试谈麦克斯韦方程的不同形式

( 1 . 5)
可得到 ( 1 . 3) 式 。 所以麦克斯韦方程并不是 独立的 。 从 ( 1 . 1) 到 ( 1 . 5) 式可以取 ( 1 . 1) 、
( 1 . 2) 和 ( 1 . 5) 三个方程或者 ( 1 . 1 ) 、 ( 1 . 2)
和 ( 1 . 3) 三个方程作为独立方程 。
E— — —电场强度 ( 伏特 / 米) D— — —电位移矢量 ( 库仑 / 米2 ) B— — —磁感应强度 ( 韦伯 / 米2 ) H— — —磁场强度 ( 安培 / 米) J — — —电流密度 ( 安培 / 米2 ) ( 1 . 4)
度 , 并利用电荷守恒定律 5ρ ・J + = 0 5t
( 5 . 4) ・H ( x ) = 0 可见 , 复数形式的麦克斯韦方程是推导 自由空间电磁场波动方程以及亥姆霍兹方程
式中 a 为洛伦兹变换矩阵 。 这样两个不同惯 性系中场量之间的变换容易计算 。 7 麦克斯韦方程的并矢形式 众所周知 , 利用格林函数来求解电磁场 边值问题是重要方法之一 。 在时变场中 , 为解 决电磁场的传播 、 辐射 、 散射等问题 , 把方程 ∧ ( 1 . 1) 至 ( 1 . 4) 后置单位矢量 x j 并对 j = 1 , 2 , 3 求和可得到麦克斯韦方程的并矢形式如 下[4 ] μH × E = iω ω εE ×H = J - i εE = ρ ・ ・B = 0
D = εE B = μH J = σE ( 1 . 6) ( 1 . 7) ( 1 . 8)
ρ— — —电荷密度 ( 库仑 / 米3 ) 讨论 : ( 1) 麦克斯韦方程的独立性 由于取 ( 1 . 1) 式的散度 , 并使其对时间 的积分为零可得 ( 1 . 4) 式 ; 取 ( 1 . 2) 式的散
可写为四维张量方程的形式[ 3 ] 5F μv =μ 0 Jμ 5 xv 5F 5 Fvλ 5 F μv λ μ + + = 0 5 xλ 5 xμ 5 xv
( 6 . 2) ( 6 . 3)
1997 .
[ 2 ] 毕德显 . 电磁场理论 . 北京 : 电子工业出版社 ,
1985 .
[ 3 ] 俞允强 . 电动力学简明教程 . 北京 : 北京大学出
10) 至 ( 3 . 13 ) , 反之亦然 。 这样关于 E 和 H 的
麦克斯韦方程化为两个对偶பைடு நூலகம்程 , 只要得到 其中一个对偶方程的解 , 就得到了 E 和 H , 从 而使某些问题的分析大大简化 。
4 麦克斯韦方程的对称积分形式
E ・d l = - I B・ dS ∮ d t∫ d H ・d l = I + D・ dS ∮ d t∫ D ・d S = ρ dV ∮ ∫ B ・d S = ρ d V ∮ ∫
即
E = Ee + Em H = He + H m Ee 、 He 所满足的方程为 :
× Ee = - μ
5 He 5t
( 3 . 6) ( 3 . 7) ( 3 . 8) ( 3 . 9)
× He = J ・Ee = ρ /ε ・He = 0
Em 、 H m 所满足的方程为 :
∮ ∫ ∮ ∫ D・ dS = ρ dV ∮ ∫ B・ dS = 0 ∮
E = H = J = ( 7 . 1) ( 7 . 2) ( 7 . 3) ( 7 . 4)
∧ ∧ Eij x i x j ∧ ∧ i j
j
的基础 。 6 麦克斯韦方程的四维形式 爱因斯坦的狭义相对论是电磁学发展的 产物 , 它论证了电磁规律和力学规律一样 , 在 一切惯性系中成立 。 物理学的基本规律能表 示成四维张量方程的形式 , 电磁场是张量场 , 为此引入一个反对称的二阶张量 F μv 。
S V S
( 2 . 3) ( 2 . 4)
× Hm = ε
5 Em 5t
( 3 . 10) ( 3 . 11) ( 3 . 12) ( 3 . 13)
× Em = - J m ・H m = ρ m/ μ ・Em = 0
要得到两介质界面上的边界条件 , 积分形式 的麦克斯韦方程是很有用的 。 3 麦克斯韦方程的对称微分形式 很明显 , 在有源区即 ρ ≠0 和 J ≠0 时 , 以上所给方程不具有对称性 , 其根源在于方 程中源的不对称 , 即不存在自由磁荷 ( 磁单极 子) 以及磁流 。 为了使方程有对称性 , 假设磁 荷密度和磁流密度分别为 ρ m 和 J m , 对各向 同性的线性介质 , 麦克斯韦方程变为 : 5H ( 3 . 1) ×E = - J m - μ 5t 5E ( 3 . 2) × H = J +ε 5t ( 3 . 3) ・E = ρ /ε ( 3 . 4) ・H = ρ m/ μ
L m S L f S S V S V m
d
要求 。 如对 ( 3 . 1) 取散度并注意到 ( 3 . 4) 式可 得 5ρ m ( 3 . 5) ・J m + = 0 5t 这就是磁荷守恒定律的微分形式 。 在时变电磁场中 , 作为一种分析方法 , 我 们可以把某些真实的场源等效为假想的磁荷 和磁流 , 这样把空间的场分解为电荷电流激 励的场 Ee 、 He 和磁荷磁流激励的场 Em 、 Hm
(6. 1)
j
0
i i E E 0 c 2 c 3 利用电磁场张量 , 三维形式的麦克斯韦方程
上式中 E 、 H 和 J 分别为电场强度 、 磁场强度 和电流密度的并矢形式 , 电荷密度矢量 ρ 无 具体的物理意义 。
参考文献
[1 ] 郭 硕 鸿. 电 动 力 学. 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 ,
