线性规划中影子价格的定义及计算
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Ｓ ． ｔ ． ≤ ｂ ， Ｘ≥ ０ ． （ １ ）
基［ ３ ］ ， Ｇ 是 相应 最 优 基 变 量 的 目标 函数 系 数 向量 ， ｘ 和 ｌ ， 分别 是原 问题 和对 偶 问题 的最优 解 ， 则
Ｘ 一 ｇ ｂ — Ｂ ～ ｂ，
ｙ 一 Ｂ～ ．
原 问 题 最 优 表 １所 示 ， ，是 相 应 变 量 ｚ ，
在对 偶 问 题 最优 解 不 唯 一 的情 况 下 ， 影 子 价 格
的确 定 和计算 是 人们 较少 讨论 和常 被忽 略 的一个 问 题， 尤其 是在 计算 软件 中直接 给 出的影 子价 格 ， 若 对 偶 问题 的最优 解 是不 唯一 的 ， 这个 影 子 价 格 就 是 错
误 的或 不准 确 的 ， 如 果 按 照 该 影 子价 格 进 行 相 关 决
格的定义及性质 ， 提 出 一 种 新 的影 子 价 格 定 义 ， 并 介 绍 直接 搜 索 法 和 约 束 对 偶 法 的影 子 价 格 计 算 方 法 ． 根 据 对 偶 理
论 和线性规划基本原理进行分 析 ， 并 借 助实 例 阐 释 ， 结 果 显 示 所 给 定 义 及 算 法 皆有 效 ．
ｂ＝ （ ６ １ ， …， ｂ ｆ ， …， ｂ ） ∈
１
１
…
…
８ １ ｎ
计１ …
ｌ …
州 …
州 …
ｍ
ｍ
ａ １
口２
…
表示 原 问题 约束 右 端项 向量 ， 一 般 表 示 每 种 产 品所
消耗 的资源 限量 ；
Ａ＝ （ ） ｘ
（ ： １ ， ２ ， …， ＋ ｍ）的检验 数 ， 而 抖， 是 松 弛变 量
井 ，
（ 一 １ ， ２ ， 一 ・ ， ）的检 验 数 ， 它也 是 对偶 问题 的
最 优解 向量 ｌ ， 中的第 个 分 量 ． ｚ （ ＝ １ ， ２ ， …， ）
其对 偶 问题 （ ＤＬ Ｐ ）为
的经济 意 义可认 为 是 对应 各 种 资源 的影 子 价 格 ， 表
示 在这 一 经济结 构 中各种 资 源在 最优 决策 下 的边 际 价值． 由对 偶 理论 可 得 ， 设 Ｂ是 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）的最优
１ 存 在 的 问题
线 性规 划 中影 子价 格 的起源 可追 溯 到前 苏联 数 理 经 济学 家 康 托 罗 维奇 嘲． 它 的一 般定 义 是 使 以总
（ １ ． 东 北 财 经 大 学 数 学 与 数 量 经 济 学院 ，辽 宁 大 连 １ １ ６ ０ ２ ５ ；
２ ． 东 北 财 经 大 学 经 济 计 量 分 析 与 预 测 研 究 中心 ，辽 宁 大 连 １ １ ６ ０ ２ ５ ）
摘
要 为 解 决 对 偶 问 题 最 优 解 不 唯 一 情 况 下 影 子 价 格 定 义 及 其 计 算 易 被 混 淆 的 问 题 ， 总 结 归 纳 已 有 影 子 价
表 １ 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）最优 表
１ … Ｘｎ Ｘ什 ｌ … ｚ … ｚ计
其 中
ｃ＝ ＝ ：（ ｃ １ ， … ， ｆ ， ， … ， ｆ ） ∈
一
表示 原 问题 目标 函数 系数 向量 ， 一 般 表 示 每 种 产 品 的单 位 效益 系数 ；
是决策 变 量 ， 一 般 表示 每种 产 品的产 量． 对 偶 问题 （ Ｄ Ｌ Ｐ）中 ， 对偶 变量
Ｙ一 （ １ ， Ｙ ２ ， …， Ｙ ）
格， 而 是指 该种 资 源在具 体 经济 结构 中的使 用价值 ，
或称 为该种 资 源 的边 际收益 ． 因此 ， 影子 价格 在 经 济 生产 活 动尤 其是 资源 配 置 中的应 用非 常广 泛．
第１ ６卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 ７ 月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ ＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ０ ＬＬＥＧＥ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． １ ６， Ｎｏ ． ４
