第四章信号与系统的课件,徐亚宁版

三、常用信号的拉氏变换 1、 δ(t) 、 2、 U(t) 、 3、 、 e-at 1
1 s
1 s +a s 2 s2 +ω0
4、cos(ωot ) 、 ω 5、sin(ωot ) 、 ω 6、 te-at 、
ω0 2 s2 +ω0
1 (s + a)2
§5-3 拉氏变换基本性质
1、线性性质：若 f1 (t ) ← →F1 (s) 、线性性质：
F (s) = F1 (s) + F1 (s)e− sT + F1 (s)e−2sT + ⋅ ⋅ ⋅
= F1 ( s )(1 + e − sT + e − 2 sT + ⋅ ⋅ ⋅ )
1 F(s) = F (s) 1 1− e−sT
∴
E 1− e−sτ F(s) = ⋅ S 1− e−sT
4、频移性：f(t) ↔ F(s)，则 、频移性若 ： ， 证明： 证明：
− σt
ω : −∞ → ∞ s : σ − j ∞ → σ + j∞ 1 σ + j∞ st ∴ f (t ) = F(s )e ds 2πj ∫σ− j∞
Laplase变换对： 变换对： 变换对
• 1 、 双 边 Ｌ aplase 变 换 (double-sided Laplase transform)
• 对某些增长信号引入收敛因子
− σt
e来自百度文库
则有： 则有：
(σ为正实数)
∞ − σt −∞
F1 (ω) = ∫ [f (t )e 令s = σ + jω
∞ −st
]e
− jωt
dt
F(s ) = ∫ f (t )e dt
−∞
1 ∞ jωt F1 (ω)e dω f (t )e = ∫−∞ 2π ds ∵ s = σ + jω dω = j
1 F f ，求 (t) =？ 例2: 已知 (s) = −s s(1+ e ) 1 1 解： F(s) = ∵ = (1− e−s + e−2s − e−3s + e−4s −⋯ ) ⋯ −s s(1+ e ) s
∴ f (t ) = U (t ) − U (t − 1) + U (t − 2) − U (t − 3) + U (t − 4) − ⋯⋯
sin x dx,求F2 (s)。 x 0
t
1 1 ∴F2 (s) = arctg s s
9、时域卷积定理： 、时域卷积定理： 若 则
f1 (t ) ← → F1 ( s)
f2 (t)←→F2 (s)
f1(t) * f2 (t) ← →F (s)F2 (s) 1
10、频域卷积定理： 、频域卷积定理： 若 则
s→∞
含有冲激A 等时， 当f(t)含有冲激 oδ(t)、Boδ’(t) 等时，有 含有冲激 、
f (0+ ) = lim s[F(s) − A − B0 ] 0
f ′(0+ ) = lim s[sF(s) − f (0+ )]
s→∞
s→∞
f
(n)
(0 ) = lim s[s F(s) − ∑sn−1−m f (m) (0+ )]
lim f ( t )e − σt = 0
t →∞
(σ > σ0 )
• •
σ０：收敛坐标 满足上式的函数称为指数阶函数。 满足上式的函数称为指数阶函数。
• 2、双边拉氏变换的收敛域： 双边拉氏变换的收敛域： 双边拉氏变换的收敛域
lim f ( t )e
t →∞ t → −∞
− σt − σt
=0 =0
0
(
2、尺度变换性： 若f(t) ↔ F(s)，则 、尺度变换性： ， 3、时移性： 、时移性：
s 1 ↔ F( ) f(at) a a 若f(t)U(t)↔ F(s)，则 f(t±t0 )U(t±t0 ) ↔ F(s)e±st0 ↔ ，
s −a s 1 f(at- b)↔ F( )e a a
b
例1: f (t) = e−tU(t − 2) = e−2e−(t −2)U(t − 2)
变换的局限性。 Ｆourier变换的局限性。 变换的局限性 • Laplace 变换的特点： 变换的特点： 1、变换简单且容易计算； 变换简单且容易计算； 变换简单且容易计算 2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义； 可应用复频率的概念具有更普遍的意义； 可应用复频率的概念具有更普遍的意义 3、可处理的信号范围更广； 可处理的信号范围更广； 可处理的信号范围更广 4、在微分方程的求解中变微分运算为代数 运算； 运算； 自动引入初始条件，直接求出全解。 5、自动引入初始条件，直接求出全解。
