复变函数的积分

第二章 复变函数的积分
在微积分学中，微分法、积分法是研究函数性质的重要方法。

在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数性质的重要方法和解决实际问题的有力工具。

§2.1 复变函数的积分—复平面上的线积分一、复变函数积分的定义
例：计算2421i
i
z dz
++∫
1.沿抛物线2
y x =
2.沿连接点124i i ++到的直线段
3.1224i i i +++沿到然后再到的折线 解:1．抛物线参数方程为
22
,()(12)x t y t d z d t it i t d t
==≤≤=+=+2
其中1t 2则z =x +i y =t +i t
242
2
2
22224432411
1
1
()(12)[()4][22()]i
i
z dz t it i t dt t t t dt i t t t t dt
++=++=−−++−∫∫∫∫
三、解析函数的定积分公式
在单通区域内，解析函数的积分值只与端点有关而与路径无关，可定义一个以终点z 为自变量的单值函数：
()()z
z F z f d ξξ
=∫
定理：设f (z )是单通区域D 内的解析函数， 是D
的内点，则 是D 内的解析函数，且 F’(z )=f (z )
F (z )是f (z )的原函数：F’(z )=f (z )
定理证明略。

0z ξξd f z F z
z ∫=0
)()(
由于()F z 是()f z 的一个原函数，
所以()F z C +构成原函数族，则有：
()()z
z f d F z C ξξ=+∫
上式中令 ，则有 从而
0()()()z
z f d F z F z ξξ=−∫
——形式上与牛顿——莱布尼兹公式相似
0z z =0)(0=+c z F )
(0z F c −=⇒。