GPS(7)：定位的数学模型
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i t i t
ni 2 nt 或 ni 1 例： ni=2， nt≥4； ni=4， nt≥2；
对于动态点定位，有 或
ni nt 3nt ni (nt 1)
ni 1 nt ni 4
例： ni=5， nt≥4； ni=7， nt≥2；
1.2 用相位进行点定位（3）
卫星钟差的主要部分可通过上述公式改正，观测方程可 表示为：
i i Rk (t ) c i (t ) k (t ) c k (t )
设卫星数为ni，历元数为nt，未知数为3+ nt，观测值总 数为ni nt ，则
ni nt 3 nt
1.1 用码伪距进行点定位（3）
若
3 nt ni 1 ni 2 则 nt 3 ，若 ni 4
ki (t ) ( X i (t ) X k ) 2 (Y i (t ) Yk ) 2 ( Z i (t ) Z k ) 2
Xi(t) 、Yi(t)、 Zi(t)是卫星在历元t时的地心坐标，
1.1 用码伪距进行点定位（2）
卫星钟差可以从广播星历中得到：
i (t ) a0 a1 (t toe ) a2 (t toe ) 2
时间精度因子(accuracy in time) ：
TDOP qtt
水平精度因子(accuracy in the horizontal position) ：
HDOP qxx q yy
垂直精度因子(accuracy in vertical direction) ：
VDOP qhh
1.2 用相位进行点定位
xT X k
Yk
Z k
2 Nk
3 Nk
4 Nk
k (t )
1.2 用相位进行点定位（5）
两个历元，有八个方程，九个未知数；三个历元，有十 二个方程，十个未知数；观测向量方程的元素为：
1 1 1 1 ( t ) ( t ) c (t1 ) a1X k (t1 ) aY k 1 k0 1 (t1 ) k 2 2 2 2 2 a ( t ) a (t1 ) k (t1 ) k 0 (t1 ) c (t1 ) X 1 Y k k 3 3 3 3 a3 k (t1 ) k 0 (t1 ) c (t1 ) X k (t1 ) aYk (t1 ) 4 4 4 4 4 ( t ) ( t ) c ( t ) k 1 k0 1 1 a X k (t1 ) aYk (t1 ) 1 (t ) 1 (t ) c 1 (t ) a1 (t ) a1 (t ) k 2 k0 2 2 2 Yk 2 k 2 X 2 2 2 2 aX ( t ) a (t2 ) k (t 2 ) k 0 (t 2 ) c (t 2 ) 2 Y k k l 3 A a 3 (t ) a 3 (t ) k (t2 ) k30 (t2 ) c 3 (t 2 ) Xk 2 Yk 2 4 4 4 4 4 a X ( t ) a (t2 ) k (t 2 ) k 0 (t 2 ) c (t 2 ) 2 Y k k 1 1 1 1 1 a ( t ) a (t3 ) ( t ) ( t ) c ( t ) X 3 Y k 3 k 0 3 3 k k 2 2 2 2 a X 2 ( t ) a (t3 ) 3 Y k (t3 ) k 0 (t3 ) c (t3 ) k k 3 3 3 3 3 a ( t ) a (t3 ) ( t ) ( t ) c ( t ) X 3 Y k0 3 3 k 3 k k a 4 (t ) a 4 (t ) 4 (t ) 4 (t ) c 4 (t ) Yk 3 k0 3 3 Xk 3 k 3
历元t时的相位的观测方程可表示为： 1 i i ik (t ) k (t ) N k f i ki (t ) 其中Φki(t)为以周为单位得相位观测值，ρ ki(t)为卫星与测 站之间得几何距离， Nki为整周模糊度， λ为波长，fi为
相应的卫星频率，Βιβλιοθήκη BaiduΔδki(t)为接收机钟差与卫星钟差之
1.1 用码伪距进行点定位（5）
由码伪距方程
Rki (t ) ki (t ) c k (t ) c i (t )
k k k
i i i i i 得： Rk (t ) k ( t ) a X a Y a 0 X k Y k Z Z k
c k (t ) c i (t )
a1 X k Z k (t1 ) 0 0 0 c 0 0 2 Y aZ ( t ) 0 0 0 c 0 0 1 k k 3 aZ k (t1 ) 0 0 0 c 0 0 Z k 4 1 aZ (t1 ) 0 0 0 c 0 0 k Nk 1 aZ k (t2 ) 0 0 0 0 c 0 N k2 2 aZ (t2 ) 0 0 0 0 c 0 x 3 k Nk 3 aZ k (t2 ) 0 0 0 0 c 0 N4 k 4 aZ ( t ) 0 0 0 0 c 0 2 k k (t1 ) a1 ( t ) 0 0 0 0 0 c Zk 3 (t ) 2 aZ k (t3 ) 0 0 0 0 0 c k 2 3 k (t3 ) aZ ( t ) 0 0 0 0 0 c 3 k 4 aZ (t3 ) 0 0 0 0 0 c k
