南开大学姚江宏特色大学物理课件光学第二章 光的衍射

第二章 光的衍射
§1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理 §2 单缝和圆孔的夫琅和费衍射 §3 光学仪器的分辨本领 §4 衍射光栅 §5 光栅光谱 §6 X 射线衍射 布喇格公式
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第一节 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理
1. 光的衍射现象
衍射：当波遇到障碍物时将偏离直线传播， 这种现象称为衍射现象。
3.47...
除零级外，其它明条纹中心位置与半波带法结果略有不同。 矢量叠加法比半波带法对波前AB的分割更精细。
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暗条纹中心位置满足：
u a sin / ,2 ,3
即： a sin k, k 1,2,
与半波带法结果相同。
光强极大的地方应满足：
即：tanu u
dI du
d du
sin 2 ( u2
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是 透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。
几何光学是波动光学在a >> 时的极限情况!
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如果研究的波阵面上包含的不是整数个半波带，再用半 波带法讨论就不准确了。 矢量叠加法就是把波阵面分成N份，相邻波阵面上的光 程差是asin/N；用矢量叠加法还可以求出夫琅和费衍射 的强度分布。
2
波前法线方向振幅最大，相反方向振幅为零， 所以子波不会向后退。
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3. 衍射的分类
• 菲涅耳衍射
光源与障碍物距离
为有限远。
S
光源
•• 夫琅和费衍射
光源与障碍物
距离为无限远。 S
A
B
障碍物
A
光源
B
障碍物
E
接收屏
E
接收屏
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第二节 单缝和圆孔的夫琅和费衍射
2.1 单缝夫琅和费衍射
Y Y
E X
S
L1
A
光源在透镜L1的物方焦平面
平均光强之比为：
I01 I02
P1 83.8% /r021 P2 83.8% /r022
104
可见，爱里斑半径缩小10-1倍（r01/r02=10）， 但爱里斑上平均光强却增大104倍。
结论：通光孔径增加，爱里斑缩小，爱里斑的平 均光强增加。 成像清晰！
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本节要点：
衍射角
暗纹中心衍射方向满足 暗纹中心在屏上位置
u)
0
u 0,1.43 ,2.46 ,3.47
与半波带法结果略有不同。
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作图求解 光强曲线
1.43
y y tgu
yu
2 0 2 u
1.43
I I0 1.0
3 2 0
2 u 20
I
1.43 o 2
u
各级明条纹的光强比为：
I0 : I1 : I2 : I3 1: 0.047 : 0.017 : 0.0083
B
相邻波带的光程差：/2
相邻波带的位相差：
C
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菲涅耳半波带法
A
A1
A2
A3
B
C
A
a
A1 A2
A3
B
f
单缝
p
x
o
E
将波面分成整数个波带，各波带面积相等，相邻波带
的相位差为，则明暗条纹的条件：
asin 2k / 2 k 暗纹条件
k 1,2
asin (2k 1) / 2 明纹条件
10
asin 2k / 2 k 暗纹中心 k 1,2
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u N a sin
2
A NA1 sin u / u
当 0 时，u 0，sinu/u 1，A=NA1
中央明条纹中心 O 处的光强：
I0 N 2 A12
则屏幕上 P 点的光强( IA2) 为：
I (sin u )2
I0
u
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I
I
0
(
s
in u
u
)2
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umin=,2,3... umax=1.43,2.46,
动是所有这些次波 在该点的相干叠加。
dS
光源S
r p n
3
数学表述：
dE(
p)
C
F (
) cos[t
2r
0 (dS )]
dS r
比例常数 倾斜因子
E(
p)
S
dE(
p)
C
S
F
(
)
cos[t
2r
0
(dS
)]
dS r
菲涅耳衍射积分公式
对于点光源发出的球面波，初相位可取为零，倾斜因子
F ( ) 1 cos
