物理竞赛电磁学

A Q
P
解：设AB, BC, CA三棒对 P点的 电势及AC对Q点的电势皆为U1 AB, BC棒对Q点的电势皆为U2
B
C
撤去BC棒
U p 3U1
U1
1 3
U
P
UQ 2U2 U1
U2
1 2
UQ
1 6
U
P
U P
UP
U1
2 3UP
UQ
UQ
U2
1 2
UQ
1 6
U
P
例：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密 度（>0）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电 常数为1与2的电介质，如图。
（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和
束缚电荷面密度束。
+
解：电容器损耗的功率P
V
2
A
R
B _
R dA dB
AS BS
（2）电介质A和B中的电场能量WA 和 WB
稳定后电介质A和B中的电流密度相等
AEA BEB
EAd A EBdB V
由上两式解出：E A
Bd A
BV
Ad B
板外： E1
D1
1
d1 1
方向向左
A
1
E2
D2
2
d2 2
方向向右
l
b
2
B
l
E1, E2均由相同自由电荷和束缚电荷产生
E1 E2
d1 d2
1 2
d1 d2 b
d1
1b 1 2
d2
2b 1 2
板外：
E1
b 1 2
E2
b 1
2
2）U AB EAB AB
d2
E1l E内dx E2l
d1
A 1
lb
2
B
l
d
2 2
d12
2 0
b2 2 0
2 2
1 1
例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 0 ， 现在导体板两侧分别充以介电常数 1 与 2 （ 1 2） 的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。
解：充介质后导体两侧电荷
重新分布，设自由电荷面密
1
2
度分别为0 1 和0 2
带电空间，如图示有一质量为m，电量为q( < 0 )的点
电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考
虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面
oo的时间是多少？
o
解：E 2S 1 2x S E x
> 0
0
0
d
q< 0
q受的电场力 F qE q x (q 0) 0
x 此式与弹簧振子受力规律相同F kx
质A和B，它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为 A, A, dA, B, B, dB ;且 dA+dB =d, d为平板电容器的两块 极板之间的距离。现将此电容器接至电压为V的电源 上（与介质A接触的极板接电源正极），设极板面积 为S, 忽略边缘效应，试求稳定时
（1）电容器所损耗的功率P；
（2）电介质A和B中的电场能量WA和WB；
求：1）板内外的电场强度
2）A, B两点的电势差
A 1
2
lb l
d1 d2.
解：设 E=0 的平面 MN 距左 侧面为 d1 , 距右侧面为 d2 . B 据对称性, E垂直MN指向两侧
1) 求 D, E
x 板内：D内S Sx D内 x
板内： E内
D内
0
x 0
板外：D2S Sd2 D2 d2 D1S Sd1 D1 d1
B _
DBS DAS 自S
0 BEB 0 AEA 自
代 E
由高斯定理：
D1 01 , D2 02
E1
E2
2 0 1 2
E1
D1
1
01 1
E2
D2
2
02 2
对 于 板 外 电 场 ， 将 自 由电 荷 与 束 缚 电 荷 一 并 考虑
E1 E2
01 02 1 2
01 02 2 0
例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 > 0的均匀
o
q以oo为中心，在两平面内做简谐振动
k q k q T 2
0
m 0m
tT 4
例：一直流电源与一大平行板电容器相连，其中相对
介电常数为 r 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二 分之一，两极板都处于水平位置，假设此时图中带电
小球P恰好能处于静止状态，现将电容器中的固态介质 块抽出，稳定后试求带电小球P在竖直方向上运动的加 速度a的方向和大小。
1U 2
AC
整
1 2
C A
UB
U AB
E整 dr
1 2
1 2
Q
4 0
3R 2
UA UB
3R
2Q
R 4 0r2
R 3 0
R 6 0
dr R 6 0
例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分 布等量同号电荷，测得图中P，Q两点（均为相应正 三角形的重心）的电势分别为UP 和 UQ 。若撤去BC 棒，则P，Q两点的电势为U´P =——， U´Q =——。
电磁学综述
• （经典）电磁学的基本规律——麦克斯韦方程组
rr
Ñ E dS dV
S
V
r
Ñ E
L
r dl
S
r B t
r dS
rr
Ñ B dS 0
S
rr
Ñ B dl
L
0
S
r J
r dS
1 c2
S
r E t
r dS
• 电磁场理论的深刻对称性——电磁对偶
① 磁单极？ ② 平行偶极板和长直螺线管的对偶 ③ 电容和电感的对偶
解：P处于平衡状态，则其带负电 由于始终与电源相连，U一定
UEFa
P
有介质：U
E1d
E1 εr
d
εr εr
1
E1d
E1
r r
1
U d
无介质：U E2 2d
U E2 2d
r 1 2 r
E1
E1
初始时P平衡：E1q mg
抽掉介质后，P受合力向下：
F
mg
E2q
mg
r 2 r
1
E1q
r 1 mg
2 r
F ma a r 1 g 方向向下 2 r
qE0 mg
E0
mg q
E 1r
2
E0
1r
2
mg q
抽出后小球受力
F qE mg 1 r
mg
mg
r
1mg
2
2
a F r 1g
m
2
d 1 at 2 2
t
2d a
4d
r 1g
例：一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介
EB
Bd A
AV
Ad B
WA
1 2
百度文库
0
AE
2 A
Sd
A
0 A B2V 2Sd A 2( Bd A Ad B )2
WA
1 2
0
B
E
2 B
Sd
B
0 B A2V 2SdB 2( Bd A Ad B )2
（束3缚）电电+荷介面质密A度和B束的交界面上D的 d自S由 q电自荷面密度自和
A
由对称性，D垂直于上下表面指向下，
CQ V
L I
④ ……
例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀
分布，面电荷密度为。A点的坐标为(0, R/2)，B点
的坐标为(3R/2, 0)，则电势差UAB为——。
R
由对称性
UA
1 2
U
A整
1 2
Q
4 0 R
R 2 0
oA C
Q为整个带电球面的电荷
B
y
x 此题也可从电场的角度考虑
U AB U AC