( 2) 麦克斯韦方程的完备性
因为一个矢量方程等效于 3 个标量方 程 , 以上所描述的 3 个独立方程实际上是由 7 个标量方程组成的 。 每一个矢量函数有 3 个 分量 , 所以就有 16 个未知标量函数 。 显然 , 要 求解这些未知量 , 3 个独立方程是不足以构 成一个完整的方程系的 , 这也就把以上 3 个 独立方程称之为麦克斯韦方程的非限定形 式。 所以 , 麦克斯韦方程的 3 个独立方程是不 完备的 。 为了解出场量 , 必须附加一些条件 , 增加 一些独立方程 。 介质结构关系的引入就解决 了这个问题 。 例如 , 在各向同性的线性介质 中 , 结构关系如下 :
18
( 4 . 1) ( 4 . 2) ( 4 . 3) ( 4 . 4)
同样 , 利用以上积分形式的麦克斯韦方程很 容易得到两介质界面上的对称边界条件 。
5 麦克斯韦方程的复数形式
第 15 卷第 2 期 2002 年 4 月
高等函授学报 ( 自然科学版) Journal of Higher Correspondence Education ( Natural Sciences)
Vol. 15 No. 2 April 2002
( 1 . 6) 至 ( 1 . 8) 式又给出了 9 个标量方 导率 。 程 , 16 个未知量的 16 个独立方程使得麦克斯 韦方程变成限定的 。 这样当结构关系已知时 , 麦克斯韦方程是完备的 。 2 麦克斯韦方程的积分形式 对以上微分形式利用数学中的高斯公式 和斯托克斯公式便可得到积分形式的麦克斯 韦方程 。 d ( 2 . 1) E・ dl = B・ dS dt S L d H・ d l = If + D・ d S ( 2 . 2) d t S L
第 15 卷第 2 期 2002 年 4 月
高等函授学报 ( 自然科学版) Journal of Higher Correspondence Education ( Natural Sciences)
Vol. 15 No. 2 April 2002
文章编号 : 1006 - 7353 ( 2002) 02 - 0017 ( 06) - 03
Ξ
μ、 σ分别为介质电容率 、 其中 ,ε、 磁导率 、 电
收稿日期 :2001 - 12 - 21
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第 15 卷第 2 期 2002 年 4 月
高等函授学报 ( 自然科学版) Journal of Higher Correspondence Education ( Natural Sciences)
试谈麦克斯韦方程的不同形式
杨河林
( 华中师范大学物理系 武汉 430079)
Ξ
摘要 : 本文介绍了麦克斯韦方程的几种形式 ,并讨论了不同形式方程的特点 。 关键词 : 麦克斯韦方程 ; 积分形式 ; 微分形式 中图分类号 :O442 文献标识码 :A
1864 年麦克斯韦 ( Maxwell ) 在总结了电 磁现象的实验规律和提出位移电流假设之 后 ,把电磁理论总结为麦克斯韦方程 。它既 有实验基础 , 又经科学分析和实验检验的方 程 。麦克斯韦方程是研究电磁问题的基石 , 对于不同方向的研究所采用方程的形式有所 不同 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。以下列举了七种不同形式的 麦克斯韦方程供参考 。 1 麦克斯韦方程的微分形式 5B ( 1 . 1) ×E = 5t 5D ( 1 . 2) ×H = J + 5t ( 1 . 3) ・D = ρ ・B = 0 其中
( 3 . 1 ) 式中 J m 前的负号是磁荷守恒定律的
由方程 ( 3 . 6) 至 ( 3 . 13) 可见 ,ρ和 J 所产生的 电磁场与由ρ m 和 J m 所产生的电磁场所满足 的方程之间是相互映射的 。 换句话说 , 如果作 如下代换 :
Ee ∴ - H m He ∴ Em
ρ∴ - ρ J ∴- Jm m ε∴ μ μ∴ ε 由方程式 ( 3 . 6) 至 ( 3 . 9) 便可得到方程式 ( 3 .
版社 , 1999 .
[ 4 ] 戴振铎 、 鲁述 . 电磁理论中的并矢格林函数 . 武
按张量的定义 , 电磁场的张量 F μv 有变换性
汉 :武汉大学出版社 1996 .
19
0
- B3 F μ v = B2 i E c 1 - B1 B3 - B2 B1 i E c 1 i E c 2 i E c 3
∑ ∑H x J x ∑
j j j
0
∑∑ = ∑∑ H x x = ∑∑ J x x ρ= ∑ ρx
=
i
∧ Ej x j
∧ j j
ij
i
j
∧ j j
ij
∧ ∧ i j
i
j
∧ j j
Vol. 15 No. 2 April 2002
在谐变电磁场中 , 场量取如下形式
E ( x , t) = E ( x ) e
ωt - i ωt - i
质[1 ] α F′ μv = α μ λ τF λ τ v
( 6 . 4)
H ( x , t) = H ( x ) e
对于各向同性的线性介质 , 谐变电磁场 的麦克斯韦方程的复数形式可写为 μH ( x ) ( 5 . 1) × E ( x ) = iω εE ( x ) ( 5 . 2) × H ( x ) = J ( x ) - iω ( 5 . 3) ・E ( x ) = ρ( x ) / ε