二维形式的柯西不等式(一)

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？
答案：
(0,0)2
a b a b +≥
>>及几种变式.
2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥
二、讲授新课：
1. 教学柯西不等式：
① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++
222
()()(
)a c b d a d b c a c b
d =++-
≥+. （要点：展开→配方）
证法三：（向量法）设向量(,)m a b = ，(,)n c d =
，则||m = ，||n = ∵ m n ac bd ∙=+
，且||||cos ,m n m n m n =<> ，则||||||m n m n ≤ . ∴ …..
证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则
2
2
()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.
∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..
③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
||ac bd ≥+ 或
||||ac bd ≥+
ac bd +.
④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤
.
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）
→ 讨论：上面时候等号成立？（β
是零向量，或者,αβ
共线）
⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：
① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥
分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明
→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）
三、巩固练习：
1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2. 作业：教材P 37 4、5题.
教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.
教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？
答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥
2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？
3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =的最大值?
要点：利用变式||ac bd +≤.
二、讲授新课：
1. 教学最大（小）值：
① 出示例1：求函数y =
分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演
→
变
式
：
02y x =-
→
推
广
：
(,
,
,,,)y b
c
d e f
x a
b
c
d
e
f
R
+
=
-∈
② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）222
2
2
2
2
111()(32)(32)13
13
13
x y x y x y +=
++≥
+=
.
讨论：其它方法 （数形结合法）
2. 教学不等式的证明：
① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：
112x y +≥.
分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
要点：
2
2
2
2
111111()(
)]
22
x y x y x y +=++=
++≥…
讨论：其它证法（利用基本不等式）
② 练习：已知a 、b R +∈，求证：1
1
()()4a b a
b ++≥.
3. 练习：
① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y
+=，则x y +的最小值.
要点：()()a
b x y x y x y
+=+
+=…. → 其它证法
② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）
变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.
3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P 37 8、9题
2. 作业：教材P 37 1、6、7题
第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.
教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
教学过程：
一、复习准备： 1. 练习：
2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？
答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++
二、讲授新课：
1. 教学一般形式的柯西不等式：
① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤
，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？
② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈ ，则
22222
2
1212
1122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b
+++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？（当且仅当
121
2
n n
a a a
b b b =
==
时取等号，假设0i b ≠）
联想：设1122
n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++ ，222
12n C b b b =+++ ，则有2
0B A C -≥，可联想到一些什么？
③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）
要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（222
12()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则
2
2
2
1122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.
又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，
[]2
2
2
2
1122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++ 2
2
2
12()n b b b +++ ≤0
即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.） ④ 变式：2222
12121()n n a a a a a a n
++≥
++⋅⋅⋅+ . （讨论如何证明）
2. 教学柯西不等式的应用：
① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.
分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式： ② 练习：若,,x y z R +∈，且
1111x y z
++=，求23
y z x +
+的最小值. ③ 出示例2：若a >b >c ，求证：c
a c
b b
a -≥
-+
-411.
要点：2
1111()(
)[()()](
)(11)4a c a b b c a b
b c
a b
b c
-+
=-+-+
≥+=----
3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P 41 4题
2. 作业：教材P 41 5、6题
第四课时 3.3 排序不等式
教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.
教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）
2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：
1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.
② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有
1122
a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++·
··+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++·
··+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和.
（要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：
① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：
3212
2
2
1111232
3
n a a a a n n
+
++⋅⋅⋅+
≤+
+
+⋅⋅⋅+
.
分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：
设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥. 又2
2
2
11112
3
n
>>
>⋅⋅⋅>
，由排序不等式，得
3322112222
2
2
2
3
2
3
n n a a b b a b a b n
n
+
+
+⋅⋅⋅+
≥+
+
+⋅⋅⋅+
≥…
小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：
已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，
于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.
3. 小结：排序不等式的基本形式.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P 45 1题
2. 作业：教材P 45 3、4题。