定捕捞策略，确定月最大利润。

第二小题由于采用了固定的捕捞策略，常量一定，可以列出相应的积分方程，再根据相应的收入与支出关系确定利润最大。

第三小题同样是采用了固定的捕捞策略，要制定养殖策略，使五年的总利润

最大。

我们运用变分法，把目标函数和约束条件结合起来，转换成泛函极值的问题，进而归结为求微分方程组的问题，用Maple 数学软件可以计算出结果。

基于以上分析可以建立以下基本数学模型：

（1）虾的自然死亡率：()()dx t x t dt

λ=⋅， 0.05λ=（1/月） （2）每月虾的捕捞规律：()()dx t E x t dt

=⋅ （3）每月虾的增长与养殖费的关系函数： ()(())(1)x t P x t N

α=-，1α=（斤/元） （4）每月的虾量随时间变化的关系函数： ()()(1)()()()dx t x t y t E x t dt N

αλ=--+ （5）每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3，小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元，可以求得虾的平均价格为7.5，下面出现的虾的价格均可以根据平均价格求,记为。

5 模型的建立与求解

第一小题：根据每月的虾量都相等，且月养殖费)(t y 与该月虾量)(t x 成正比。 每月利润=价格*捕捞量-成本-月养殖费用

比例系数为2.0,=a a （元/斤﹒月）可以列出下列微分方程：

()0,()()dx t y t ax t dt

==，即 ()(1)()()()0x t y t E x t N

αλ--+= 可以求得1()N E x N a

λα+=-，20x =（舍去） 即为每月虾量

每月相等虾量的最大利润的捕捞数学模型为：

()()max ()()()1()..()2f p E x t ax t N E s t x t N a βλα⎧=-⋅-⎪⎨+=-⎪⎩

将（2）代入（1）解得[]()()N E f E p a N a λβα⎡+⎤=---⎢⎥⎦⎣

，是一个关于的二次函数，代入相应的已知量47.5,0.1,0.2,10,0.05,1p a N βλα======，易求得相应的捕捞常量0.0885E ≈（1/月），同时每月的最大虾量为3075x ≈（斤），最大月利润为1398.8175f ≈（元）

第二小题：某人承包此养殖场5年，即为60个月，根据已知条件可得：