《解直角三角形应用举例》1

OQ 6400 cos a 0.9491 OF 6400 343
F P α O· Q
a 18.36
∴弧PQ的长为
18.36 6400 2051(km) 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
图1
6.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 3 1.5)m（根号保留）． BE= (40 _________
图2
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm （根号保留）． 2
当堂反馈
5.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 100 3 m ( 50) ，则下面结论中正确的是（ ） C 3 A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角
视线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角 ，视线在水平线下方的是俯角，因此 ，在图中，a=30°,β=60°
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 45° 54° 40m
A B
AC tan ADC DC
AC tan ADC DC
D
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：棋杆的高度为15.2m.
A
B 140°
C
E
DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDE BD
cos50 520 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高 AB等于 100( 3 1)m （根号保留）．
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2.2 应用举例（1）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
Ａ
a
b
Ｃ
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 （2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
温故而知新
3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3 tan
m （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
A
┌ C
例题
例3： 2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行 器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面343km 的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从 中能直接看到的地球上表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多 少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果取整数）
A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a , tan AD AD
BD AD tana 120 tan30
B α A β D
3 120 40 3 3
CD AD tan 120 tan60
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
C
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
到的地球上的点，应是视线 与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是组合 体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q 是从组合体中观测地球时的 PQ最远 点． PQ 的长就是地面上P、Q两点 间的距离，为计算 的长需 PQ 先求出∠POQ（即a）的度数.
分析：从组合体中能直接看
F P
Q
α O·
解：在图中，设∠POQ=a FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角 三角形．
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°