• 几何精度因子(geometric accuracy in position and time)：
GDOP q XX qYY qZZ qtt
• 位置精度因子(accuracy in position) ：
PDOP q XX qYY qZZ
1.1 用码伪距进行点定位（8）
X k Y k x Z k ( t ) k
1 aY k 2 aY k 3 aY k 4 aY k
a1 Zk
2 aZ k 3 aZ k 4 aZ k
c c c c
1 1 1 Rk (t ) k ( t ) c (t ) 0 2 2 2 Rk (t ) k 0 (t ) c (t ) l 3 3 3 Rk (t ) k ( t ) c (t ) 0 4 4 4 Rk (t ) k 0 (t ) c (t )
X k X k 0 X k , Yk Yk 0 Yk , Z k Z k 0 Z k
1.1 用码伪距进行点定位（4）
将观测方程按泰勒级数展开：
f ( X k , Yk , Z k ) f ( X k 0 X k , Yk 0 Yk , Z k 0 Z k ) f ( X k 0 , Yk 0 , Z k 0 ) f f f X k Yk Z k X k 0 Yk 0 Z k 0
定位的数学模型
同济大学测量系 陈义 沈云中
提
要
1. 点定位的数学模型
2. 相对定位的数学模型
一、点定位的数学模型
1.1 用码伪距进行点定位
历元t时的码伪距的观测方程可表示为：
i i Rk (t ) k (t ) c ki (t )
其中Rki (t)为卫星i与测站k的码伪距观测值，ρki (t)为卫星 i与测站k的几何距离，c为光速，δki (t)为接收机钟差和 卫星钟差之差，几何距离可表示为：
差，上述观测方程也可表示为：
(t ) f (t )
i k i i
1
ki (t ) N ki f i k (t )
1.2 用相位进行点定位（2）
设卫星数为ni，历元数为nt，未知数为3+ ni+(nt-1)，观测 值总数为ni nt ，则 n n 3 n (n 1)
1.2 用相位进行点定位（4）
观测方程可表示为：
l Ax
其中：
1 1 1k (t ) k ( t ) c (t ) 0 2 2 2 ( t ) ( t ) c ( t ) k0 l k 3 3 3 ( t ) ( t ) c (t ) k k0 4 4 4 k (t ) k 0 (t ) c (t )
则，观测方程可表示为：
l Ax
1.1 用码伪距进行点定位（7）
精度因子(Dilution of precision)
q XX q Qx ( AT A) 1 XY q XZ q Xt q XY qYY qYZ qYt q XZ qYZ qZZ qZt q Xt qYt qZt qtt
则 nt 1
对于动态点定位，有4nt个未知数，则
nt ni 4nt
观测方程线性化
ni 4
ki (t ) ( X i (t ) X k ) 2 (Y i (t ) Yk ) 2 ( Z i (t ) Z k ) 2 f ( X k , Yk , Z k )
ki 0 (t ) ( X i (t ) X k 0 ) 2 (Y i (t ) Yk 0 ) 2 (Z i (t ) Z k 0 ) 2 f ( X k 0 , Yk 0 , Z k 0 )
a1 X k (t ) 2 a X k (t ) A 3 a X (t ) 4k a X k (t )
1 Nk
1 1 aY ( t ) a 0 0 0 c Z k (t ) k 2 2 aYk (t ) aZ k (t ) 0 0 0 c 3 3 aY ( t ) a 0 0 c Z k (t ) 0 k 4 4 aYk (t ) aZ k (t ) 0 0 0 c
上述方程可改写为：
i i i i i i Rk (t ) k ( t ) c ( t ) a X a Y a 0 Xk k Yk k Z k Z k
c k (t )
1.1 用码伪距进行点定位（6）
若观测到4颗卫星，共有4个观测方程，令：
a1 Xk 2 aX k A 3 a X 4k a X k
同码伪距，线性化后的相位观测方程为：
i ik (t ) ki 0 (t ) c i (t ) a iX X k aY Yk
k k
Z k N ki c k (t )
与伪距线性化后的观测方程相比，未知数增加了 模糊度，以观测四颗星为例，此时有三个位置向量， 一个钟差，四个模糊度共八个未知数。
其中
X i (t ) X k 0 Y i (t ) Yk 0 f f i i a , a Xk Yk i i X k 0 k ( t ) Y ( t ) 0 k0 k0 Z i (t ) Z k 0 f i a Zk i Z k 0 k ( t ) 0
