二维泊松方程的差分格式有限差分法
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将 x x1和 x3 分别代入式(3),得
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
)0
3
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
)0
1 3!
h
3
(
3
x3
)0
（4） （5）
由（4）–（5）
迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；
迭代收敛的速度与工程精度要求有
( N 1) i, j
(N ) i, j
。
借助计算机进行计算时，
启动
其程序框图如下：
赋边界节点已知电位值
赋予场域内各节点电位初始值
累计迭代次数 N=0
N=N+1
按超松弛法进行一 次迭代，求i(,Nj 1)
1 2 3 4 40 Fh2
0
1 4
(1
2
3
4
Fh2 )
当场域中 0，得到拉普拉斯方程的五点差分格式
1 2 3 4 40 0
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格，差分格式为：
1
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)2
0
F
2. 边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域，差分格式为
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：
迭代收敛的速度与 有明显关系：
收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
最佳收敛因子的经验公式：
0
2
1 sin(
)
p
0 2
2
1 p2
1 q2
（正方形场域、正方形网格） （矩形场域、正方形网格）
1[ 4
(k 1)
i1, j
(k 1)
i, j 1
(k )
i1, j
(k) i, j1
Fh2 ]
式中：i, j 1, 2,，k 0, 1, 2, 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。
高斯—赛德尔迭代法
迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节
点电位满足
(k1)
(k)
i, j
i, j
为止。
⑵超松弛迭代法
(k 1)
(k)
4 [ Fh 4 ] i, j
i, j
(k 1)
(k 1)
(k)
(k)
2
(k)
i1, j
i, j 1
i1, j
i, j1
i, j
式中： ——加速收敛因子 (1 2)
Y
N
所有内点
相邻二次迭代值的最大误差
是否小于
打印 N，(i, j) 停机
( n )0
1
0 h
f2
, 0 1 f2h
⑷介质分界面衔接条件的差分格式
0
wk.baidu.com1 4
(2 1 K
1
2
2K 1 K
3
4 )
,
其中
K a b
边界条件的离散化处理
3. 差分方程组的求解方法
⑴高斯——赛德尔迭代法
(k1) i, j
( x )xx0
1 3
2h
由（4）+（5）
2
( x2 )xx0
1 20
h2
3
同理
( y ) y y0
1 3
2h
（8）
（6）
（7）
2
( y 2 ) y y0
1 20
h2
3
（9）
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式
1
0
h(
x
)0
1 2!
h
2
(
2
x 2
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1 3!
h
3
(
3
x3
)0
3
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x
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2
(
2
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1 3!
h
3
(
3
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)0
（4） （5）
由（4）–（5）
迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；
迭代收敛的速度与工程精度要求有
( N 1) i, j
(N ) i, j
。
借助计算机进行计算时，
启动
其程序框图如下：
赋边界节点已知电位值
赋予场域内各节点电位初始值
累计迭代次数 N=0
N=N+1
按超松弛法进行一 次迭代，求i(,Nj 1)
1 2 3 4 40 Fh2
0
1 4
(1
2
3
4
Fh2 )
当场域中 0，得到拉普拉斯方程的五点差分格式
1 2 3 4 40 0
0
1 4
(1
2
3
4)
若场域离散为矩形网格，差分格式为：
1
2
1 h12
(1
2)
1 h2 2
( 2
4
)
(
1 h12
1 h2 2
)2
0
F
2. 边界条件的离散化处理 ⑴第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。
⑵对称边界条件 合理减小计算场域，差分格式为
0
1 4
(21
2
4
h2F)
⑶第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：
迭代收敛的速度与 有明显关系：
收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
最佳收敛因子的经验公式：
0
2
1 sin(
)
p
0 2
2
1 p2
1 q2
（正方形场域、正方形网格） （矩形场域、正方形网格）
1[ 4
(k 1)
i1, j
(k 1)
i, j 1
(k )
i1, j
(k) i, j1
Fh2 ]
式中：i, j 1, 2,，k 0, 1, 2, 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。
高斯—赛德尔迭代法
迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节
点电位满足
(k1)
(k)
i, j
i, j
为止。
⑵超松弛迭代法
(k 1)
(k)
4 [ Fh 4 ] i, j
i, j
(k 1)
(k 1)
(k)
(k)
2
(k)
i1, j
i, j 1
i1, j
i, j1
i, j
式中： ——加速收敛因子 (1 2)
Y
N
所有内点
相邻二次迭代值的最大误差
是否小于
打印 N，(i, j) 停机
( n )0
1
0 h
f2
, 0 1 f2h
⑷介质分界面衔接条件的差分格式
0
wk.baidu.com1 4
(2 1 K
1
2
2K 1 K
3
4 )
,
其中
K a b
边界条件的离散化处理
3. 差分方程组的求解方法
⑴高斯——赛德尔迭代法
(k1) i, j
( x )xx0
1 3
2h
由（4）+（5）
2
( x2 )xx0
1 20
h2
3
同理
( y ) y y0
1 3
2h
（8）
（6）
（7）
2
( y 2 ) y y0
1 20
h2
3
（9）
将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式