用定义证明数列极限存在的步骤

注: 有界数列不一定收敛. 无界数列必发散.
如数列： 1,1,1,1, , (1) n1 ,
9
子数列的概念:
x n 中的先后次序 , 这样得到的数列称为原 x n 的子数列. 数列
子数列的表示：
在数列x n 中, 第一次抽取 x n1 , 第二次在x 后抽取x , n1 n2 第三次在x n2 后抽取x n3 ,,
n 例如：数列 x n n 1,2,3,是有界的， n1
取M 1, 对n N , 恒有 x n 1成立。
数列x n ( 1) n 2 n n 1,2,3,是无界的，
n n n M 0, 要使 x n ( 1) 2 2 M , 只要n log 2 M，
德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行 了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而 且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓 慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所 谓“艾宾浩斯遗忘曲线”
记忆水平 及时复习的遗忘曲线 不能及时复习的遗忘曲线
时间
1
第三节
数列的极限
数列极限定义

极限的唯一性（定理1）
收敛数列的有界性（定理2）
收敛数列的保号性 收敛数列与其子数列的关系（定理3）
2
一、定义与定理
1.数列的有界性和单调性： (1)有界性: 若对数列 x n :M 0，使得： xn M n 1,2,3，
否则称数列x n 是无界的。 x n 是有界的； 则称数列
无界。
M 0, 总能找到 n0 , 使得 x n0 M . { x n }
xn a 2 ;
1 , M为任意正整数）； x n a 等等。 （ M ② N的相应存在性。N依赖于 ，通常记作 N ( ), 但N并不是 唯一的，N ( ) 只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数 关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。 n N 时有 x n a ”是指下标大于N的无穷多项 ③ 定义中“当 x n都落在数 a 的 邻域内，即 n N , x n a , a . 也就是说
n
根据定义：对 1, 存在正整数 N，
当n N , 就有 x n a 1成立。当n N时,
xn
xn a a
xn a a 1 a .
取M max x1 , x 2 ,, x N ,1 a ,
都有 x n M
n. x n 有界.
落在这个邻域以外。
2 a a
x 2 x 1 x N 1 x N a 3
…. …. .. …....… .…
x N 2
x3
.
x
7
3. 有关数列收敛的性质 定理1（极限的唯一性）
设x n 是收敛数列 , 且 lim x n a , 则极限值a唯一.
在邻域 a , a 以外的只有数列的有限项，因此改变或增减 数列的有限项不影响数列的收敛性。
6
数列极限的几何解释：
0, N ,当n N , x n a
a xn a
x N 1 , x N 2 , x N 3 ,, x n , 即N以后的所有项： （至多只有 N项) a , a 内, 而只有有限项 都落在邻域
x n 中任意抽取无限多项 在数列 , 并保持这些项在原数列
正确理解数列极限 " N "定义： ① 0 的任意给定性。 是任意给定的正数，它是任意的， 但一经给出，又可视为固定的，以便依 来求出 N , 由于 0 的任意性，所以定义中的不等式 x n a 可以改为
x n a k ( k 0为常数） ;
xn a
2
取N max N 1 , N 2 , 则当n N , 1式及2式同时成立：
由1：x n ab a b 矛盾！命题得证。 , 由2：x n , 2 2
8
定理2
（收敛数列的有界性）
x n 收敛, 那末数列x n 一定有界. 如果数列
证
设 lim x n a ,
单调增加的或单调减少 的数列统称为 单调数列 。
4
Βιβλιοθήκη Baidu
2.数列极限的定义
定义： , 总存在正整数N , 对于任意给定的正数 不论它多么小
使得对于n N时的一切x n ,不等式：x n a 都成立, 则称常数a是数列x n 的极限, 或者称数列 x n 收敛于a,
记作
lim x n a ,
n
或 x n a n .
如果数列没有极限 , 就说数列是 发散 的。
引例 割圆术 1 1 1 1, , ,... ,... 2 3 n
" N "定义： 0, N 0,当n N , 恒有 x n a , 则 lim x n a .
n
5
x n a , lim x n b, 且a b. 证 用反证法 假设 lim n n
由 lim x n a , 取 n
ba , 存在N 1 ,当n N 1时, 就有 2 ba 1 xn a 2
ba xn b 2
n
由 lim x n b, 对上述 , 存在N 2 ,当n N 2时, 就有 n
故 取n0 log 2 M 1 , 就有 x n0 M , x n 无界。
3

(2)单调性:
x n 是单调增加 则称数列 的；
若数列x n 满足： x1 x 2 x 3 x n x n1 ,
x n 是单调减少 则称数列 的。
若数列x n 满足： x1 x 2 x 3 x n x n1 ,