三角代换巧解不等问题

三角代换巧解不等问题

根据题目的特点，选取恰当的三角代换，能达到化难为易，化繁为简的目的，它是解不等式问题中常用的方法，现举例说明。

一. 证明不等式

例1 ，

1,12222=+=+d c b a 求证：1||≤+bd ac 。 证明：设a=sin α,b=cos α,c=sin β,d=cos β

则有：=+|cos cos sin sin |βαβα1|)cos(|≤-βα，问题得证。 例2 已知a,b ∈R,且122≤+b a ，求证：|a 2+2ab-b 2|2≤

解：可设a=ksin α,b=kcos α,其中|k|≤1于是有

|a 2+2ab-b 2|=k 2|sin2αα2cos －|=22|)42sin(|222≤≤-k k π

α

例3．已知0

b x a -+12

2≥2)(b a + 分析：0

证明：因为0

θ∈ 所以

2

22222222222222

22)(2tan cot )tan 1()cot 1(cos sin b a ab b a b a b a b a b a +=++≥+++=+++=+θ

θθθθ

θ ∴x

-1b x a 2

2+≥2)(b a + 例4 已知11≤≤-x ，且n N n ∈≥,2 求证n n n x x 2)1()1(≤+-＋

分析：因为11≤≤-x 考虑到右边有1-x 与1+x,故联想到利用2倍角余弦公式化简，从而采用三角代换之。

证明：因为11≤≤-x ，设x=cos2）２

π

αα≤≤0(,

则1-x=1-cos2ααα22sin 2)sin 21(1=--＝

αα2cos 22cos 11=+=x ＋

所以n n n n n n n n x x 2)cos (sin 2cos 2sin 2)1()1(2222=+≤+=+-αααα＋ 故原不等式n n n x x 2)1()1(≤+-＋成立。

二．应用三角代换求最值

例５ 设+∈R y x ,,不等式y x a y x +≤+

恒成立，求a 的最小值。 分析：原不等式等价于y

x y

x a ++≥恒成立，则a 必不小于右边代数式的最大值， 即只需求出y x y

x ++的最大值即可。 解：因为222))()(y x y x +=+（ 令y x x

+=cos θ , y x y

+=sin θ ( ）２（０，π

θ∈) ∴y x y

x a ++≥= cos θ+ sin θ=)4sin(2π

θ+ ）２（０，πθ∈）４３，４（）４＋（πππθ∈∴,1)4

sin(22≤+<πθ ∴a 不小于右边函数的最大值，即)4sin(2πθ+

的最大值２。 因此a 的最小值是２。

例6．求y=x+21x -的最大值。

解：不妨设x=sin α ]2

,2[ππα-∈

则变为y=sin α+cos α=)4sin(2πα+

故2max =y 当且仅当4π

α=时，能取到最大值。

点评：1、三角代换时，要注意新变量与原变量间的取值范围是否一致。

2、三角代换的特点是将原来两个变元x,y 问题转化为关于一个变元θ的问题，通过换元

达到减元的目的。