研究随机变量之间关系的目的基本步骤直线回归方程与参数
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代指标有“向中心回归”的作用
• Galton的学生Pearson观测了1078对夫妇和 他们的子女，结果是：
组别
双亲X(吋） 子女y(吋） d
Total(N=1078)
68
69
高个组 矮个组
72
71
+2
64
67
-2
• 根据此现象，Galton引进回归 普遍性？
（regression)这个词来描述x和y的关系。
• 在两个变量之间的相关关系中，有正相关， 有负相关，有线性相关，有非线性相关；
• 与之相对应的回归分析，也有线性和非线 性因变量（y)随自变量（x)有促进增加作用， 有抑制减少作用，有阶段性的作用方向发 生变化现象。
二、研究随机变量之间关系的目的
1.确定几个变量之间是否存在相关关系(数学表达式, 线性关系还是非线性关系;
第五讲 直线回归和相关分析
为什么要学习……？
1. 是常用的数理统计方法； 2. 可以处理科学实验和生产实践中变量之间
的关系； 3. 可以解决预测问题。在科学上……，在生
产实践中，达到控制，使生产工艺优化
一、回归分析和相关分析的概念 二、研究随机变量之间关系的目的 三、基本步骤 四、直线回归方程与参数估计 五、直线回归的假设测验 六、直线相关分析 七、对统计学回归概念提出的考究及我国古
如果两个变量是平行的，没有因果关 系的自变量和依变量之分，且皆有随机误 差。这类统计分析称相关分析。所建立的 模型称相关模型。
• 回归模型有预测作用，没有达到显著水平时， 不能建立模型；
• 相关分析是研究X和Y间有无相关，以及相关程 度、相关性质（方向），当达到显著水平时， 可以进一步建立相关模型，做定量关系描述。
三、基本步骤
• 对具有统计关系的两个变量的资料进行初步考察 的简便而有效的方法是：
• 将这两个变量的n对观察值 x1，y1 x2，y2 …… xn，yn
分别以坐标点的形式标记于同一直角坐标平面上，
获得散点图（scatter diagram）。
• 根据散点图可初步判定双变量X和Y间的关系， 包括：
生物界中，大量存在的情况是：一种 变量受另一种变量的影响。两者之间既有 关系，但又不存在完全确定的函数关系。
• 如果两个变量有因果关系，原因变量称自变量 (independent variable) ，一般用X表示； •结果变量称依（因）变量(dependent variable)，以Y表示。 •X是已知的或是可控制的，没有误差或误差很小， 而Y则不仅随X的变化而变化，还要受到随机误 差的影响。 •这类统计分析称回归分析。所建立的模型称回 归模型。
• 在统计学上，回归虽然不是普遍现象，但在自然 界，“向中心回归”的作用现象普遍存在；人类 在文化、哲学、伦理上也是普遍应用这种“向中 心回归”的思想。
• 只是“中心”的对象不同
爱出
爱返
对象？
自己
福往
福还
• 付出是我们获得的唯一途径！
• “世上没有无缘无故的恨，也没有无缘无故的爱”
• 1889年出版的《自然遗传》（ Natural inheritance）一书中首次提出并阐明了 “相关”的概念及计算两个变数相关程度 的“相关系数”Correlation）的概念。
计数。通常以ρ表示总体相关系数，以r表示 样本相关系数。
三种不同的总体相关散点图
所以，回归分析也可以用相关系数检验其显著性，r 的取值区间为[-1, 1]。R的“+”“-”与b值有关
2. 决定（确定）系数
ຫໍສະໝຸດ Baidu
• 决定系数和相关系数的区别在于： • 首先，除| r | = 1和0的情况外，r2总是小于 | r |， • 其次，r可正可负，其取值区间为[-1，1]；而r2则
正或负值
得值待入方程求a：
正或负值
2）在散点图上画拟合直线
一般都是x为横坐标，y为纵坐标；x、y按4：5 or 5:6，标明坐标的名称和单位，取2个x值代入：
就得到2个点，即可连接为一条直线
〔例1〕某地一年级12名女大学生的体重与肺活量的关系数 据列于表10.1，试求肺活量（L）对体重（kg）的直线回 归方程。
