5-3电偶极辐射

2．求解 A(x) 的公式
因为 R >> x′ ≥ n ⋅ x′ ，所以分母中的 n ⋅ x′可以舍 但是要注意， 不能轻易舍去。 去。但是要注意，相因子中的 n ⋅ x′不能轻易舍去。 2π n ⋅ x′ 原因： 不一定是小量。 原因： 相对 2π 不一定是小量。 λ 利用 e x = 1+ x + x2 + ... 得到： 得到：
1-8
三．偶极辐射
1．用 p表示偶极辐射矢势
p = x′ρ(x′, t)dV ′
∫
ɺ p = ∫ J (x, t)dV′
µ0eikR A(x) = ∫ J (x′)dV′ 4π R 0 2．偶极辐射的电场强度和磁感应强度 . µ0 µ0 eikR . eikR eikR . B =∇× A = ∇×( p) = ∇( ) × p+ ∇× p 4π R 4π R R
1-5
R2 1 n ⋅ x′ r≈ = R( ) ≈ R(1− ) = R − n ⋅ x′ R + n ⋅ x′ 1+ n ⋅ x′ / R R
µ0 J (x′)eik(R−n⋅ x′) A(x) = dV ′ 4π ∫ R − n ⋅ x′
µ0 J (x′)eikr A(x) = ∫ dV′ 4π r
5.3 电偶极辐射
1-1
电磁波是从变化的电荷、 电磁波是从变化的电荷 、 电流系统辐射 出来的。 宏观上， 出来的 。 宏观上 ， 主要是利用载有高频交 变电流的天线产生辐射， 微观上， 变电流的天线产生辐射 ， 微观上 ， 一个做 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 变速运动的带电粒子即可产生辐射。
1
eikR ikeikR 所以有： 所以有：∇ n ≈ R R
ɺ p = ∫ J (x′, t)dV′
..
µ0 ikeikR ɺ B(x, t) = n× p 4π R
在 l << λ << R 条件 下偶极辐射的磁感 应强度为： 应强度为：
1-10
∂ → − iω ∂t
. .
p = −iω p
p = i /ω p
1-3
′)eikr ρ(x ′]e−iωt ϕ(x, t) = [∫ dV 4πε0r
根据洛仑兹条件 可以得到矢势与 标势的关系： 标势的关系：
2
同样可以得到： 同样可以得到：
ϕ(x, t) = ϕ(x)e−iωt
因此只要求 ic ϕ(x) = − ∇⋅ A(x′) 出矢势即可 得到标势 ω
此情况下电磁场也是时谐电磁场： 此情况下电磁场也是时谐电磁场：
近似公式可以仅取积分中的第一项， 近似公式可以仅取积分中的第一项，有：
µ0eikR J (x′)dV ′ 偶极辐射公式 A(x) = 4πR ∫
1-7
3． R λ的关系 与
（1）R << λ 近区） （近区） 2π ikR ≈1 传播时间 t = R < T R << , e c k 这一区域内变化电磁场与静场性质类似。 这一区域内变化电磁场与静场性质类似。 （2）R ≈ λ 感应区） （感应区） 过度区，电磁场的行为很复杂， 过度区，电磁场的行为很复杂，一般不详细 研究这一区域。 研究这一区域。 （3）R >> λ 远区，即辐射区） （远区，即辐射区） 电磁波在脱离了场源后的传播区域， 电磁波在脱离了场源后的传播区域 ， 也是 本课程主要讨论的内容。 本课程主要讨论的内容。
1 （3）注意如果 R >> λ （ >> ）不能被满足，可以证 λ R 明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是 1
R →∞
磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波（TM波）
1-12
四．辐射能流、角分布和辐射功率
平均能流密度矢量： 平均能流密度矢量：
ɺɺ p0 1 * S = Re(E × H) = sin2 θ n点展开： 场点的距离）。将 = 在 x′ = 0点展开： r x − x′
1 1 1 1 R ⋅ x′ 1 n ⋅ x′ = − ∇ ⋅ x′ + ... = + + ... = + + ... r R R R R3 R R2
方向单位矢量。 其中 n 为 R方向单位矢量。因为 R >> x′ ，所以仅 取前两项而舍去高次项得到。 取前两项而舍去高次项得到。
1-6
J (x′, t) = J (x′)e−iωt ρ(x′, t) =ρ(x′)e−iωt
条件下辐射场的近似公式
µ0eikR A(x) = J (x′)(1− ikn ⋅ x′ − ...)dV ′ 4πR ∫ 2π n ⋅ x′ 当 l ≈ x′ << λ 时 kn ⋅ x′ = << 2π λ
1 ɺɺ eikR sinθ e B(x, t) = p φ 3 4πε0c R 1 ɺɺ eikR sinθ e E(x, t) = p θ 2 4πε0c R
1-11
讨论： （1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电 场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系； （2）电场、磁场正比于1/ R，因此它是空间传播的球面 波，且为横电磁波（TEM波），在 时可以近似为平面波；
eikR 1 ikR 1 ikR R ikR 1 ikR 1 ikR n ∇ = (∇ )e + ∇e =− 3 e + ike = (− + ik)e R R R R R R R
1-9
ikR µ0e ɺ A(x, t) = p 4π R
用到 ∇ →ik
k = kn
考虑远区条件 R >> λ
1 1 ， >> ，即 k >> ， λ R R
..
k = ω / c, c = 1/ ε 0 µ0
eikR ɺɺ B(x, t) = p×n 3 4πε0c R
ic 利用 E(x, t) = ∇× B(x, t) k
eikR ɺɺ E(x, t) = ( p×n) × n 2 4πε0c R
选球坐标， p 选球坐标，让 ɺɺ 沿 z 轴，则：
角分布
平均功率： 平均功率： P =
SR2dΩ= ∫
12πε0c
2 p0
ω4 3
与电磁波的频率4次方成正比。 与电磁波的频率 次方成正比。 次方成正比
1-13
随时间正弦 或余弦变化
将此式代入推迟势的公式后得到（ 将此式代入推迟势的公式后得到（ k = ω c ）
µ0 J (x′, t − r / c) µ0 J (x′)eikr A(x, t) = dV′ = [ ∫ dV′]e−iω t 4π ∫ r 4π r
µ0 J (x′)eikr dV′ ，则： A(x, t) = A(x)e−iω t 令 A(x) = ∫ 4π r 上式表示一种时谐波， 上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一 般公式。 般公式。与稳恒电流磁场相比这里 A 附加了一个 称为推迟相因子。 因子 eikr，称为推迟相因子。
B(x, t) = ∇× A(x, t) = B(x)e−iωt
ic E(x, t) = ∇× B(x, t) （在 J = 0 的区域成立） 的区域成立） k
1-4
∂E ∇× B = µ0 J + ε 0 µ0 ∂t
二．矢势的展开 1．A ． 在小电荷、电流区域的级数展开 在小电荷、
设场点到小区域电荷、 设场点到小区域电荷、电流中某点 x′ 的距离 r >> l （小区域的线度），则有 R ≈ r（R 为坐标原点到 小区域的线度）
本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动， 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动， 且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的 情况。 情况。
1-2
一. 计算辐射场的一般公式
J (x′, t) = J (x′)e−iωt 设电荷电流分布： 设电荷电流分布： ′, t) = ρ(x′)e−iωt ρ(x