高等数学教学教案 函数的微分
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定义：设函数 y=f（x），a<x<b，固定一点 x0 (a,b) . 若：
y = f（x0+x）f（x0）= Ax + o (x) …… （*）
成立（其中，A 与x 无关）. 则称函数 y=f（x）在点 x0 可微，称 Ax 为函数在点 x0 的微分，即为 dy = Ax； 若（*）不成立，则称 y = f（x）在点 x0 不可微. 规定：自变量的微分，就是它的增量，即：
近似值. 这一项被称为y 的线性主要部分. 定义：自变量 x 的变化量x 与 x 是无关的，称为自变量的微分，记为 dx；而因变量相应的变化量y 的
线性主要部分 f (x) x f (x)dy则称为函数 y=f（x）在点 x 处相应于自变量的变化量x 的微分，用 df（x）
或 dy 表示，即：
dy df (x) f (x)dx.
讲解方法四
引进实际问题，由研究函数的改变量 y = f（x0+x） f（x0）与自变量改变量 x 之间的关系，计 算函数改变量的大小，引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质.
例如：
计算正方形面积增量
S=2xx + (x)2
计算圆面积增量
S=2 rr + (r)2
计算球体积增量 计算自由落体路程增量
x
y)斜率为
f
' ( x)
的唯一确定的
切线存在. 切线在切点 P(x,y)附近与曲线密合，并且在相当靠近切点的地方，密合得难以区分. 这在分析上意味着
在点 x 的小邻域内，函数值 y = f（x）可用切线上相应点的纵坐标值来近似. 而在 x 充分小的邻域内，近似误 差 R 与x 相比是微不足道的.
若 f 在区间 I 的每一点可微，则称 f 在 I 上可微. 讲解方法三
在曲线切点的小邻域内，函数值 y = f（x）可用切线上相应点的纵坐标值来近似，而引出微分概念.
y
y y
y P
y
y f (x)
R
f (x)x
如果函数
y=f（x）在点O x
处有导数
f
'(x)x存在，则函数x 曲线x在相应点
P(x,
事实上,
R y f '(x)x ，
由于 f ' (x) 存在，就有
R 0(x 0) ， y f (x)x o（x）(x 0) . x
这样，函数的改变量y 就被分解成了两部分之和，其中第一项线性地依赖于x，而它与y 相差是关于
x 的高阶无穷小量，即当 x 很小时，舍弃这个微不足道的误差，剩下的部分 f '(x) x 就是可以作为y 的
dx = x dy = Adx.
讲解方法二
由于导数与微分都是研究函数增量y 与自变量增量x 之间的运算关系，在已有导数概念的前提下，利
用导数作为变化量之比极限的数量表现，而进行函数关系的运算引出微分定义.
由函数
y
=
f（x）在点
x0
Байду номын сангаас
处的导数
f
( x0
)
lim
x0
y x
,得到
,
y x
f
(x0 ) (x)
作业布置 《高等数学》标准化作业
导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ；
斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ；
切线：tangent line；切线方程：tangential equation；法线：normal line
定义：设 y=f（x）在区间 I 有定义， x0 I ，若存在关于x 的线性函数 Ax（A 是与x 无关的常数），
使 y f (x0 x) f (x0 ) A x o(x) ，则称 f 在 x0 处可微，称 Ax 为 f 在 x0 处的微分，记作 dy |xx0 或df (x0 ) A x.
