(完整版)高中数学解析几何解题方法~

（ 1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条
件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题
设直线 3x
4y
m
0 与圆
2
x
2
y
x 2y
0 相交于 P、Q 两点， O 为坐标原点， 若 OP OQ ，求
m 的值。
解：
典型例题
求经过两已知圆 C1： x 2 y 2 4x 2 y 0 和 C2 ： x 2 y2 2 y 4 0 的交点，且圆心在直线 l ：
2 x 4 y 1 0 上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：ຫໍສະໝຸດ x2 y2 4x 2 y ( x 2 y2 2 y 4) 0
2
2
即 (1 ) x (1 ) y 4x 2(1 ) y 4 0 ，
把（ 1）代入，得 2x1x 2 (x1 x2 ) 1 0 ，
2(b 1)
即
ab
化简后，得
ab 2
2b 10
ab
（ 4）
由 | PQ|
10 ，得 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 )2 5
2
2
( x1 x 2 ) 2
5 ， ( x1 4
( 2b ) 2 4(b 1) 5
ab
ab 4
x2 )2
k1 · k 2
y1 · y2 x1 ·x2
1 来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题
已知直线 l 的斜率为 k ，且过点 P( 2,0) ，抛物线 C: y 2 4( x 1) ，直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交
点（如图）。
（1）求 k 的取值范围； （ 2）直线 l 的倾斜角 为何值时， A 、 B 与抛物线
ax2 bx c 0 的方程，方程的两根设为 x A ， xB ，判别式为△，则 | AB|
1 k 2 ·|xA xB |
1 k 2· △ ，若 |a|
直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
例 求直线 x y 1 0 被椭圆 x2 4 y 2
16 所截得的线段 AB 的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
例
F1 、 F2 是椭圆 x 2 y2 1 的两个焦点， AB 是经过 F1 的弦，若 | AB| 8 ，求值 | F 2 A | | F2 B |
25 9
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例
点 A （3， 2）为定点，点 F 是抛物线 y2 4 x 的焦点，点 P 在抛物线 y2 4x 上移动，若 | PA| | PF |取得
4 x1 x2
5， 4
把（ 2）代入，得 4b2 8b 3 0 ，解得 b 1 或 b 3
2
2
代入（ 4）后，解得 a 3 或 a 1
2
2
由 a b 0 ，得 a
3 ，b
1
。
2
2
3x2 y2
所求椭圆方程为
1
22
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。
三 . 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
典型例题 已知直角坐标平面上点
Q（ 2，0）和圆 C：x 2+y 2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|
的比等于常数 （ >0） ,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：如图，设 MN 切圆 C 于点 N，则动点 M 组成的集合是： P={M||MN|= |MQ|} ，
N
由平面几何知识可知： |MN| 2=|MO| 2-|ON|2=|MO| 2-1 ，将 M 点坐标代入，可得：
圆 x 2 y 2 x 2 y 0 过原点，并且 OP OQ ，
PQ 是圆的直径，圆心的坐标为
又 M ( 1 ，1) 在直线 3x 4 y 2 1
3 ( ) 4 1 m 0， 2
1 M ( ， 1)
2
m 0 上，
5
m
即为所求。
2
评注：此题若不充分利用一系列几何条件： 该圆过原点并且 OP OQ ，PQ 是圆的直径， 圆心在直线 3x 4 y m 0
相垂直。
分析：（ 1）直线 y k ( x 2) 代入抛物线方程得
k 2 x2 (4k 2 4) x 4k 2 4 0 ， 由 0 ，得 1 k 1( k 0) 。
A P (-2,0)
y B
O
C 的焦点连线互 x
（2）由上面方程得 x1 x 2
4k 2 k2
4，
y1y2 k 2 ( x1 2)( x2 2) 4 ，焦点为 O( 0,0) 。
解析几何常规题型及方法
（ 1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为
(x1 , y1) ， ( x2 , y2 ) ，代入方程，然后
两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题
给定双曲线 x2
y2 1 。过 A （ 2，1）的直线与双曲线交于两点
2
P1 及 P2 ，求线段 P1 P2 的中点 P
( 2-1)(x 2+y2 )-4 2x+(1+4 2)=0.
