小波的几个术语及常见的小波基介绍

小波的几个术语及常见的小波基介绍

本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

一、小波基选择标准

小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：

1、支撑长度

小波函数屮⑴、¥ ( 0>)尺度函数惟)和0 ( 的)支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，¥(t))¥ ( 3、)机t)和0 ( o从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的

小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集

中。

这里常常见到紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0,那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是除在一个很小的区域外，函

数为零，即函数有速降性”

2、对称性

具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

3、消失矩

在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩 (Vanishing Moments )条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若

严屮⑴df二0

其中，Y(t)为基本小波，0<=p

4、正则性

在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小

波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对不规则”(irregular误差比平滑"误差更加敏感。换

句话说，我们需要强加正则性” (regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图

像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则

性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。

消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波(比如，样条小波，Daubechies

小波等)来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。

5、相似性

选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。

二、常见的小波基

消失矩阶数

1、Haar 小波

Haar ，一般音译为 哈尔” ”

Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，

也是最简单的一

个小波函数，它是支撑域在

t € [0,1]范围内的单个矩形波。

Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

在Matlab 中输入命令 waveinfo('haar')可得到如下信息：

Gen eral characteristics: Compactlysupported wavelet, the oldest and the simplestwavelet.

scali ng function phi = 1 on [0 1] and 0otherwise.

wavelet function psi = 1 on [0 0.5], = -1o n [0.5 1] and 0 otherwise.

Family

尺度函数

Nr-1

Haar Short n ame haar

Examples

haar is the same as db1

Orthogo nal yes

Biorthogo nal yes Compact support yes

possible

CWT

possible

1

2

haar is not con ti nu ous

yes

Number of vanishing mome nts for psi

1

2、Daubechies(dbN)小波(紧支集正交小波)

Daubechies , 一般音译为多贝西”。

Daubechies 小波是由世界著明的小波分析学者

Ingrid Daubechies （ 一般音译为英格

丽 多贝西）构造的小波函数，我们一般简写成 dbN ，N 是小波的阶数。小波函数

屮⑴和尺度

函数 胆）中的支撑区为2N-1 , ¥（t ）的消失矩为N 。dbN 小波具有较好的正则性，即该小波作 为稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，

使得信号重构过程比较光滑。dbN 小波的特点是

随着阶次（序列N ）的增大消失矩阶数越大，其中消失矩越高光滑性就越好，频域的局部化 能力就越强，频带的划分效果越好，

但是会使时域紧支撑性减弱，

同时计算量大大增加，实

时性变差。另外，除 N=1夕卜，dbN 小波不具有对称性（即非线性相位），即在对信号进行 分析和重构时会产生一定的相位失真。 dbN 没有明确的表达式（除了 N=1夕卜，N=1时即为

Haar 小波）。

在Matlab 中输入命令 waveinfo （'db'）可得到如下信息：

Gen eral characteristics: Compactlysupported wavelets with extremal phase and highest nu mber of vanishing mome nts for a give n

DWT Support width

Filters len gth

Regularity

Symmetry