Ｊ ｕ １ ．，２ ０ １ ３
线 性 规 划 中影 子 价 格 的定 义 及 计 算
费 威ｈ
效 益 目标最 大 化为 原 问 题 的 对偶 问题 的最 优 解 ． 确 切 地说 ， 对 于对 偶 问题 的最 优 解 是 唯 一 的情 况 下 影 子 价格 计算 ， 可 由原 问题 的对 偶 问题 的最 优 解 直 接
得 到． 设 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）为
ｍａ ｘ ｆ 一 ｘ。
…
景 ｆ Ａ １
… …
＋ １ Ａ 什１
… …
十 Ｊ … 州 …
十 ， ， ｌ ａ ｍ 升ｍ Ｃ 口一 ｂ
Leabharlann Baidu
是 每 种产 品的单 位消 耗 系数 ；
Ｘ ＝ （ １ ， ２ ． ２ ２ ， …， ｚ ｎ ）
收 稿 日期 ： ２ ０ １ １ — １ ２ — １ ９ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ４ — ０ ３
关 键 词 线性规划 ； 影 子 价格 ； 计 算 方 法 ０２ ２ １ ． １ 文 献 标 识 码 Ａ 文章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ － ０ ０ ０ ５ － ０ ４ 中图分类号
资 源 的 影 子 价 格 不 同 于 一 般 意 义 上 的 市 场 价
ｍｉ ｎ ｚ — ｙ ｂ。
表 示基 变 量 ； 最 优 基 Ｂ的逆 矩 阵Ｂ 一（ ＋ ｆ ） ｍ ｘ ； 表 示 除松 弛变量 ｚ 井 外， 系数 矩 阵经迭 代后 的 系数 ；
（ ２ ）
Ｓ ． ｔ ． Ａ ｇ≥ ｃ ， Ｙ≥ ０ ．
口 （ 一 １ ， ２ ， …， ｍ） 表示 最 优基 变量 ｚ 取值 ． ｍａ ｘ ｆ 是 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）的最 优值 ． 若 对偶 问题 的最 优解 是唯 的， 则第 Ｊ种 资 源 的影 子 价格就 是 表 １中 的 州 ．
基［ ３ ］ ， Ｇ 是 相应 最 优 基 变 量 的 目标 函数 系 数 向量 ， ｘ 和 ｌ ， 分别 是原 问题 和对 偶 问题 的最优 解 ， 则
Ｘ 一 ｇ ｂ — Ｂ ～ ｂ，
ｙ 一 Ｂ～ ．
原 问 题 最 优 表 １所 示 ， ，是 相 应 变 量 ｚ ，
在对 偶 问 题 最优 解 不 唯 一 的情 况 下 ， 影 子 价 格
的确 定 和计算 是 人们 较少 讨论 和常 被忽 略 的一个 问 题， 尤其 是在 计算 软件 中直接 给 出的影 子价 格 ， 若 对 偶 问题 的最优 解 是不 唯一 的 ， 这个 影 子 价 格 就 是 错
误 的或 不准 确 的 ， 如 果 按 照 该 影 子价 格 进 行 相 关 决
格的定义及性质 ， 提 出 一 种 新 的影 子 价 格 定 义 ， 并 介 绍 直接 搜 索 法 和 约 束 对 偶 法 的影 子 价 格 计 算 方 法 ． 根 据 对 偶 理
论 和线性规划基本原理进行分 析 ， 并 借 助实 例 阐 释 ， 结 果 显 示 所 给 定 义 及 算 法 皆有 效 ．
ｂ＝ （ ６ １ ， …， ｂ ｆ ， …， ｂ ） ∈
１
１
…
…
８ １ ｎ
计１ …
ｌ …
州 …
州 …
ｍ
ｍ
ａ １
口２
…
表示 原 问题 约束 右 端项 向量 ， 一 般 表 示 每 种 产 品所
消耗 的资源 限量 ；
Ａ＝ （ ） ｘ
（ ： １ ， ２ ， …， ＋ ｍ）的检验 数 ， 而 抖， 是 松 弛变 量
井 ，
（ 一 １ ， ２ ， 一 ・ ， ）的检 验 数 ， 它也 是 对偶 问题 的
最 优解 向量 ｌ ， 中的第 个 分 量 ． ｚ （ ＝ １ ， ２ ， …， ）
其对 偶 问题 （ ＤＬ Ｐ ）为
的经济 意 义可认 为 是 对应 各 种 资源 的影 子 价 格 ， 表
