(完整版)高中数学解析几何解题方法~

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( 1)充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条
件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
典型例题
设直线 3x
4y
m
0 与圆
2
x
2
y
x 2y
0 相交于 P、Q 两点, O 为坐标原点, 若 OP OQ ,求
m 的值。
解:
典型例题
求经过两已知圆 C1: x 2 y 2 4x 2 y 0 和 C2 : x 2 y2 2 y 4 0 的交点,且圆心在直线 l :
2 x 4 y 1 0 上的圆的方程。
解:设所求圆的方程为:ຫໍສະໝຸດ x2 y2 4x 2 y ( x 2 y2 2 y 4) 0
2
2
即 (1 ) x (1 ) y 4x 2(1 ) y 4 0 ,
把( 1)代入,得 2x1x 2 (x1 x2 ) 1 0 ,
2(b 1)

ab
化简后,得
ab 2
2b 10
ab
( 4)
由 | PQ|
10 ,得 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 )2 5
2
2
( x1 x 2 ) 2
5 , ( x1 4
( 2b ) 2 4(b 1) 5
ab
ab 4
x2 )2
k1 · k 2
y1 · y2 x1 ·x2
1 来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题
已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P( 2,0) ,抛物线 C: y 2 4( x 1) ,直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交
点(如图)。
(1)求 k 的取值范围; ( 2)直线 l 的倾斜角 为何值时, A 、 B 与抛物线
ax2 bx c 0 的方程,方程的两根设为 x A , xB ,判别式为△,则 | AB|
1 k 2 ·|xA xB |
1 k 2· △ ,若 |a|
直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。
例 求直线 x y 1 0 被椭圆 x2 4 y 2
16 所截得的线段 AB 的长。
② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

F1 、 F2 是椭圆 x 2 y2 1 的两个焦点, AB 是经过 F1 的弦,若 | AB| 8 ,求值 | F 2 A | | F2 B |
25 9
③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离

点 A (3, 2)为定点,点 F 是抛物线 y2 4 x 的焦点,点 P 在抛物线 y2 4x 上移动,若 | PA| | PF |取得
4 x1 x2
5, 4
把( 2)代入,得 4b2 8b 3 0 ,解得 b 1 或 b 3
2
2
代入( 4)后,解得 a 3 或 a 1
2
2
由 a b 0 ,得 a
3 ,b
1