§4-1 Laplace变换
• 一、 从Ｆourier变换到Ｌaplace变换： 变换到Ｌ 变换： 变换到 变换 • Ｆourier变换对： 变换对： 变换对
− jωt F(ω) = f (t )e dt ∫−∞ 1 ∞ jωt f (t ) = F(ω)e dω ∫−∞ 2π ∞
第四章 连续时间系统的复频域分析
本章重点
• • • • 1、Laplace 变换的定义和基本性质； 变换的定义和基本性质； 2、Laplace 变换应用于线性系统分析； 变换应用于线性系统分析； 3、系统函数 （S）的概念； 系统函数H（ ）的概念； 系统函数 4、H（S）的零极点与频率特性以及系统的 （ ） 稳定性之关系。 稳定性之关系。
f(t)e
∞
±s0t
↔ F(s ∓ s0 )
∫ − [ f(t)e
0
∞
±s0t
]e dt = ∫ − f(t)e−(s∓s0 )t dt
−st 0
= F(s ∓ s0 )
的拉氏变换。 例 求e−αt cos(ω0t)的拉氏变换。
s 解： ∵ cos(ω0t) ⇔ 2 2 s + ω0
∴e
−αt
s +α cos ω 0 t ↔ 2 (s + α ) + ω 02
e 对于 −αt sin( ω0t),同样
ω0 ∵ sin( ω0t) ⇔ 2 2 s + ω0
∴ e
−αt
ω0 sin( ω0t) ⇔ 2 (s + α)2 + ω0
5、时域微分性：若f(t) ↔ F(s)，则 、时域微分性： ，
f ′ ↔ sF(s) − f( 0− ) (t)
f
(n)
(t) ↔ s F(s) − ∑sn−1−m f (m)( 0− )
n m=0
n−1
6、时域积分性： f(t) ↔ F(s)，则 、时域积分性： 若 ， 7、频域微分性：若f(t) ↔ F(s)，则 、频域微分性： ， 8、频域积分性： 、频域积分性： 若f(t) ↔ F(s)，则 ，
∫
t
0
f (τ)dτ) ↔
F(s) s
(−t) f (t) ↔
dF(s) ds n d F(s) (−t)n f (t) ↔ dsn
(
)
)
F(s) = ∫ f (t)e−s t dt
0−
∞
s 1 1 1 = 2 F(s) = + 2 2 s − jω0 s + jω0 s + ω0
1 f(t)=sin(ωot ) = ω e jω 0 t − e − jω 0 t 2j 1 1 1 = ω0 F(s) = − 2 j s − jω0 s + jω0 s2 + ω 2
f1(t)←→F1(s)
f2 (t)←→F2 (s)
1 f1 (t ) f 2 (t ) ← → F1 ( s) * F2 ( s) 2πj
11、初值定理： 、初值定理：
初值: 初值 f(t)|t=0+=f(0+)
有初值， 若f(t) 有初值，且f(t) ↔ F(s)，则 ，
f (0+ ) = lim sF(s)
−st −st F(s) = f ( t )e dt ∫−∞ 1 σ + j∞ st F(s )e ds f (t ) = ∫σ− j∞ 2 πj ∞
象函数
原函数
• 2 、 单 边 Ｌ aplase 变 换 (single-sided Laplase transform)
F(s) = f ( t )e −st dt ∫0 1 σ + j∞ st F(s )e ds f (t ) = ∫σ− j∞ 2πj
e −2 − 2 s e ∴ F (s) = s+1
例2:求图示信号的拉氏变换。 求图示信号的拉氏变换。 求图示信号的拉氏变换
1 s2 1 ⇔ 2 e − st 0 s ⇔
f (t ) = tU (t )
f1 (t ) = (t − t0 )U (t − t0 ) f 2 (t ) = (t − t0 )U (t )
( σ > σ1 ) (σ < σ 2 )
lim f ( t )e
