第九章 数项级数

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第九章数项级数

§ 1 数项级数的收敛性

一、本次课主要内容

级数的收敛与发散概念；收敛性必要条件；收敛级数的性质

二、教学目的与要求

明确认识级数是研究函数的一个重要工具；无穷级数的收敛问题是如何化归为

部分和数列收敛问题的；理解解数项级数，级数的基本性质。

三、教学重点难点

1. 数项级数的概念与收敛的转化；

2. 数项级数的性质的理解与运用。

四、教学方法和手段

课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置

P8 1（7），（8） P8 2（1），（3）

2 一．概念：

1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分

和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为.

2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 . 以

在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概

念 .

例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）

解时, . 级数收敛 ;

时, 级数发散 ;

时, , , 级数发散 ;

时, , , 级数发散 .

综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为

( 注意从0开

始 ).

例2 讨论级数的敛散性.

解（利用拆项求和的方法）

例3讨论级数的敛散性.

解设,

,

=

3

, .

, .

例4讨论级数的敛散性.

解, . 级数发散.

3.级数与数列的关系:

}, 收敛 {}收敛;

对应部分和数列{

}, 对应级数, 对该级数, 有=.

对每个数列{

于是,数列{

}收敛级数收敛.

4. 级数与无穷积分的关系 :

, 其中. 无穷积分可化为级数 ;

对每个级数, 定义函数 , 易见有

=.即级数可化为无穷积分.

4 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以

用其中的一个研究另一个 .

级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的

二.

Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 .

和N,

Th ( Cauchy准则 ) 收敛

由该定理可见, 去掉或添加上或改变 ( 包括交换次序 ) 级数的有限项 , 不

会影响级数的敛散性 . 但在收敛时 , 级数的和将改变 . 去掉前项的级数表

为或.

.

( 级数收敛的必要条件 ) 收敛

级数收敛 .

例5 证明

证显然满足收敛的必要条件 . 令, 则当时有

应用Cauchy准则时，应设法把式 |

|不失真地放大成只含而不含

的式子，令其小于

例6 判断级数的敛散性.

5

( 验证. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 )

例7( 但级数发散的例 ) 证明调和级数发散 .

证法一( 用Cauchy准则的否定进行验证 )

证明{}发散. 利用已证明的不等式

证法二

. 即得

，.

性质1 收敛，—Const 收敛且有=

( 收敛级数满足分配律 )

性质2 和收敛，收敛, 且有

.

=

问题 : 、、三者之间敛散性的关系.

性质3 若级数收敛 , 则任意加括号后所得级数也收敛 ,且和不变 .

( 收敛数列满足结合律 )

例8 考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该

例的结果说明什么问题 ?

教学后记：

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7

第九章数项级数

§ 2 上极限与下极限

一、本次课主要内容

数列上极限与下极限概念以及相应运算

二、教学目的与要求

使学生理解上下极限概念。了解上极限和下极限的运算。

三、教学重点难点

1.上下极限的概念。

2.上下极限的运算。

四、教学方法和手段

课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置

P16 2（2），3（2），4

8 一上、下极限的定义:

下面用两种方法定义上极限与下极限。

1. 用极限点定义上、下极限:

定义9.2.1 称数列的收敛子列的极限为数列的极限点，即设是数列,

是一个实数. 若对中的无穷多个项属于邻域, 则称实数是数列的一个极

限点。

定义1分别称数列的极限点集的最大值H和最小值h为数列的上极

限和下极限,记为有。

2 用所谓“半边极限”观念定义上、下极限:

定义2 称实数H (或h) 为数列的上(或下)极限是指: 在邻域内有数

列的无穷多项, 且在该邻域的右侧(或左侧)仅有数列的有限项

二：上下极限的运算性质（见书本）

教学后记：

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第九章数项级数

§ 3 正项级数（1）

一、本次课主要内容

正项级数的比较判别方法，Cauchy判别法。

二、教学目的与要求

掌握正项级数的比较与柯西判别法。

三、教学重点难点

1. 比较判别法。

2. 柯西判别法。

四、教学方法和手段

课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。

五、作业与习题布置

P27 1（4）（6）