减少（b<0时）的单位数，叫回归系数。
2. 参数估计
• 从一元线性回归分析方法中可以了解到全 部回归分析的基本思想。
• 1）回归方程的建立 • 用最小平方法原理：
对 有
求： xmean=∑xi/n =1/n ·∑xi • ymean=∑yi/n =1/n ·∑yi • 对于参数a、b，先求出b,再算得a • 用x、y的观测值求平方和 SSx、 SSy 、SSx.y(sp) 总是正值
2.确定变量间相关关系的性质(正相关还是负相关); 3.确定变量间相关关系的密切程度(显著性检验); 4.利用这种关系去预测或控制另一个变量的取值,并
且要知道这种预测或控制可达到的精确度; 5.进行因素分析,在共同影响一个变量的许多因素
之间,找出哪些是重要因素,哪些是次要因素,这 些因素之间又有什么关系。
代 “阴阳”回归思想的剖析——从“华表”
和 “龙的传人”说起
一、回归分析和相关分析的概念
• 在统计史上， “回归”一词是英国生物学
？ 家和统计学家高尔顿（Francis Galton，
1822—1911)提出的。
• 研究人身高的遗传性 • 把每对夫妇的平均身高作为x • 把一个成年儿子的身高作为y • 比较的结果是：未发现两极分化，而是子
3）直线回归的标准误估计
[例2] 试计算由表10.1资料获得的回归方程的 估计标准误。
？？
五、直线回归的假设测验
[例3] 试检验表10.1资料回归关系的显著性。
[例4] 试用F检验法检验表10.1资料回归关系 的显著性。
六、直线相关分析
1.相关系数 • 用来表示X和Y相关密切程度及其性质的统
• ①X和Y相关的性质（正或负）和密切程度；
• ②X和Y的关系是直线型的还是非直线型的；
• ③是否有一些特殊的点表示着其他因素的干 扰等。
四、直线回归方程与参数估计
1. 一元直线回归方程参数的含义：
• 上式读作“y依x的直线回归方程”。式中： • x是自变量； • 是和x的量相对应的依变量y的点估计值； • a是x=0时的值，即回归直线在y轴上的截距； • b是x每增加一个单位数时， 平均地将要增加（b>0时）或
• Galton的学生Pearson观测了1078对夫妇和 他们的子女，结果是：
组别
双亲X(吋） 子女y(吋） d
Total(N=1078)
68
69
高个组 矮个组
72
71
+2
64
67
-2
• 根据此现象，Galton引进回归 普遍性？
（regression)这个词来描述x和y的关系。
• 在两个变量之间的相关关系中，有正相关， 有负相关，有线性相关，有非线性相关；
• 与之相对应的回归分析，也有线性和非线 性因变量（y)随自变量（x)有促进增加作用， 有抑制减少作用，有阶段性的作用方向发 生变化现象。
二、研究随机变量之间关系的目的
1.确定几个变量之间是否存在相关关系(数学表达式, 线性关系还是非线性关系;
第五讲 直线回归和相关分析
为什么要学习……？
1. 是常用的数理统计方法； 2. 可以处理科学实验和生产实践中变量之间
的关系； 3. 可以解决预测问题。在科学上……，在生
产实践中，达到控制，使生产工艺优化
一、回归分析和相关分析的概念 二、研究随机变量之间关系的目的 三、基本步骤 四、直线回归方程与参数估计 五、直线回归的假设测验 六、直线相关分析 七、对统计学回归概念提出的考究及我国古
如果两个变量是平行的，没有因果关 系的自变量和依变量之分，且皆有随机误 差。这类统计分析称相关分析。所建立的 模型称相关模型。
• 回归模型有预测作用，没有达到显著水平时， 不能建立模型；
• 相关分析是研究X和Y间有无相关，以及相关程 度、相关性质（方向），当达到显著水平时， 可以进一步建立相关模型，做定量关系描述。
三、基本步骤
• 对具有统计关系的两个变量的资料进行初步考察 的简便而有效的方法是：
• 将这两个变量的n对观察值 x1，y1 x2，y2 …… xn，yn
分别以坐标点的形式标记于同一直角坐标平面上，
获得散点图（scatter diagram）。
• 根据散点图可初步判定双变量X和Y间的关系， 包括：
