图像几何校正.
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包含12个未知数，至少需要6个已知点来建立关系式， 解求未知数。
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
一、直接法
根据
x h1(x , y)
n
ni
aij xi y j
i0 j0
n ni
y
h2
(x
,
y)
i0
bij xi y j
其中：M/N=L/S=k. 1.计算c= L / M 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y)
则：I(x,y)=F(int(c*x),int(c*y))
1 图像的缩小
例：
48
36
取：2，3，4，6，7，8列；2，3，4行
1 图像的缩小
三、图像的任意不成比例缩小：这种操作 一定带来图像的几何畸变。
Y (x M / 2)sin ( y N / 2) cos N1/ 2
3 图像的旋转
• 因为像素的坐标都是整数，所以当用前面 的方法旋转时，会出现画面上有许多的空 点，（即白点）这就影响了旋转图像的效 果。为此我们还需要进行图像的空点的插 值。
3 图像的旋转
• 最简单的方法是行插值或是列插值方法： 1. 找出当前行的最小和最大的非白点的坐
由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行 几何纠正。
10.2 像素灰度内插方法
常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法 和三次内插法三种。
1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素 灰度赋给该待求点。
该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿 状，即存在灰度不连续性。
上述式子中包含a00、a10、a01 b00、b10、b016个未知数， 至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。
当n=2时，畸变关系式为
x a00 a10 x a01 y a20 x2 a11xy a02 y2
y b00 b10 x b01 y b20 x2 b11xy b02 y 2
其中 A=[s(1+v) s(v) s(1-v) s(2-v)]
f (i 1, j 1)
B
f (i, j 1)
f (i 1, j 1)
f
(i
2,
j
1)
f (i 1, j) f (i, j)
f (i 1, j) f (i 2, j)
f (i 1, j 1) f (i, j 1)
第10章 图像的几何校正
几何失真
图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。
几何失真 系统失真
非系统失真。
系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真具有随 机的。
当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精 确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失 真的图像），以免影响定量分析的精度。
图像的缩小操作中，是在现有的信息里 如何挑选所需要的有用信息。
图像的放大操作中，则需对尺寸放大后 所多出来的空格填入适当的值，这是信息的 估计问题，所以较图像的缩小要难一些。
2 图像的放大
一、图像的成倍放大 常用的方法是：原来的一个点的值填 到一个2*2的小块中去。
2 图像的放大
二、图像的按比例方法： 方法一： 将一点的值用一个小块来代替。即：
1
3
2
Multispectral Tissue Classification
T1 3D Histogram Segmented Image
T2
图像重建
如图给出了图像重建的三种 模型，即透射模型、ห้องสมุดไป่ตู้射模型和 反射模型。
透射模型建立于能量通过物 体后有一部分能量会被吸收的基 础之上，透射模型经常用于X射 线、电子射线及光线和热辐射的情况下，它们都遵从一定 的吸收规则。
3 图像的旋转
• 图像的旋转实际上是坐标系的旋转， 下图给出了图像旋转的原理示意图。
θ
3 图像的旋转
• 为了尽量不扩大画布，所以是以画面的 中心点为坐标原点进行旋转的。所以有：
• 设图像大小为M*N，作新图像的画布为 M1*N1.
M1 2M
N1 2N
X (x M / 2) cos ( y N / 2)sin M1/ 2
2 图像的放大
三、图像的任意不成比例放大 这种操作一定带来图像的几何畸变。
M*N大小的图像放大为：L*S大小。 其中： L / M =k1, S / N =k2. 1.计算c1=k1,c2=k2 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y)
则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y))
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型； 其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行 几何校正。通常分两步：
①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列 号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系， 解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图 像各个像素坐标进行校正；
对于(i+u,j+v)有 f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v)
= (1u)(1 v) f (i, j) (1u)vf (i, j 1) u(1 v) f (i 1, j) uvf (i 1, j 1)
该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰 度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性 质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
放大10倍
图像不按比例放大
图像的旋转效果
图像旋转中的插值处理效果
Image registration
E.g., may image a tumor at two different instants in time and may want to check if it is growing. E.g., Surveying land: Image 1 shows an area of Mojave desert; 2 shows adjacent area; 3 formed by registering overlapping regions and stitching images together.