ni 2 nt 或 ni 1 例： ni=2， nt≥4； ni=4， nt≥2；
对于动态点定位，有 或
ni nt 3nt ni (nt 1)
ni 1 nt ni 4
例： ni=5， nt≥4； ni=7， nt≥2；
1.2 用相位进行点定位（3）
卫星钟差的主要部分可通过上述公式改正，观测方程可 表示为：
i i Rk (t ) c i (t ) k (t ) c k (t )
设卫星数为ni，历元数为nt，未知数为3+ nt，观测值总 数为ni nt ，则
ni nt 3 nt
1.1 用码伪距进行点定位（3）
若
3 nt ni 1 ni 2 则 nt 3 ，若 ni 4
ki (t ) ( X i (t ) X k ) 2 (Y i (t ) Yk ) 2 ( Z i (t ) Z k ) 2
Xi(t) 、Yi(t)、 Zi(t)是卫星在历元t时的地心坐标，
1.1 用码伪距进行点定位（2）
卫星钟差可以从广播星历中得到：
i (t ) a0 a1 (t toe ) a2 (t toe ) 2
时间精度因子(accuracy in time) ：
TDOP qtt
水平精度因子(accuracy in the horizontal position) ：
HDOP qxx q yy
垂直精度因子(accuracy in vertical direction) ：
VDOP qhh
1.2 用相位进行点定位
xT X k
Yk
Z k
2 Nk
3 Nk
4 Nk
k (t )
1.2 用相位进行点定位（5）
两个历元，有八个方程，九个未知数；三个历元，有十 二个方程，十个未知数；观测向量方程的元素为：
1 1 1 1 ( t ) ( t ) c (t1 ) a1X k (t1 ) aY k 1 k0 1 (t1 ) k 2 2 2 2 2 a ( t ) a (t1 ) k (t1 ) k 0 (t1 ) c (t1 ) X 1 Y k k 3 3 3 3 a3 k (t1 ) k 0 (t1 ) c (t1 ) X k (t1 ) aYk (t1 ) 4 4 4 4 4 ( t ) ( t ) c ( t ) k 1 k0 1 1 a X k (t1 ) aYk (t1 ) 1 (t ) 1 (t ) c 1 (t ) a1 (t ) a1 (t ) k 2 k0 2 2 2 Yk 2 k 2 X 2 2 2 2 aX ( t ) a (t2 ) k (t 2 ) k 0 (t 2 ) c (t 2 ) 2 Y k k l 3 A a 3 (t ) a 3 (t ) k (t2 ) k30 (t2 ) c 3 (t 2 ) Xk 2 Yk 2 4 4 4 4 4 a X ( t ) a (t2 ) k (t 2 ) k 0 (t 2 ) c (t 2 ) 2 Y k k 1 1 1 1 1 a ( t ) a (t3 ) ( t ) ( t ) c ( t ) X 3 Y k 3 k 0 3 3 k k 2 2 2 2 a X 2 ( t ) a (t3 ) 3 Y k (t3 ) k 0 (t3 ) c (t3 ) k k 3 3 3 3 3 a ( t ) a (t3 ) ( t ) ( t ) c ( t ) X 3 Y k0 3 3 k 3 k k a 4 (t ) a 4 (t ) 4 (t ) 4 (t ) c 4 (t ) Yk 3 k0 3 3 Xk 3 k 3
历元t时的相位的观测方程可表示为： 1 i i ik (t ) k (t ) N k f i ki (t ) 其中Φki(t)为以周为单位得相位观测值，ρ ki(t)为卫星与测 站之间得几何距离， Nki为整周模糊度， λ为波长，fi为
相应的卫星频率，Βιβλιοθήκη BaiduΔδki(t)为接收机钟差与卫星钟差之
1.1 用码伪距进行点定位（5）
由码伪距方程
Rki (t ) ki (t ) c k (t ) c i (t )
k k k
i i i i i 得： Rk (t ) k ( t ) a X a Y a 0 X k Y k Z Z k
c k (t ) c i (t )
a1 X k Z k (t1 ) 0 0 0 c 0 0 2 Y aZ ( t ) 0 0 0 c 0 0 1 k k 3 aZ k (t1 ) 0 0 0 c 0 0 Z k 4 1 aZ (t1 ) 0 0 0 c 0 0 k Nk 1 aZ k (t2 ) 0 0 0 0 c 0 N k2 2 aZ (t2 ) 0 0 0 0 c 0 x 3 k Nk 3 aZ k (t2 ) 0 0 0 0 c 0 N4 k 4 aZ ( t ) 0 0 0 0 c 0 2 k k (t1 ) a1 ( t ) 0 0 0 0 0 c Zk 3 (t ) 2 aZ k (t3 ) 0 0 0 0 0 c k 2 3 k (t3 ) aZ ( t ) 0 0 0 0 0 c 3 k 4 aZ (t3 ) 0 0 0 0 0 c k