示 在这 一 经济结 构 中各种 资 源在 最优 决策 下 的边 际 价值． 由对 偶 理论 可 得 ， 设 Ｂ是 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）的最优
１ 存 在 的 问题
线 性规 划 中影 子价 格 的起源 可追 溯 到前 苏联 数 理 经 济学 家 康 托 罗 维奇 嘲． 它 的一 般定 义 是 使 以总
（ １ ． 东 北 财 经 大 学 数 学 与 数 量 经 济 学院 ，辽 宁 大 连 １ １ ６ ０ ２ ５ ；
２ ． 东 北 财 经 大 学 经 济 计 量 分 析 与 预 测 研 究 中心 ，辽 宁 大 连 １ １ ６ ０ ２ ５ ）
摘
要 为 解 决 对 偶 问 题 最 优 解 不 唯 一 情 况 下 影 子 价 格 定 义 及 其 计 算 易 被 混 淆 的 问 题 ， 总 结 归 纳 已 有 影 子 价
表 １ 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）最优 表
１ … Ｘｎ Ｘ什 ｌ … ｚ … ｚ计
其 中
ｃ＝ ＝ ：（ ｃ １ ， … ， ｆ ， ， … ， ｆ ） ∈
一
表示 原 问题 目标 函数 系数 向量 ， 一 般 表 示 每 种 产 品 的单 位 效益 系数 ；
是决策 变 量 ， 一 般 表示 每种 产 品的产 量． 对 偶 问题 （ Ｄ Ｌ Ｐ）中 ， 对偶 变量
Ｙ一 （ １ ， Ｙ ２ ， …， Ｙ ）
格， 而 是指 该种 资 源在具 体 经济 结构 中的使 用价值 ，
或称 为该种 资 源 的边 际收益 ． 因此 ， 影子 价格 在 经 济 生产 活 动尤 其是 资源 配 置 中的应 用非 常广 泛．
第１ ６卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 ７ 月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ ＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ０ ＬＬＥＧＥ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． １ ６， Ｎｏ ． ４
Ｊ ｕ １ ．，２ ０ １ ３
线 性 规 划 中影 子 价 格 的定 义 及 计 算
费 威ｈ
效 益 目标最 大 化为 原 问 题 的 对偶 问题 的最 优 解 ． 确 切 地说 ， 对 于对 偶 问题 的最 优 解 是 唯 一 的情 况 下 影 子 价格 计算 ， 可 由原 问题 的对 偶 问题 的最 优 解 直 接
得 到． 设 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）为
ｍａ ｘ ｆ 一 ｘ。
…
景 ｆ Ａ １
… …
＋ １ Ａ 什１
… …
十 Ｊ … 州 …
十 ， ， ｌ ａ ｍ 升ｍ Ｃ 口一 ｂ
Leabharlann Baidu
是 每 种产 品的单 位消 耗 系数 ；
Ｘ ＝ （ １ ， ２ ． ２ ２ ， …， ｚ ｎ ）
收 稿 日期 ： ２ ０ １ １ — １ ２ — １ ９ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ４ — ０ ３
关 键 词 线性规划 ； 影 子 价格 ； 计 算 方 法 ０２ ２ １ ． １ 文 献 标 识 码 Ａ 文章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ － ０ ０ ０ ５ － ０ ４ 中图分类号
资 源 的 影 子 价 格 不 同 于 一 般 意 义 上 的 市 场 价
ｍｉ ｎ ｚ — ｙ ｂ。
表 示基 变 量 ； 最 优 基 Ｂ的逆 矩 阵Ｂ 一（ ＋ ｆ ） ｍ ｘ ； 表 示 除松 弛变量 ｚ 井 外， 系数 矩 阵经迭 代后 的 系数 ；
（ ２ ）
Ｓ ． ｔ ． Ａ ｇ≥ ｃ ， Ｙ≥ ０ ．
口 （ 一 １ ， ２ ， …， ｍ） 表示 最 优基 变量 ｚ 取值 ． ｍａ ｘ ｆ 是 原 问题 （ Ｌ Ｐ ）的最 优值 ． 若 对偶 问题 的最 优解 是唯 的， 则第 Ｊ种 资 源 的影 子 价格就 是 表 １中 的 州 ．