2
2
3x2 y2
所求椭圆方程为
1
22
评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。
三 . 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。
典型例题 已知直角坐标平面上点
Q( 2,0)和圆 C:x 2+y 2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|
的比等于常数 ( >0) ,求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
分析:如图,设 MN 切圆 C 于点 N,则动点 M 组成的集合是: P={M||MN|= |MQ|} ,
N
由平面几何知识可知: |MN| 2=|MO| 2-|ON|2=|MO| 2-1 ,将 M 点坐标代入,可得:
圆 x 2 y 2 x 2 y 0 过原点,并且 OP OQ ,
PQ 是圆的直径,圆心的坐标为
又 M ( 1 ,1) 在直线 3x 4 y 2 1
3 ( ) 4 1 m 0, 2
1 M ( , 1)
2
m 0 上,
5
m
即为所求。
2
评注:此题若不充分利用一系列几何条件: 该圆过原点并且 OP OQ ,PQ 是圆的直径, 圆心在直线 3x 4 y m 0
相垂直。
分析:( 1)直线 y k ( x 2) 代入抛物线方程得
k 2 x2 (4k 2 4) x 4k 2 4 0 , 由 0 ,得 1 k 1( k 0) 。
A P (-2,0)
y B
O
C 的焦点连线互 x
(2)由上面方程得 x1 x 2
4k 2 k2
4,
y1y2 k 2 ( x1 2)( x2 2) 4 ,焦点为 O( 0,0) 。
解析几何常规题型及方法
( 1)中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为
(x1 , y1) , ( x2 , y2 ) ,代入方程,然后
两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。
典型例题
给定双曲线 x2
y2 1 。过 A ( 2,1)的直线与双曲线交于两点
2
P1 及 P2 ,求线段 P1 P2 的中点 P
( 2-1)(x 2+y2 )-4 2x+(1+4 2)=0.
O
当 =1 时它表示一条直线;当 ≠ 1 时,它表示圆。这种方法叫做直接法。
M Q
( 6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这
交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)
最小值,求点 P 的坐标。
典型例题
2
2
已知椭圆 C 的方程 x y 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 y 4 x m ,椭圆 C 上有不同两
43
点关于直线对称。
分析:椭圆上两点 ( x1 , y1 ) , (x 2 , y 2 ) ,代入方程,相减得 3(x1 x2 )( x1 x 2 )
4( y1 y2 ) ( y1 y2 ) 0 。
由方程组 ax 2
by 2
消去 y 后得 1
2
(a b) x x 1 x2
2bx b 1 0 2b , x1 x2
ab
b1 ab
由 k OP k OQ
1 ,得 y1y2
x1 x 2
( 1)
又 P、 Q 在直线 y x 1 上,
y1 x1 1,
(2)
y2 x2 1,
( 3)
y1y 2 ( x1 1)( x 2 1) x1x 2 (x1 x2 ) 1
其圆心为 C( 2 ,
1)
1
1
又 C 在直线 l 上, 2 2 4 1
1 1 0 ,解得 1
1 ,代入所设圆的方程得 x2 y 2 3x y 1 0 为 3
所求。
评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角
<2> 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式, 则可建立目标函数 (通常利用二次函数, 三角函数, 均值不等式)
求最值。 典型例题
已知抛物线 y2=2px(p>0) ,过 M ( a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点
A 、 B , |AB|≤ 2p
( 1)求 a 的取值范围;( 2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N ,求△ NAB 面积的最大值。 (2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为( x 3,y3),则由中点坐标公式得:
典型例题
已知中心在原点 O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y x 1 相交于 P、Q 两点, 且 OP OQ ,| PQ|
10 , 2
求此椭圆方程。
解:设椭圆方程为 ax 2 by 2 1(a b 0) ,直线 y x 1与椭圆相交于 P( x1, y1) 、 Q( x2, y2 ) 两点。
y x1
代换法。
典型例题
P 为椭圆 x 2 a2
y2 b2 1 上一动点, A 为长轴的右端点, B 为短轴的上端点,求四边形
OAPB 面积的最大值
及此时点 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦
AB 长的方法是:把直线方程 y kx b 代入圆锥曲线方程中,得到型如
( 5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知 -------- 这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题
已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A( -1, 0)和点 B( 0, 8)关于 L 的对 称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。
2.曲线的形状未知 ----- 求轨迹方程
由 kOA ·kOB
y1 y2 x1 x2
k2 k2 1
1 ,得 k
2

2
2 arctan 或
2
2 arctan
2
B: 解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲 线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:
上,而是设 P( x1, y1) 、 Q ( x2 , y2 ) 再由 OP OQ 和韦达定理求 m ,将会增大运算量。
评注:此题若不能挖掘利用几何条件 计算量将很大,并且比较麻烦。
OMP 90 ,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,
二 . 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
的轨迹方程。 ( 2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
x2 y2 典型例题 设 P(x,y) 为椭圆 a 2 b 2 1 上任一点, F1( c,0) , F2 ( c,0) 为焦点, PF1 F2
, PF2 F1

sin(
)
(1)求证离心率 e

sin sin
3
3
(2)求 | PF1| PF2 | 的最值。
( 3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合 的办法
典型例题
抛物线方程 y 2 p (x 1) ( p 0),直线 x y t与 x轴的交点在抛物线准线的右边。
又x
x1 x 2 , y 2
y1 y2 , k 2
y1 y2 x1 x 2
1 ,代入得 y 3x 。 4
y 3x
又由
解得交点 ( m, 3m) 。
y 4x m
( m) 2 ( 3m) 2
2 13
2 13
交点在椭圆内,则有
1 ,得
m

4
3
13
13
( 7)两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用
(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A 、 B,且 OA ⊥ OB,求 p 关于 t 的函数 f(t) 的表达式。 ( 4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<1> 若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
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