O
当 =1 时它表示一条直线；当 ≠ 1 时，它表示圆。这种方法叫做直接法。
M Q
（ 6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这
交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
最小值，求点 P 的坐标。
典型例题
2
2
已知椭圆 C 的方程 x y 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线 y 4 x m ，椭圆 C 上有不同两
43
点关于直线对称。
分析：椭圆上两点 ( x1 , y1 ) ， (x 2 , y 2 ) ，代入方程，相减得 3(x1 x2 )( x1 x 2 )
4( y1 y2 ) ( y1 y2 ) 0 。
由方程组 ax 2
by 2
消去 y 后得 1
2
(a b) x x 1 x2
2bx b 1 0 2b ， x1 x2
ab
b1 ab
由 k OP k OQ
1 ，得 y1y2
x1 x 2
（ 1）
又 P、 Q 在直线 y x 1 上，
y1 x1 1，
(2)
y2 x2 1，
( 3)
y1y 2 ( x1 1)( x 2 1) x1x 2 (x1 x2 ) 1
其圆心为 C（ 2 ，
1）
1
1
又 C 在直线 l 上， 2 2 4 1
1 1 0 ，解得 1
1 ，代入所设圆的方程得 x2 y 2 3x y 1 0 为 3
所求。
评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角
<2> 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式， 则可建立目标函数 （通常利用二次函数， 三角函数， 均值不等式）
求最值。 典型例题
已知抛物线 y2=2px(p>0) ，过 M （ a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点
A 、 B ， |AB|≤ 2p
（ 1）求 a 的取值范围；（ 2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N ，求△ NAB 面积的最大值。 (2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q，令其坐标为（ x 3,y3），则由中点坐标公式得：
典型例题
已知中心在原点 O，焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y x 1 相交于 P、Q 两点， 且 OP OQ ，| PQ|
10 ， 2
求此椭圆方程。
解：设椭圆方程为 ax 2 by 2 1(a b 0) ，直线 y x 1与椭圆相交于 P( x1， y1) 、 Q( x2， y2 ) 两点。
y x1
代换法。
典型例题
P 为椭圆 x 2 a2
y2 b2 1 上一动点， A 为长轴的右端点， B 为短轴的上端点，求四边形
OAPB 面积的最大值
及此时点 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦
AB 长的方法是：把直线方程 y kx b 代入圆锥曲线方程中，得到型如
（ 5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知 -------- 这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题
已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（ -1， 0）和点 B（ 0， 8）关于 L 的对 称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。
2．曲线的形状未知 ----- 求轨迹方程
由 kOA ·kOB
y1 y2 x1 x2
k2 k2 1
1 ，得 k
2
，
2
2 arctan 或
2
2 arctan
2
B: 解题的技巧方面
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲 线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：
上，而是设 P( x1， y1) 、 Q ( x2 ， y2 ) 再由 OP OQ 和韦达定理求 m ，将会增大运算量。
评注：此题若不能挖掘利用几何条件 计算量将很大，并且比较麻烦。
OMP 90 ，点 M 是在以 OP 为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，
二 . 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
的轨迹方程。 （ 2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点 P，与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
x2 y2 典型例题 设 P(x,y) 为椭圆 a 2 b 2 1 上任一点， F1( c,0) ， F2 ( c,0) 为焦点， PF1 F2
， PF2 F1
。
sin(
)
（1）求证离心率 e
；
sin sin
3
3
（2）求 | PF1| PF2 | 的最值。
（ 3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合 的办法
典型例题
抛物线方程 y 2 p (x 1) ( p 0)，直线 x y t与 x轴的交点在抛物线准线的右边。
又x
x1 x 2 ， y 2
y1 y2 ， k 2
y1 y2 x1 x 2
1 ，代入得 y 3x 。 4
y 3x
又由
解得交点 ( m, 3m) 。
y 4x m
( m) 2 ( 3m) 2
2 13
2 13
交点在椭圆内，则有
1 ，得
m
。
4
3
13
13
（ 7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为 A 、 B，且 OA ⊥ OB，求 p 关于 t 的函数 f(t) 的表达式。 （ 4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1> 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。