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在二方向 上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。
对于(i，j+v)有 f(i，j+v)=[f(i，j+1)-f(i，j)]v
+f(i，j)
对于(i+1，j+v)有 f(i+1，j+v)=[f(i+1，j+1)-
f(i+1，j)]v+f(i+1，j)
常用的图像几何变换介绍
图像处理时，往往会遇到需要对图 像进行放大、缩小、旋转等操作。因为 像素是离散的，所以经过坐标变换之后， 如果不进行处理，就会产生畸变。
1 图像的缩小
一、图像的尺寸减半： 2M*2N的图像缩小为：M*N的图像。
处理方法是： 取偶数行和偶数列构成新的图像。
二、图像的任意成比例的缩小： M*N大小的图像缩小为：L*S大小。
计算机断层扫描的基本原理，如图所示，从线性 并排着的X线源发射一定强度的X线，把通过身体的X线 用与X线源平行排列的X线检测器接收。然后把X线源和 检测器组以体轴为中心一点一点的旋转，反复进行同 样的操作。利用这样求得的在各个角度上的投影数据， 就得到了垂直于体轴的断面图像。
从多个投影数据重建图像有多种方法，这里介绍最基 本的傅立叶变换法。
图像f(x,y)的傅立叶变换为
F (u, v) f (x, y)e j2 (xuyv)dxdy
而f(x,y)对x轴的投影为
Py (x)
f (x, y)dy
对其进行傅立叶变换得
Py (u)
Py
(
x)e
j 2ux
dx
f ( x, y)e j2uxdxdy
②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
10.1 空间坐标变换 实际工作中常以一幅图像为基准，去校正几何失真图
像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小的摄像
系统获得的，而有较大几何畸变的图像用g(x´,y´)表示，下
图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式 x h1 (x, y)
标，记作：(i,k1)、(i,k2)。 2. 在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法
是：空点的像素值等于前一点的像素值。 3. 同样的操作重复M1行。
3 图像的旋转
插值处理示意图：
图像的减半缩小效果
图像的按比例缩小效果
图像的不按比例任意缩小
图像的成倍放大效果
图像大比例放大时的马赛克效应
2 图像的放大
方法二： M*N大小的图像放大为：L*S大小。
其中：M/N=L/S=k. 1.计算c= L / M 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y)
则：I(x,y)=F(int(c*x),int(c*y))
思考： 如果比例太大，两种方法都会出现马赛克
效应。如果这个问题交给你处理，有没有办法解决？
y h2 (x, y)
来描述。
通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多项式来近似
n ni
x
aij xi y j
i0 j0
n ni
y
bij x i y j
i0 j0
当n=1时，畸变关系为线性变换，
x a00 a10 x a01 y
y b00 b10x b01 y
f (i 1, j 1) f (i 2, j 1)
f (i 1, j 2)
f (i, j 2)
f (i 1, j 2)
f (i 2, j 2)
c=[s(1+u) s(u) s(1-u) s(2-u)]T 该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。
发射模型可用来确定物体的位置。这种方法已经广泛 用于正电子检测,通过在相反的方向分解散射的两束伽马射 线,则这两束射线的渡越时间可用来确定物体的位置。
反射模型可以用来测定物体的表面特征，例如光线、 电子束、激光或超声波等都可以用来进行这种测定。
这三种模型是无损检测中常用的数据获取方法。
1 计算机断层扫描的二维重建
j0
和若干已知点坐标，解求未知参数；然后从畸变图像出发， 根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素 灰度值赋予对应像素，这样生成一幅校正图像。
但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏 密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图 像通过灰度内插生成规则的栅格图像。
二、间接法
M*N大小的图像缩小为：L*S大小。 其中：M/L=k1, N/S=k2. 1.计算c1=1/k1,c2=1/k2 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y)
则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y))
1 图像的缩小
例：
46
取：2，3，5，6列；2，4行
24
2 图像的放大
Bilinear vs Nearest Neighbour:
Original
Nearest Neighbour
Bilinear
3．三次内插法
该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值 函数sin(x)/x。其数学表达式为：
1 2 | x |2 | x |3 0 | x | 1
S(x)
4
8
|
x
|
5
|
x
|2
|
x
|3
1 | x | 2
0
| x | 2
(i-1,j-1)
u v (x,y)
(i-1,j+2)
(i+2,j-1)
(i+2,j+2)
待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权 内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下：
f(x,y)=A‧B ‧ C
设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交 叉点，从网格交叉点的坐标（x,y）出发，根据
x h1(x, y)
n
ni
aij xi y j
i0 j0
n ni
y
h
2
(
x,
y)
i0
bij xi y j
j0
和若干已知点，解求未知数。据此推算出各格网点在已 知畸变图像上的坐标(x‘,y’)。由于(x‘,y’)一般不为整数， 不会位于畸变图像像素中心，因而不能直接确定该点的 灰度值，而只能由该像点在畸变图像的周围像素灰度值 内插求出，将它作为对应像素（x,y）的灰度值，据此获 得校正图像。