• 特别注意 ： 双边拉氏变换要和收敛域一 特别注意： 才能和原函数一一对应。 起，才能和原函数一一对应。
例：
• • • • • •
收敛域的特点： 收敛域的特点： 1）收敛域为条状，平行于ｊω轴； 收敛域为条状， 收敛域为条状 平行于ｊ 轴 2）收敛域不包含拉氏变换有理式的极点； 收敛域不包含拉氏变换有理式的极点； 收敛域不包含拉氏变换有理式的极点 3） f(t)为右边函数收敛域在 ０的右边； 为右边函数收敛域在σ 为右边函数收敛域在 的右边； 4） f(t)为左边函数收敛域在 ０的左边； 为左边函数收敛域在σ 为左边函数收敛域在 的左边； 5）f(t)为双边信号收敛域为条状。 为双边信号收敛域为条状。 为双边信号收敛域为条状
∞ 1 f (t) ↔ ∫ F(x)dx s t
例： 1 f (t) = sin t , 求 (s) ω ) 1 F 。 sin(ωot ) ⇔ 1
t
ω0 2 s2 + ω0
解：
1 sin t ⇔ 2 s +1
∞ sin t 1 1 ⇔ ∫ 2 dx = arctg s x +1 t s
2 f2 (t) = ∫ ）
jω
σ
S平面极点分布与时域波形对照图 平面极点分布与时域波形对照图
§5-4
方法： 方法：
拉普拉斯逆变换
0 t < 0− 1 σ + j∞ f (t ) = F(s)es t ds t > 0− ∫ 2 j σ − j∞ π
（1）查表法 （2）利用常用信号拉氏变换与基本性质 （3）部分分式法 (亥维赛德展开定理) 亥维赛德展开定理) （4）留数法 留数法——回线积分法 回线积分法 （5）数值计算方法 数值计算方法——计算机 计算机
⇔
1 1 − t0 s2 s
求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。 例3: 求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。 【解】设
E f1(t) = 0
(0 < t <τ ) (τ < t <T)
= E[U (t ) − U (t − τ)]
E F1(s)= (1 −e −sτ) s
f (t) = f1(t) + f1(t −T) + f1(t − 2T) +⋅⋅⋅⋅
+ n s→∞ m=0
n−1
12、终值定理： 终值 f(t)| =f(∞) 、终值定理： 终值: ∞ t=∞ ∞ 有终值， 若f(t) 有终值，且f(t) ↔ F(s)，则 ，
f (∞) = lim sF(s)
s→0
注意：终值存在的条件： 右半平面和jω 注意：终值存在的条件：F(s)在s右半平面和 ω轴上无极点。 在 右半平面和 轴上无极点。
1− e−s 2 例1: 已知 (s) = ( ) ，求 (t) =？ f F s −s 1− e 2 1 解： ∵F(s) = ( ) = 2 (1− 2e−s + e−2s ) s s
利用拉氏变换性质和常用信号变换， 利用拉氏变换性质和常用信号变换，有
f (t ) = tU (t ) − 2(t −1)U (t −1) + (t − 2)U (t − 2)
•注意 ： 不特别强调讨论的都是单边拉氏变 注意： 注意 换。 • 单边拉氏变换下限为０ 单边拉氏变换下限为０－。这样考虑到 时刻可能发生冲激。 ０时刻可能发生冲激。
∞
记作： 记作：
[f(t)]=F(s)
-1
f ( t ) ↔ F( s )
[F(s)]=f(t)
• 二、Ｌaplase变换的收敛域：（the region of 变换的收敛域： 变换的收敛域 convergence for Laplase transform） ） • 1、单边拉氏变换的收敛域： 单边拉氏变换的收敛域： 单边拉氏变换的收敛域
f2 (t)←→F2 (s)
则
C 1 f 1 ( t ) + C 2 f 2 (t ) ← → C1 F1 ( s ) + C 2 F2 ( s ) 其中：C1,C2为任意常数 其中：
例：
f (t ) = cos(ω0t ) = 1 e jω 0 t + e − jω 0 t 2 e-at
1 ⇔ s +a