中心极限定理探讨及应用 数学与应用数学毕业论文

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直观上，如果一随机变量决定于大量(乃至无穷多个)随机．因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从(或近似地服从)正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观．
在许多情形下，一随机变量 可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和， (a)
这里，每个 直观上表示一种随机因素的效应，假如式(a)包含了决定 的充分多的随机因素的效应(即 充分大)，则 的分布就近似于X的分布．中心极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当 时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的．
这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0．8665
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在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0<p<1）， 为n次试验中事件A出现的次数，且记
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中心极限定理作为概率论的重要内容，其理论成果相对比较完善．这方面的文章较多，它们的结果也比较完美．但是他们注重于研究单一的方向，而几个定律之间的关系和应用方面的较少．出于这种现状本文通过对独立条件下的中心极限定理做系统的分析，主要研究和讨论几个中心极限定理之间的关系以及中心极限定理所揭示的理论意义和他们的应用．同时对文中出现的定理和结论做系统的分析和证明，所以对教学和科研方面具有一定的参考价值．
中心极限定理探讨及应用
摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理—中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性．经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据．同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值．
关键词：弱收敛;独立随机变量;特征函数;中心极限定理．
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概率统计学是一门研究随机现象统计规律性[1]的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等．而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算[2]．极限定理最早的成果有:伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向—大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究．概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景．在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的．中心极限定理就是从数学上证明了这一现象．最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，某事件A出现的次数渐近于正态分布的问题．1716年前后，棣莫佛对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进．自莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等．无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美．长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展．同时新的极限理论问题也在实际中不断产生．这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义．
又因为 ，所以有
，
于是特征函数 有展开式
从Байду номын сангаас有
，
而 正是 分布的特征函数，定理得证．
例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为 的泊松分布．若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车数是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率．
解:设 某汽车销售点每天出售的汽车辆数,则 ,为一年的总销量．由 ,知 ．利用林德贝格---勒维中心极限定理可得,
设 的方差 ，大于 ，令
（1）
我们说，随机变数列 服从中心极限定理，如果关于 均匀的有
（2）
(2)表示：随机变量数 的分布函数关于 均匀的趋于正态分布 的分布函数．
独立同分布的两个定理：
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设 相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差： 记
则对任意实数 ，有
（3）
证明为证（1）式，只须证 的分布函数列若收敛于标准正态分布．又由定理4．3．4[3]，只须证 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数．为此设 的特征函数为 ，则 的特征函数为
中心极限定理的名称最早是由仆里耶(1920年)提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫(1821年—1894年)提出来的下面我们介绍四个主要定理:1)林德伯格一勒维定理2)棣莫弗一拉普拉斯定理2)林德伯格定理3)李雅普诺夫定理．其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推论．
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中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项 上的条件不同．独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限定理最简单又最常用(特别在数理统计中)的一种形式，通常称做林德伯格----勒维定理．历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯(积分)定理是它的特殊情形．
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通过对独立随机序列的中心极限定理做系统的分析，阐明中心极限定理它们之间的关系以及举例说明中心极限定理在实际问题中的应用为教学和科研供参考．
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凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布是正态分布的定理，在概率论中统称中心极限定理．具体一点说，中心极限定理回答的是(独立或弱相依)随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态的．中心极限定理是揭示产生正态分布的源泉，是应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础．