• 几何精度因子(geometric accuracy in position and time)：
GDOP q XX qYY qZZ qtt
• 位置精度因子(accuracy in position) ：
PDOP q XX qYY qZZ
1.1 用码伪距进行点定位（8）
X k Y k x Z k ( t ) k
1 aY k 2 aY k 3 aY k 4 aY k
a1 Zk
2 aZ k 3 aZ k 4 aZ k
c c c c
1 1 1 Rk (t ) k ( t ) c (t ) 0 2 2 2 Rk (t ) k 0 (t ) c (t ) l 3 3 3 Rk (t ) k ( t ) c (t ) 0 4 4 4 Rk (t ) k 0 (t ) c (t )
X k X k 0 X k , Yk Yk 0 Yk , Z k Z k 0 Z k
1.1 用码伪距进行点定位（4）
将观测方程按泰勒级数展开：
f ( X k , Yk , Z k ) f ( X k 0 X k , Yk 0 Yk , Z k 0 Z k ) f ( X k 0 , Yk 0 , Z k 0 ) f f f X k Yk Z k X k 0 Yk 0 Z k 0
定位的数学模型
同济大学测量系 陈义 沈云中
提
要
1. 点定位的数学模型
2. 相对定位的数学模型
一、点定位的数学模型
1.1 用码伪距进行点定位
历元t时的码伪距的观测方程可表示为：
i i Rk (t ) k (t ) c ki (t )
其中Rki (t)为卫星i与测站k的码伪距观测值，ρki (t)为卫星 i与测站k的几何距离，c为光速，δki (t)为接收机钟差和 卫星钟差之差，几何距离可表示为：
差，上述观测方程也可表示为：
(t ) f (t )
i k i i
1
ki (t ) N ki f i k (t )
1.2 用相位进行点定位（2）
设卫星数为ni，历元数为nt，未知数为3+ ni+(nt-1)，观测 值总数为ni nt ，则 n n 3 n (n 1)
1.2 用相位进行点定位（4）
观测方程可表示为：
l Ax
其中：
1 1 1k (t ) k ( t ) c (t ) 0 2 2 2 ( t ) ( t ) c ( t ) k0 l k 3 3 3 ( t ) ( t ) c (t ) k k0 4 4 4 k (t ) k 0 (t ) c (t )
则，观测方程可表示为：
l Ax
1.1 用码伪距进行点定位（7）
精度因子(Dilution of precision)
q XX q Qx ( AT A) 1 XY q XZ q Xt q XY qYY qYZ qYt q XZ qYZ qZZ qZt q Xt qYt qZt qtt
则 nt 1
对于动态点定位，有4nt个未知数，则
nt ni 4nt
观测方程线性化
ni 4
ki (t ) ( X i (t ) X k ) 2 (Y i (t ) Yk ) 2 ( Z i (t ) Z k ) 2 f ( X k , Yk , Z k )
ki 0 (t ) ( X i (t ) X k 0 ) 2 (Y i (t ) Yk 0 ) 2 (Z i (t ) Z k 0 ) 2 f ( X k 0 , Yk 0 , Z k 0 )
a1 X k (t ) 2 a X k (t ) A 3 a X (t ) 4k a X k (t )
1 Nk
1 1 aY ( t ) a 0 0 0 c Z k (t ) k 2 2 aYk (t ) aZ k (t ) 0 0 0 c 3 3 aY ( t ) a 0 0 c Z k (t ) 0 k 4 4 aYk (t ) aZ k (t ) 0 0 0 c
上述方程可改写为：
i i i i i i Rk (t ) k ( t ) c ( t ) a X a Y a 0 Xk k Yk k Z k Z k
c k (t )
1.1 用码伪距进行点定位（6）
若观测到4颗卫星，共有4个观测方程，令：
a1 Xk 2 aX k A 3 a X 4k a X k
同码伪距，线性化后的相位观测方程为：
i ik (t ) ki 0 (t ) c i (t ) a iX X k aY Yk
k k
Z k N ki c k (t )
与伪距线性化后的观测方程相比，未知数增加了 模糊度，以观测四颗星为例，此时有三个位置向量， 一个钟差，四个模糊度共八个未知数。
其中
X i (t ) X k 0 Y i (t ) Yk 0 f f i i a , a Xk Yk i i X k 0 k ( t ) Y ( t ) 0 k0 k0 Z i (t ) Z k 0 f i a Zk i Z k 0 k ( t ) 0