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(2) 振幅矢量图法
M
A
o N
A1 A2 A3
A
N
Ai
R
Ap
i 1
L
Ai N
B
C
将AB波面等分成N份，相邻两波面
的光程差： asin / N
相位差： (2 / )
R NA1
N
A
2R
sin(
N
2
)
NA1
sin(
N
2
)
/(
N
2
)
引入： u N a sin
2
A NA1 sin u / u
asin k
x k f / a
k 1,2
r0 0 f 1.22f / D 爱里斑的半径
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作业：2-2；2-6；2-7
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试求：在接收屏上爱里斑的半径；若圆孔半径改用 R2=1.0mm，其它条件不变，爱里斑半径变为多大？ 这两个爱里斑半径上平均光强比为多少？
S
光源
L1
L2
R
f
障碍物 圆孔
爱里斑
E
接收屏
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解： 爱里斑的半径为： r0 0 f 1.22f / D
r01
1.22
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500
2
109 50102 0.1103
X
L2
接收屏在L2象方焦平面
6
7
(1) 菲涅耳半波带法
单缝夫琅和费衍射实验装置
L1
A
a
C
B
2
asin
P
S
P0半波带数：4
a
a
2
K
L2
A B
5
2
E
7
a
2
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菲涅耳半波带法
菲涅耳将AB波
A
阵面分割成许
多面积相等的 波带，并使相
A1
邻波带对应的
光程差是/2，
A2
即位相差是，
这样分割成的
A3
波带叫半波带。
E A
S
B
A
S
B
光的衍射!
E a'
a b
b'
2
2. 惠更斯-菲涅耳原理 惠更斯-菲涅耳原理可以解释衍射图像中的明暗条纹！
惠更斯原理：t时刻S面上每一面元可以认为是次波 的波源；这些次波的包络面就是t`时刻的波面。
惠更斯-菲涅耳原理：
波面上的每一面元都
可以看成新的振动中
心，它们发出次波，
在空间某一点的振
asin (2k 1) / 2 明纹中心
中央两侧第一暗条纹之间的区域，称做零级(或中央) 明条纹，它满足条件：
asin
中央明条纹的半角宽为：
sin / a
I
其它各级明条纹 的宽度为中央明 条纹宽度的一半。
1.5 o
a
2
aa
sin
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中央明条纹半角宽：
sin / a
A
屏幕上中央明条纹的 a
射的程度，称为爱里斑的半角宽
o
ro 2ro
f
理论计算可得第一级暗纹的衍射角0
0 sin0 0.61 / R 1.22 / D
式中D 2R 为圆孔的直径，若 f 为透镜 L2 的焦距，则
爱里斑的半径为：
r0 0 f 1.22f / D 23
例1 在圆孔的夫琅和费衍射中，设圆孔半径R1=0.1mm 透镜L2的焦距 f =50cm ，所用单色光波长 =500nm，
线宽度为：（焦距f）
x 2f 2f / a
B
f
很小
单缝
明暗条纹在接收屏上的位置：
p
x
o
E
x k f / a x (2k 1) f / 2a
暗纹中心
k 1,2
明纹中心
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讨论： 条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做 光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。 对于单色光，中央明条纹的宽度是其它明条纹宽度 的两倍；中央条纹以外的衍射条纹是等间距的；狭缝 越窄，条纹间距越宽，衍射现象越明显。
1.5103 m
r02
500109 50102 1.22 21.0103
1.5104 m
设入射光的能流密度为 I0 (即光强），则穿过半径为 R1和 R2 圆孔的光能流分别为：
P1 I0 R12
P2 I0 R22
P1 / P2 R12 / R22 102
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爱里斑上集中了衍射光能的83.8% ，所以爱里斑上
可见单缝衍射光强集中在中央零级明条纹处
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2.2 圆孔夫琅和费衍射
L1
L2
R
S
光源
f
中央是个明亮 的圆斑，外围
障碍物
E
接收屏
是一组同心的 明环和暗环。
中央明区集中了衍射光能的83.5%
因为大多数光学仪器所用透镜的边缘都是圆形， 圆孔的夫琅和费衍射对成象质量有直接影响。
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圆孔的夫琅禾费衍射
第一暗环对应的衍射角0标志衍