第三章 积分变换法举例-5

( ) U (,0) A () a ( ) U ( , t ) ( ) cos at sin at a B
U (, t ) A cosat B sin at
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( ) U ( , t ) ( ) cos at sin at a
2t
2t
2
1 p a 2 2
a 2 2 t
F ( , )e a
2 ( t )
d
傅氏反演：
1 2a t
e
x2

x2 4 a 2t
e
a 2 2 t
（查表）
x2 4 a 2 ( t )
u ( x, t ) ( x ) 1 2a t
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例题3：有源热传导方程
2 u u a 2 2 f ( x, t ), x , t 0 t x x u ( x,0) ( x),
（1）
解：对（1）两边关于 x 作傅里叶变换
dU ( , t ) a 2 2U ( , t ) F ( , t ), dt U ( ,0) ( ), t0
f ( x ) ei F ()
eiat e iat ( ) eiat e iat ( ) 2 a 2i

x
0
F ( ) f ( x)dx i
1 1 ( ) iat ( ) iat iat iat ( )e ( )e e e 2 2a i i
2
这是象函数的代数方程（初始条件已含其中） 将初始条件的取值代入：
1 p Y ( p) 1 2 pY ( p) 3Y ( p) p 1
2
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1 p Y ( p) 1 2 pY ( p) 3Y ( p) p 1
2
解出：
p2 p2 Y ( p) 2 ( p 1)( p 2 p 3) ( p 1)( p 1)( p 3) 1 1 3 1 1 1 4 p 1 8 p 1 8 p 3

关于x的傅氏变换
U ( , t ) u ( x, t ) e i x dx

关于t的拉氏变换
U ( x, p) u ( x, t ) e pt dt
0

关于x的傅氏反演
u ( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( , t ) u2 ( x , t ) d
i a t i x e ( ) e d

位移性质:
f (x ) e F ()
i
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2 2u u 2 x , t 0 t 2 a x 2 , u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t 解：利用傅立叶变换的性质，两边对x取变换
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第三章：行波法与积分变换法 第三章：积分变换法
§3.5 积分变换法举例
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
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现在反演：
U ( , p)
2
( ) F ( , p) p a 2 2 p a 2 2
F ( , t ) e a
t 0
2
e a t
2 2
U ( , t ) ( )e a 拉氏反演： ( )e
i x
U (, t ) ( ) cos(a t )
dx 1 u ( x, t ) 2



U ( , t ) ei x d
1 i x u ( x, t ) ( ) cos( a t ) e d 2 1 eia t e ia t i x ( ) e d 2 2 1 ia t i x ia t i x e d ( )e e d ( )e 4 1 1 1 i ( x at ) i ( x at ) ( )e d ( )e d 2 2 2 1 ( x at) ( x at) （零速度的达朗贝尔公式） 2
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什么是积分变换？ 把函数 f (t ) 经过积分的手段变为另一 类函数:
F ( ) f (t ) K (, t ) dt
a
b
F ( )称为象函数，f (t ) 称为原函数， K (, t ) 称为积分变换的核。
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什么是积分变换法？
在偏微分方程的两端， 对某个变量取变换，消去未 知函数对该自变量求偏导的 运算，得到象函数的较为简 单的微分方程。如果原来的 偏微分方程只包含两个自变 量，通过一次变换就能得到 象函数的常微分方程。
Fourier 积分变换 Laplace 积分变换
拉普拉斯积分变换： 适用于针对时间变 量的边值问题。

关于t的拉氏反演
u ( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) u1 ( x, )u2 ( x, t ) d
0
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例题1：无界波动方程1
2 2u 2 u a 2 t x 2
( x )
通过选取积分变换
用来解偏微分方程
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傅里叶变换与拉普拉斯变换的 最重要的用途是求解微分方程
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惯用表示
傅里叶变换
F ( ) f ( x) e
i x
拉普拉斯变换
dx
F ( p) f (t ) e pt dt
0
(求解微分方程) 原空间：常微分方程 象空间： 代数方程 偏微分方程 常微分方程
求解象空间的代数方程或常微分方程，得到象函 数，再将它 “反演” 成原函数(即为所求的解）。 积分变换法在求解常微分方程和偏微分方程的定 解问题中有非常广泛的应用。
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• • •
Fourier 积分变换法 Laplace 积分变换法 混合变换法
d 2U ( x, p) pU ( x, p) a dx2 U (0, p) F ( p)
2
(4)
(5)
(4)的通解为： 自然边界条件：
p p U ( x, p) C1 exp 2 x C 2 exp x 2 a a
u(, t ) U (, p) C1 0
u t 0
u ( x), 0 ( x ) t t 0
（1）
解：对（1）两边关于 x 进行傅里叶变换（将 t 视为参数）
u ( x, t ) U ( , t ) u( x, t ) U ( , t )
2
( x) ()
d 2U ( , t ) 2 2 a U ( , t ) 2 d t U t 0 ( ), dU t 0 0 dt
U (, t ) ( ) cos(a t )
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反演(解1):
U ( , t ) u ( x, t ) e
2
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例题4：常微分方程
求解常微分方程的定解问题：
y 2 y 3 y e t y
t 0
0, y t 0 1
解：对方程两边取拉普拉斯变换，并利用初始条件：
p Y ( p) py(0) y(0) 2 pY( p) y(0) 3Y ( p) p 1 1
在工程力学、电磁场理论、光学、 热学、无线电学、通讯理论、微电子学、 核科学与技术、地震资料数据处理…等 方面，均有广泛的应用。
数学中的变换手段，旨在化繁为简.
傅立叶积分变换： 适用于针对空间 变量的初值问题。
用来解常微分方程
将未知函数的常微分方 程，化成 象函数的代数方程， 达到消去对自变量求导运算 的目的。

1 3 1 反演： y (t ) 4 exp( t ) 8 exp( t ) 8 exp( 3t )
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例题5：半无限热传导问题
求解半无限长细杆热传导的定解问题：
2 u u a 2 2 ( x 0, t 0) t x u t 0 0 ( x 0)

1 2a t
e

4 a 2t

t
0
1 f ( x, ) e 2a (t )
d

( ) e
( x ) 2 4 a 2t
1 d 2a

t
0
( x ) 2 1 4 a ( t ) f ( , )e d d t


x at 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( ) d ( ) d 0 0 2 2a
1 1 x at ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
例题2： 无界波动 方程2
f ( x) F ( )
f ' ( x) iF ( )
f " ( x) 2 F ()
Biblioteka Baidu
d 2U ( , t ) 2 2 a U ( , t ), t0 dt 2 U ( ,0) ( ), dU ( ,0) ( ), dt
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反演(解2):
U (, t ) ( ) cos(a t )
1 i x u ( x, t ) ( ) cos( a t ) e d 2 1 e ia t e ia t i x ( ) e d 2 2 1 1 i a t 1 i x e ( ) e d 2 2 2 1 ( x at) ( x at) 2
(1) (2) (3)
u
x 0
f (t ) (t 0)
解：对(1)和(3)两边取 t 的拉氏变换，并利用(2) ：
d 2U ( x, p) pU ( x, p) a dx2 U (0, p) F ( p)
2
(4) (5)
这是象函数的常微分方程的边值问题。
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（2）
（2）是关于 t 的常微分方程，两边关于 t 作拉普拉斯变换
pU(, p) () a 2 2U (, p) F (, p)
( ) F ( , p) ( ) F ( , p) U ( , p) 2 2 2 2 pa pa p a 2 2