生物界中，大量存在的情况是：一种 变量受另一种变量的影响。两者之间既有 关系，但又不存在完全确定的函数关系。
• 如果两个变量有因果关系，原因变量称自变量 (independent variable) ，一般用X表示； •结果变量称依（因）变量(dependent variable)，以Y表示。 •X是已知的或是可控制的，没有误差或误差很小， 而Y则不仅随X的变化而变化，还要受到随机误 差的影响。 •这类统计分析称回归分析。所建立的模型称回 归模型。
• 在统计学上，回归虽然不是普遍现象，但在自然 界，“向中心回归”的作用现象普遍存在；人类 在文化、哲学、伦理上也是普遍应用这种“向中 心回归”的思想。
• 只是“中心”的对象不同
爱出
爱返
对象？
自己
福往
福还
• 付出是我们获得的唯一途径！
• “世上没有无缘无故的恨，也没有无缘无故的爱”
• 1889年出版的《自然遗传》（ Natural inheritance）一书中首次提出并阐明了 “相关”的概念及计算两个变数相关程度 的“相关系数”Correlation）的概念。
计数。通常以ρ表示总体相关系数，以r表示 样本相关系数。
三种不同的总体相关散点图
所以，回归分析也可以用相关系数检验其显著性，r 的取值区间为[-1, 1]。R的“+”“-”与b值有关
2. 决定（确定）系数
ຫໍສະໝຸດ Baidu
• 决定系数和相关系数的区别在于： • 首先，除| r | = 1和0的情况外，r2总是小于 | r |， • 其次，r可正可负，其取值区间为[-1，1]；而r2则
正或负值
得值待入方程求a：
正或负值
2）在散点图上画拟合直线
一般都是x为横坐标，y为纵坐标；x、y按4：5 or 5:6，标明坐标的名称和单位，取2个x值代入：
就得到2个点，即可连接为一条直线
〔例1〕某地一年级12名女大学生的体重与肺活量的关系数 据列于表10.1，试求肺活量（L）对体重（kg）的直线回 归方程。
减少（b<0时）的单位数，叫回归系数。
2. 参数估计
• 从一元线性回归分析方法中可以了解到全 部回归分析的基本思想。
• 1）回归方程的建立 • 用最小平方法原理：
对 有
求： xmean=∑xi/n =1/n ·∑xi • ymean=∑yi/n =1/n ·∑yi • 对于参数a、b，先求出b,再算得a • 用x、y的观测值求平方和 SSx、 SSy 、SSx.y(sp) 总是正值
2.确定变量间相关关系的性质(正相关还是负相关); 3.确定变量间相关关系的密切程度(显著性检验); 4.利用这种关系去预测或控制另一个变量的取值,并
且要知道这种预测或控制可达到的精确度; 5.进行因素分析,在共同影响一个变量的许多因素
之间,找出哪些是重要因素,哪些是次要因素,这 些因素之间又有什么关系。
代 “阴阳”回归思想的剖析——从“华表”
和 “龙的传人”说起
一、回归分析和相关分析的概念
• 在统计史上， “回归”一词是英国生物学
？ 家和统计学家高尔顿（Francis Galton，
1822—1911)提出的。
• 研究人身高的遗传性 • 把每对夫妇的平均身高作为x • 把一个成年儿子的身高作为y • 比较的结果是：未发现两极分化，而是子
3）直线回归的标准误估计
[例2] 试计算由表10.1资料获得的回归方程的 估计标准误。
？？
五、直线回归的假设测验
[例3] 试检验表10.1资料回归关系的显著性。
[例4] 试用F检验法检验表10.1资料回归关系 的显著性。
六、直线相关分析
1.相关系数 • 用来表示X和Y相关密切程度及其性质的统
• ①X和Y相关的性质（正或负）和密切程度；
• ②X和Y的关系是直线型的还是非直线型的；
• ③是否有一些特殊的点表示着其他因素的干 扰等。
四、直线回归方程与参数估计
1. 一元直线回归方程参数的含义：
• 上式读作“y依x的直线回归方程”。式中： • x是自变量； • 是和x的量相对应的依变量y的点估计值； • a是x=0时的值，即回归直线在y轴上的截距； • b是x每增加一个单位数时， 平均地将要增加（b>0时）或