集合的基本关系之交集、并集

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3分
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①当
2 Δ＝m －4n＝0， N＝{2}时，得 4－2m＋m＝0.
m＝4， 解得 n＝4，
经检验，符合题意.
6分
②当
2 Δ＝m －4n＝0， N＝{3}时，得 9－3m＋n＝0.
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2．对交集概念的理解(关键词“且”) (1) 定义中的“所有”是指集合 A 和集合 B 中全部的公共元 素，不能是一部分公共元素． (2)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”是指“同时”，即 集合A与集合B的公共元素都属于A∩B. (3)用Venn图表示交集如下：
A∩B A∩B＝A＝B A∩B＝∅
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2．并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B____B ＝ ∪A
A∪A＝___ A A∪∅＝____ A A⊆B⇔A∪B＝____ B
A∩B____B ＝ ∩A
A∩A＝____ A A∩∅＝____ ∅ A⊆B⇔A∩B＝___ A
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2．做一做 设集合 M ＝ {1,2} ， N ＝ {2,3} ，则 M∪N ＝ ________ ， M∩N ＝________. 答案：{1,2,3} {2}
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(2)用Venn图如下所示：
x∈A，但x∉B
x∈B，但x∉A
x∈A，且x∈B
因此 A∪B 是由所有至少属于 A ， B 两者之一的元素组成的
集合．
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1 ． (1) 已知集合 A ＝ {x|0 ＜ x≤2} ， B ＝ {x|x≤0} ，则 A∪B ＝
________； (2)已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x≤a，a＞0}，求A∪B.
解：(1){x|x≤2}． (2)结合数轴分析，如图： 所以当 0＜a≤2 时，A∪B＝{x|x≤2}； 当 a＞2 时，A∪B＝{x|x≤a}．
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3－x＞0 2． 已知集合 A＝x 3x＋6＞0 求 A∩B.
， 集合 B＝{m|3＞2m－1}，
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交集运算
已知集合 A ＝ {x|x ＞ 1} ， B ＝ {x| － 1 ＜ x ＜ 2} ，则 A∩B ＝
( ) A．{x|－1＜x＜2} C．{x|－1＜x＜1} B．{x|x＞－1} D．{x|1＜x＜2}
对于两个给定集合
所有属于 A、B，由________ 并集 A或属于B 的元素 __________ 组成的集合
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名 称
自然语言描述 对于两个给定集合
符号语言表示
Venn图表示
________ 属于集合 A∩B＝{ x|x∈A， 交 A、B，由________ 集 _________________ A且属于集合B的所有 ___________ 且x∈B} 元素组成的集合
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(M∩N) ， M∪N ＝ M 知 N≠∅ 且
N⊆M，而M＝{2,3}，因此可由方程x2－mx＋n＝0解的情况建立
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【规范解答】M＝{x|x2－5x＋6＝0} ＝{x|(x－2)(x－3)＝0} ＝{2,3} ∵M∪N＝M， ∴N⊆M ∴N＝∅、{2}、{3}、{2,3} 又∵∅ (M∩N)， ∴M∩N≠∅， ∴N≠∅ 4分
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并集运用
已知集合 A ＝ {x|x － 2 ＞ 3} ， B ＝ {x|2x － 3 ＞ 3x － a} ，求
A∪B.
化简集 讨论a 比较5与 思路点拨： ―→ ―→ 合A、B 的范围 a－3的大小 ―→ 求A∪B
10 分
综上所述，m、n 的值分别为
m＝4， n＝4 m＝6， 或 n＝9 m＝5， 或 n＝6.
12 分
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3 ． 若 集合 A ＝ {x| － 3≤x≤5} ， B ＝ {x|2m － 1≤x≤2m ＋ 9} ，
A∪B＝B，求m的取值范围．
解：∵A∪B＝B，∴A⊆B， 如图所示，
2m－1≤－3 ∴ 2m＋9≥5
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此类题目首先应看清集合中元素的范围．若是用列举法表
示的数集，可以根据并集定义直接观察或用Venn图求出并集；
若是用描述法表示的数集，可以根据并集定义值助数轴求出并 集；若集合的端点含有参数，要分类讨论．
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并集、交集性质的运用 设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若
A∩B＝B，求a的值．
思路点拨： A∩B＝B ―→ B⊆A ―→ 讨论集合B ―→ 列方程 ―→ 求a
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解：∵A∩B＝B，∴B⊆A. ∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或 B≠∅. 当 B＝∅时，方程 ax＋1＝0 无解，此时 a＝0. 当 B≠∅时，此时 a≠0，则 1 ∴－a∈A， 1 1 即有－ ＝－2，得 a＝ . a 2 1 综上，得 a＝0 或 a＝2.
