函数的概念剖析(数学论文)

函数的概念剖析

周澜

定义：一般地设A、B是两个非空数集，如果按照某一对应法则f，对于A中的每一个元素x，在B中有唯一的元素y与它对应，这样的对应叫做A到B的一个函数，通常记为y=f(x),x∈A，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域。刚接触这个概念学生对这个概念一无所知，而这个概念在教学中非常重要，怎样才能理解好这个概念呢？

1、从概念的关键词出发：（1）A、B是两个非空数集：这句话告诉学生A、B不仅

是集合，而且还是数集，且为非空数集，其它的任何集合都不行。并且举例说明，例：平面直角坐标系上的点，与点的坐标是一一对应，它是不是函数？回答：不是函数。因为平面直角坐标系上的点是点集，它不是数集。平面上直线y=x上的点的横坐标与纵坐标的关系，它是函数，因为横坐标与纵坐标是定义在数集上的数。再例如：电影院的位置与电影票的票号是一一对应，位置是一种事物，不是数集，所以它不是函数；电影票上面的号码与坐位上的号码是定义在数集上的，所以它是函数。

2、对这句话的理解：对于A中的每一个元素x，在B中有唯一y值与它对应”,

这句话可用5个图来表示

这个图只要a、b、c表示的是数，那么这个

图反映的是一一对应，当然它是函数。因为它

符合

A中的每一个值a、b、c，在B中有唯一的

元素1、2、3与它对应，是函数。

这个图反应的是在集合A中有两个或两个以上

的元素对应集合B中唯一的元素。符合定义中

的“A中的每一个元素在B中有唯一的元素和

它对应”。这是多对一的一种关系，是函数。

这个图反应的是集合A中的每一个元素在B中

有唯一的值和它对应，在集合B中可以有多余

的元素，也符合“A中的每一个元素在B中有

唯一的元素和它对应”。这一定义。这也是函

数。

A B

A B

A B

这个图违背了函数定义中的“每个x 的值有唯一

的y 值和它对应”因为在B 中有两个y 值和它对

应。这是一对多的对应关系，所以它不是函数

这个图也违反了函数定义中的“每个x 的值有唯一的y 值和它对应”，因为在集合A 中元素3找不

到y 值和它对应。所以它也不是函数。例如函数y=31-x （x ∈R ）。当x=3时找不到函数值和它对应。所以y=3

1-x 在实数范围内不是函数。

练习：下列图象中哪些是函数哪些不是函数

A B x x x （这不是函数，因为一个x 的值对应二个y 的值）

（这也不是函数，因为一个x 的值对应两个y 的值） 个x 的值对应二个y 的值） x x （这不是函数，因为一个x 的值对应二个y 的值。） （这是函数，因为这是一个y 的值对应二个x 的值，这是二次函数） （这是函数，因为一个y 的值对应无数个x 的值，这是正弦函数） x

（这是余弦函数，一个y 的值对应无数个x的值，符合多对一）（这是函数，这个函数图

象有多对一的对应关系，

也有一一对应的关系）

（这个图象中既

有一对多，也有

多对一，不是函

数）