几何校正方法可分为直接法和间接法两种。
一、直接法
根据
x h1(x , y)
n
ni
aij xi y j
i0 j0
n ni
y
h2
(x
,
y)
i0
bij xi y j
其中：M/N=L/S=k. 1.计算c= L / M 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y)
则：I(x,y)=F(int(c*x),int(c*y))
1 图像的缩小
例：
48
36
取：2，3，4，6，7，8列；2，3，4行
1 图像的缩小
三、图像的任意不成比例缩小：这种操作 一定带来图像的几何畸变。
Y (x M / 2)sin ( y N / 2) cos N1/ 2
3 图像的旋转
• 因为像素的坐标都是整数，所以当用前面 的方法旋转时，会出现画面上有许多的空 点，（即白点）这就影响了旋转图像的效 果。为此我们还需要进行图像的空点的插 值。
3 图像的旋转
• 最简单的方法是行插值或是列插值方法： 1. 找出当前行的最小和最大的非白点的坐
由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行 几何纠正。
10.2 像素灰度内插方法
常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法 和三次内插法三种。
1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素 灰度赋给该待求点。
该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿 状，即存在灰度不连续性。
上述式子中包含a00、a10、a01 b00、b10、b016个未知数， 至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。
当n=2时，畸变关系式为
x a00 a10 x a01 y a20 x2 a11xy a02 y2
y b00 b10 x b01 y b20 x2 b11xy b02 y 2
其中 A=[s(1+v) s(v) s(1-v) s(2-v)]
f (i 1, j 1)
B
f (i, j 1)
f (i 1, j 1)
f
(i
2,
j
1)
f (i 1, j) f (i, j)
f (i 1, j) f (i 2, j)
f (i 1, j 1) f (i, j 1)
第10章 图像的几何校正
几何失真
图像在获取过程中，由于成像系统本身具有非线性、 拍摄角度等因素的影响，会使获得的图像产生几何失真。
几何失真 系统失真
非系统失真。
系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真具有随 机的。
当对图像作定量分析时，就要对失真的图像先进行精 确的几何校正（即将存在几何失真的图像校正成无几何失 真的图像），以免影响定量分析的精度。
图像的缩小操作中，是在现有的信息里 如何挑选所需要的有用信息。
图像的放大操作中，则需对尺寸放大后 所多出来的空格填入适当的值，这是信息的 估计问题，所以较图像的缩小要难一些。
2 图像的放大
一、图像的成倍放大 常用的方法是：原来的一个点的值填 到一个2*2的小块中去。
2 图像的放大
二、图像的按比例方法： 方法一： 将一点的值用一个小块来代替。即：
1
3
2
Multispectral Tissue Classification
T1 3D Histogram Segmented Image
T2
图像重建
如图给出了图像重建的三种 模型，即透射模型、ห้องสมุดไป่ตู้射模型和 反射模型。
透射模型建立于能量通过物 体后有一部分能量会被吸收的基 础之上，透射模型经常用于X射 线、电子射线及光线和热辐射的情况下，它们都遵从一定 的吸收规则。
3 图像的旋转
• 图像的旋转实际上是坐标系的旋转， 下图给出了图像旋转的原理示意图。
θ
3 图像的旋转
• 为了尽量不扩大画布，所以是以画面的 中心点为坐标原点进行旋转的。所以有：
• 设图像大小为M*N，作新图像的画布为 M1*N1.
M1 2M
N1 2N
X (x M / 2) cos ( y N / 2)sin M1/ 2
2 图像的放大
三、图像的任意不成比例放大 这种操作一定带来图像的几何畸变。
M*N大小的图像放大为：L*S大小。 其中： L / M =k1, S / N =k2. 1.计算c1=k1,c2=k2 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y)
则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y))
几何校正方法
图像几何校正的基本方法是先建立几何校正的数学模型； 其次利用已知条件确定模型参数；最后根据模型对图像进行 几何校正。通常分两步：
①图像空间坐标变换；首先建立图像像点坐标（行、列 号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系， 解求映射关系中的未知参数，然后根据映射关系对图 像各个像素坐标进行校正；
对于(i+u,j+v)有 f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v)
= (1u)(1 v) f (i, j) (1u)vf (i, j 1) u(1 v) f (i 1, j) uvf (i 1, j 1)
该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰 度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性 质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
放大10倍
图像不按比例放大
图像的旋转效果
图像旋转中的插值处理效果
Image registration
E.g., may image a tumor at two different instants in time and may want to check if it is growing. E.g., Surveying land: Image 1 shows an area of Mojave desert; 2 shows adjacent area; 3 formed by registering overlapping regions and stitching images together.