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1 B＝ －a，
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在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B
＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B⊆A，然后用集合间的关系
解决问题，运算时要考虑B＝∅的情况，切记不可漏掉．
A∩B＝B A∩B＝A
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3．关于交集、并集运算的常用的性质 (1)A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A. (2)A⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A， B⊆(A∪B)，(A∩B)⊆B. (3)若A∪B＝B，则A⊆B；反之，若A⊆B，则A∪B＝B. (4)若A∩B＝B，则B⊆A；反之，若B⊆A，则A∩B＝B.
， ，
解得－2≤m≤－1.
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规范解答系列(一) 并集、交集性质的应用 (12 分 ) 设集合 M ＝ {x|x2 － 5x ＋ 6 ＝ 0} ， N ＝ {x|x2 － mx ＋ n ＝0}，若同时满足∅ (M∩N)，M∪N＝M，求实数m、n. 【规范思维】第一步，看结论：求实数m，n. 第二步，想方法：两个未知数m和n，需建立两个方程解方 程组． 第三步，找联系：由∅ 方程组．
数轴上 数轴上 公共部分 思路点拨： → → 画出A 画出B 为A∩B
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解析：如图所示．
A∩B＝{x|x＞1}∩{x|－1＜x＜2}＝{x|1＜x＜2}．
答案：D
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m＝6， 解得 n＝9，
经检验，符合题意.
8分
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4－2m＋n＝0， ③当 N＝{2,3}时，得9－3m＋n＝0， m2－4n＞0，
m＝5， 解得 n＝6，
经检验，符合题意.
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【互动探究】 本例中，将集合 A 改为 {x|x ＞ a} ，集合 B 不 变，求A∩B.
解：如图所示．
当 a≤－1 时，B⊆A，A∩B＝B＝{x|－1＜x＜2}； 当－1＜a＜2 时，A∩B＝{x|a＜x＜2}； 当 a≥2 时，A∩B＝∅.
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解：∵A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}， B＝{x|2x－3＞3x－a} ＝{x|x＜a－3}． 借助数轴如图：
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(1)当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}． (2)当a－3＞5，即a＞8时， A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R. 综上可知，当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}； 当a＞8时，A∪B＝R.
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1．想一想
(1)集合{1,2}与{2,3}的并集是{1,2,2,3}吗？
提示：不是，不符合集合元素的互异性，应是{1,2,3}． (2){2}是集合{1,2,3}与{2,3,4}的交集吗？ 提示：不是，由交集的定义知，应是{2,3}． (3)能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ 提示：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在， 此时A∩B＝∅.
3－x＞0 解：∵A＝x 3x＋6＞0
＝{x|－2＜x＜3}，
B＝{m|3＞2m－1}＝{m|m＜2}． 用数轴表示集合 A，B，如图．
∴A∩B＝{x|－2＜x＜2}．
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第一章 集合与函数概念
1.1.3
集合的基本运算 并集、交集
第1课时
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1．理解两个集合的并集和交集的含义．(重点) 2．会求两个简单集合的并集和交集．(难点、易错点)
3．能用 Venn图表达集合的并集与交集，体会数形结合思
想．(难点)
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求交集与求并集的解法一样，需要注意的是：借助数轴解
决问题时，最易出错的地方是各段的端点，因此端点能否取
到，在数轴上一定要标注清楚．当端点在集合中时，应用“实 心圆点 ” 表示；当端点不在集合中时，应用 “ 空心圆圈 ” 表 示．
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1．并集、交集的概念及表示法 名称 自然语言描述 符号语言表示 A∪B＝{ ______ x|x∈A， 或x∈B} _____________ Venn图表示
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1．对并集概念的理解(关键词“或”)
(1) 并 集 概 念 中 的 “ 或 ” 字 与 生 活 中 的 “ 或 ” 字 含 义 不
同．生活中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的 “或”字可以是兼有的，但不是必须兼有的． x∈A ，或 x∈B 包 含三种情况： ①x∈A，但x∉B； ②x∈B，但x∉A； ③x∈A，且x∈B.