§2. 5 函数的微分 授课次序 15
教学基本指标
教学课题 教学重点 参考教材
双语教学
课堂教学 目标
教学过程
§2.5 函数的微分
教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学
微分的概念，函数的微分法则
教学难点
微分的四则运算法则；一阶微分形 式的不变性
同济大学编《高等数学（第 6 版）》 自编教材《高等数学习题课教程》
4．收敛数列的性质（唯一性、有界性）（25min）
本节教学设计
微分定义 1 本知识点的背景知识
微分的概念从萌发到完整，其严格化经历了几个世纪. 即使在微积分蓬勃发展的牛顿—莱布尼茨—欧 拉时代，数学家们尽管能用微分进行近似计算、布列并求解微分方程，但由于无穷小量的概念尚未精确化， 微分的概念并不明晰；直到 19 世纪，数学的严格性发展到了新的高度，微分的概念才被确切地理解. 2 本知识点的多种讲解方法 讲解方法一
1． 了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；
2． 一阶微分形式的不变性，
3． 初步了解微分在近似计算中的应用
1．函数极限的定义（35min），着重介绍两种不同的趋势下极限的不同形式；
2．应用定义证明极限（20min）介绍几种极限的证明过程，让学生明白基本过程。
3．左右极限的定义及与函数极限的关系（10min）
从纯分析的角度来研究函数的改变量y 与自变量的增量x 的依赖关系，而引出微分定义.
设 y=f（x），a<x<b，取 x0 ( a,b ) 及 x0→x0+x（x≠0），
则函数有改变量y=f（x0+x） f（x0），y 依赖于三个要素：函数 f，点 x0 及x. 当取定函数 f ，固定 x0 ，则y 依赖于x. 一般依赖关系复杂、多样. 但是在局部范围内，当|x|很小时，则可用一个线性化 来近似. 即y=Ax+o(x).
V 4πr 2 r 4πr (r)2 4 π (r)3 3
S gt t g (t)2 2
以上实际问题的增量计算都可以被分解成两部分之和，第一部分是函数关于自变量增量的线性函数，
第二部分是关于自变量增量的高阶无穷小，当自变量的增量很微小时，函数的增量可近似地用第一部分代替.
其中 lim (x) 0 ，于是y=fˊ(x0) x+x α（x），记 o(x) = x α（x），则 x0 y f (x0 )x o(x).
当 f（x）在 x0 处可导时，y 是 f '(x0 ) x 与 o (x)之和，记 dy f (x0 )x ，则
y dy 与x 相比为高阶无穷小（x→0），这里把 dy f (x0 )x 叫做微分.
y = f（x0+x）f（x0）= Ax + o (x) …… （*）
成立（其中，A 与x 无关）. 则称函数 y=f（x）在点 x0 可微，称 Ax 为函数在点 x0 的微分，即为 dy = Ax； 若（*）不成立，则称 y = f（x）在点 x0 不可微. 规定：自变量的微分，就是它的增量，即：
近似值. 这一项被称为y 的线性主要部分. 定义：自变量 x 的变化量x 与 x 是无关的，称为自变量的微分，记为 dx；而因变量相应的变化量y 的
线性主要部分 f (x) x f (x)dy则称为函数 y=f（x）在点 x 处相应于自变量的变化量x 的微分，用 df（x）
或 dy 表示，即：
dy df (x) f (x)dx.
讲解方法四
引进实际问题，由研究函数的改变量 y = f（x0+x） f（x0）与自变量改变量 x 之间的关系，计 算函数改变量的大小，引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质.
例如：
计算正方形面积增量
S=2xx + (x)2
计算圆面积增量
S=2 rr + (r)2
计算球体积增量 计算自由落体路程增量
x
y)斜率为
f
' ( x)
的唯一确定的
切线存在. 切线在切点 P(x,y)附近与曲线密合，并且在相当靠近切点的地方，密合得难以区分. 这在分析上意味着
在点 x 的小邻域内，函数值 y = f（x）可用切线上相应点的纵坐标值来近似. 而在 x 充分小的邻域内，近似误 差 R 与x 相比是微不足道的.