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在二方向 上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。
对于(i，j+v)有 f(i，j+v)=[f(i，j+1)-f(i，j)]v
+f(i，j)
对于(i+1，j+v)有 f(i+1，j+v)=[f(i+1，j+1)-
f(i+1，j)]v+f(i+1，j)
常用的图像几何变换介绍
图像处理时，往往会遇到需要对图 像进行放大、缩小、旋转等操作。因为 像素是离散的，所以经过坐标变换之后， 如果不进行处理，就会产生畸变。
1 图像的缩小
一、图像的尺寸减半： 2M*2N的图像缩小为：M*N的图像。
处理方法是： 取偶数行和偶数列构成新的图像。
二、图像的任意成比例的缩小： M*N大小的图像缩小为：L*S大小。
计算机断层扫描的基本原理，如图所示，从线性 并排着的X线源发射一定强度的X线，把通过身体的X线 用与X线源平行排列的X线检测器接收。然后把X线源和 检测器组以体轴为中心一点一点的旋转，反复进行同 样的操作。利用这样求得的在各个角度上的投影数据， 就得到了垂直于体轴的断面图像。
从多个投影数据重建图像有多种方法，这里介绍最基 本的傅立叶变换法。
图像f(x,y)的傅立叶变换为
F (u, v) f (x, y)e j2 (xuyv)dxdy
而f(x,y)对x轴的投影为
Py (x)
f (x, y)dy
对其进行傅立叶变换得
Py (u)
Py
(
x)e
j 2ux
dx
f ( x, y)e j2uxdxdy
②确定各像素的灰度值（灰度内插）。
10.1 空间坐标变换 实际工作中常以一幅图像为基准，去校正几何失真图
像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小的摄像
系统获得的，而有较大几何畸变的图像用g(x´,y´)表示，下
图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式 x h1 (x, y)
标，记作：(i,k1)、(i,k2)。 2. 在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法
是：空点的像素值等于前一点的像素值。 3. 同样的操作重复M1行。
3 图像的旋转
插值处理示意图：
图像的减半缩小效果
图像的按比例缩小效果
图像的不按比例任意缩小
图像的成倍放大效果
图像大比例放大时的马赛克效应
2 图像的放大
方法二： M*N大小的图像放大为：L*S大小。
其中：M/N=L/S=k. 1.计算c= L / M 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y)
则：I(x,y)=F(int(c*x),int(c*y))
思考： 如果比例太大，两种方法都会出现马赛克
效应。如果这个问题交给你处理，有没有办法解决？
y h2 (x, y)
来描述。
通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多项式来近似
n ni
x
aij xi y j
i0 j0
n ni
y
bij x i y j
i0 j0
当n=1时，畸变关系为线性变换，
x a00 a10 x a01 y
y b00 b10x b01 y
f (i 1, j 1) f (i 2, j 1)
f (i 1, j 2)
f (i, j 2)
f (i 1, j 2)
f (i 2, j 2)
c=[s(1+u) s(u) s(1-u) s(2-u)]T 该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。
发射模型可用来确定物体的位置。这种方法已经广泛 用于正电子检测,通过在相反的方向分解散射的两束伽马射 线,则这两束射线的渡越时间可用来确定物体的位置。
反射模型可以用来测定物体的表面特征，例如光线、 电子束、激光或超声波等都可以用来进行这种测定。
这三种模型是无损检测中常用的数据获取方法。
1 计算机断层扫描的二维重建
j0
和若干已知点坐标，解求未知参数；然后从畸变图像出发， 根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素 灰度值赋予对应像素，这样生成一幅校正图像。
但该图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏 密不均等现象，不能满足要求。因此最后还需对不规则图 像通过灰度内插生成规则的栅格图像。
二、间接法
M*N大小的图像缩小为：L*S大小。 其中：M/L=k1, N/S=k2. 1.计算c1=1/k1,c2=1/k2 2.设旧图像是F(x,y)，新图像是I(x,y)
则：I(x,y)=F(int(c1*x),int(c2*y))
1 图像的缩小
例：
46
取：2，3，5，6列；2，4行
24
2 图像的放大
Bilinear vs Nearest Neighbour:
Original
Nearest Neighbour
Bilinear
3．三次内插法
该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值 函数sin(x)/x。其数学表达式为：
1 2 | x |2 | x |3 0 | x | 1
S(x)
4
8
|
x
|
5
|
x
|2
|
x
|3
1 | x | 2
0
| x | 2
(i-1,j-1)
u v (x,y)
(i-1,j+2)
(i+2,j-1)
(i+2,j+2)
待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权 内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下：
f(x,y)=A‧B ‧ C
设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网格的交 叉点，从网格交叉点的坐标（x,y）出发，根据
x h1(x, y)
n
ni
aij xi y j
i0 j0
n ni
y
h
2
(
x,
y)
i0
bij xi y j
j0
和若干已知点，解求未知数。据此推算出各格网点在已 知畸变图像上的坐标(x‘,y’)。由于(x‘,y’)一般不为整数， 不会位于畸变图像像素中心，因而不能直接确定该点的 灰度值，而只能由该像点在畸变图像的周围像素灰度值 内插求出，将它作为对应像素（x,y）的灰度值，据此获 得校正图像。