常微分方程与运动稳定性_第二篇概论

未扰运动之间的差值决定. 平衡态稳定性:
运动稳定性:
l
如何将运动稳定性 化为平衡态稳定性 A0 进行研究???
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第二节 扰动方程
令 xs ys (t) s (t)
(2.5)
—受扰运动ys(t) 与未扰运动s(t)在同一时刻的偏离
因此：dxs dt
dys dt
d s
dt
Ys (t,
y1,
, yn ) Ys (t,1(t),
(2.11)
令 x 2 , y 2
对应的扰 动方程为:
dx y, dy g sin(x ) g sin x
dt dt l
l
(2.12)
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例2 微分方程
dy1 / dt y2 y1( y12 y22 1) dy2 / dt y1 y2 ( y12 y22 1)
y′
(2.2)
并且满足解的存在唯一条件。 设在t=t0时(2.1)有经过初值ys0之解
ys s (t) (2.3)
相轨迹
M
相点
它正是所要研究的运动，称为未扰运动。
y
由于外界干扰，系统在t=t0时可能受到某一扰动，
使得系统的初值变为ys0+Δys0,而由此出发的运动为受扰
运动
ys ys (t)
(2.4)
5
定义1. 任给 > 0, 存在 >0，使当| Δys0 |< 时,对一切t > t0,都有 |ys(t)-Ψs(t)|< ，则称未扰运动为稳定。反之， 如存在t*>t0 ，当t*=t0时，有 |ys(t*)-s(t*)| （无论 多小） ，则称未扰运动为不稳定。
定义2. 如果未扰运动为稳定的，并进而有
(x2
sin t)(x12
x22
2
x1
cos
t
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2
x2
sin 11
t
)
结论：如果原来的运动微分方程是常系 数微分方程，那么
定常运动（与时间无关）所对应的扰动 方程仍是常系数微分方程；
周期运动所对应的扰动方程为具有周期 系数的微分方程，且系数与未扰运动有同 样的周期。
工程上要求稳定的运动； 物理上观察到的持久的运动，也都是稳 定的运动。
例如 V (x1, x2 ) x12 常正
V (t, x1, x2 ) x12 2x1x2 cos t x22
(2.13)
解：有一周期解
y1 1(t) cost, y2 2(t) sin t
令
x1 y1 1 y1 cost,
得相应 的扰动 方程：
x2 y2 2 y2 sin t
dx1 dt
x2
( x1
cos t )( x12
x22
2x1 cost 2x2 sin t)
dx2 dt
x1
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第二章 运动稳定性的基本定理
第一节 关于李亚普诺夫函数V 的若干定义
第二节 函数V(x)定号性与变号 性的判别准则
第三节 稳定性的基本定理
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第一节 关于李亚普若夫函数V的 若干定义
以下研究函数 V (t, x1, x2,, xn ) V (t, x)
其定义域为 D:t T, x H
并满足条件 V (t,0) 0
, n(t))
Ys (t, x1 1(t), , xn n (t)) Ys (t,1(t), , n (t))
dxs dt
X s (t, x1, x2,, xn ),
X s (t, x1, x2, , xn )
(s 1, 2, ，n) (2.6)
dx X (t, x), dt
x (x1, x2,..., xn )T
第二篇 运动稳定性
1
内容
第一章 基本定义 第二章 运动稳定性基本定理 第三章 自治系统的稳定性 第四章 周期运动稳定性
2
参考教材
陆启韶，常微分方程的定性方法与分叉，
北航出版社，1989
王照林，运动稳定性及其应用，
高教出版社，1992
秦元勋等，运动稳定性理论与应用，
科学出版社，1981
张锦炎，常微分方程集合理论与分叉问题，
(2.7)
——对应于(2.1) 的未扰运动(t)的扰动方程。
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显然: X(t,0)≡0
dx X (t, x), dt
x (x1, x2,..., xn )T
(2.7)
x=0为 (2.7)的解，对应扰动方程的平衡位置. (2.1) 的未扰运动 y=(t) 的运动稳定性
(2.7)的平衡位置x=0的稳定性 定义3. 如任给 > 0, 存在>0，使当| x0 |< 使对一切
lim
t
ys (t) s (t)
则未扰运动为渐进稳定的。
0,
|ys(t)-s(t)|<
稳定
稳定性的 几何意义 t0
s(t)
不稳定
|ys(t*)-s(t*)|
| Δys0 |<
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李雅普诺夫(Lyapunov)意义下的稳定性概念 (1892年博士论文:运动稳定性的一般问题)
——运动为稳定或不稳定,由受扰运动与
北大出版社，1987
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第一章 基本定义
第一节 问题的提出 第二节 扰动方程
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第一节 问题的提出
设力学系统的运动微分方程为
dys dt
Ys (t, y1, y2 ,
, yn )
(s1,2, ,n)
(2.1)
t —时间，ys —相空间坐标，Ys — t, ys的实函数，
定义域： t T，ys H
例1 单摆振动:
d 2
dt 2
g l
sin
(2.8)
解：方程化为 d , d g sin
dt
dt l
上式有两个平 衡解(对应最低与
最高平衡位置)
0 sin 0
21
0,1 ,2
0 0
(2.9) (2.10)
令 x 1 , y 1
对应的扰 动方程为:
dx y, dt
dy g sin x dt l
t>t0有|x(t)|< ，则(2.7)的0平衡解是稳定的,因此(2.1)的 未扰运动为稳定。
如果有lim x(，t) 则 0未扰运动为渐进稳定。
o 若存在tt*>t0 ，使|x(t*)|
|ys(t)-s(t)|<
s(t)
，则未扰运动为不稳定。不定稳
δ
t0 |ys(t*)-s(t*)|
稳定
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(2.14) (2.15)
(2.16)
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以下研究函数 V (t, x1, x2,, xn ) V (t, x)
(2.14)
其定义域为 D : t T , x H
(2.15)
并满足条件 V (t,0) 0
(2.16)
定义4. 如V(t,x)在D域上除原点外在其他点也可以取零
值 但 却 保 持 同 一 符 号 ， 则 称 V(t,x) 为 常 号 函 数 。 如 V(t,x)0称为常正；如V(t,x)< 0 ，称为常负。