若 f 在区间 I 的每一点可微，则称 f 在 I 上可微. 讲解方法三
在曲线切点的小邻域内，函数值 y = f（x）可用切线上相应点的纵坐标值来近似，而引出微分概念.
y
y y
y P
y
y f (x)
R
f (x)x
如果函数
y=f（x）在点O x
处有导数
f
'(x)x存在，则函数x 曲线x在相应点
P(x,
事实上,
R y f '(x)x ，
由于 f ' (x) 存在，就有
R 0(x 0) ， y f (x)x o（x）(x 0) . x
这样，函数的改变量y 就被分解成了两部分之和，其中第一项线性地依赖于x，而它与y 相差是关于
x 的高阶无穷小量，即当 x 很小时，舍弃这个微不足道的误差，剩下的部分 f '(x) x 就是可以作为y 的
dx = x dy = Adx.
讲解方法二
由于导数与微分都是研究函数增量y 与自变量增量x 之间的运算关系，在已有导数概念的前提下，利
用导数作为变化量之比极限的数量表现，而进行函数关系的运算引出微分定义.
由函数
y
=
f（x）在点
x0
Байду номын сангаас
处的导数
f
( x0
)
lim
x0
y x
,得到
,
y x
f
(x0 ) (x)
作业布置 《高等数学》标准化作业
导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ；
斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ；
切线：tangent line；切线方程：tangential equation；法线：normal line
定义：设 y=f（x）在区间 I 有定义， x0 I ，若存在关于x 的线性函数 Ax（A 是与x 无关的常数），
使 y f (x0 x) f (x0 ) A x o(x) ，则称 f 在 x0 处可微，称 Ax 为 f 在 x0 处的微分，记作 dy |xx0 或df (x0 ) A x.
§2. 5 函数的微分 授课次序 15
教学基本指标
教学课题 教学重点 参考教材
双语教学
课堂教学 目标
教学过程
§2.5 函数的微分
教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学
微分的概念，函数的微分法则
教学难点
微分的四则运算法则；一阶微分形 式的不变性
同济大学编《高等数学（第 6 版）》 自编教材《高等数学习题课教程》
4．收敛数列的性质（唯一性、有界性）（25min）
本节教学设计
微分定义 1 本知识点的背景知识
微分的概念从萌发到完整，其严格化经历了几个世纪. 即使在微积分蓬勃发展的牛顿—莱布尼茨—欧 拉时代，数学家们尽管能用微分进行近似计算、布列并求解微分方程，但由于无穷小量的概念尚未精确化， 微分的概念并不明晰；直到 19 世纪，数学的严格性发展到了新的高度，微分的概念才被确切地理解. 2 本知识点的多种讲解方法 讲解方法一
1． 了解微分的四则运算法则，会求函数的微分；
2． 一阶微分形式的不变性，
3． 初步了解微分在近似计算中的应用
1．函数极限的定义（35min），着重介绍两种不同的趋势下极限的不同形式；
2．应用定义证明极限（20min）介绍几种极限的证明过程，让学生明白基本过程。
3．左右极限的定义及与函数极限的关系（10min）
从纯分析的角度来研究函数的改变量y 与自变量的增量x 的依赖关系，而引出微分定义.
设 y=f（x），a<x<b，取 x0 ( a,b ) 及 x0→x0+x（x≠0），
则函数有改变量y=f（x0+x） f（x0），y 依赖于三个要素：函数 f，点 x0 及x. 当取定函数 f ，固定 x0 ，则y 依赖于x. 一般依赖关系复杂、多样. 但是在局部范围内，当|x|很小时，则可用一个线性化 来近似. 即y=Ax+o(x).
V 4πr 2 r 4πr (r)2 4 π (r)3 3
S gt t g (t)2 2
以上实际问题的增量计算都可以被分解成两部分之和，第一部分是函数关于自变量增量的线性函数，
第二部分是关于自变量增量的高阶无穷小，当自变量的增量很微小时，函数的增量可近似地用第一部分代替.
其中 lim (x) 0 ，于是y=fˊ(x0) x+x α（x），记 o(x) = x α（x），则 x0 y f (x0 )x o(x).
当 f（x）在 x0 处可导时，y 是 f '(x0 ) x 与 o (x)之和，记 dy f (x0 )x ，则
y dy 与x 相比为高阶无穷小（x→0），这里把 dy f (x0 )x 叫做微分.