对称性浅谈

对称性浅谈
山东大学陈蒙摘要：
本文主要介绍了对称性原理在理论物理学中的作用和意义。

包括对称性原理影响了描述物理体系的微分方程的形式，物理方程的协变性与对称性的关系；然后介绍了物理学中很重要的一个定理：诺特定理——用来描述对称性原理和守恒定律的关系，并通过三个经典力学中的例子来进一步说明对称性与守恒律的关系；最后介绍了对称性在近代理论物理研究中的作用，包括电磁作用和弱相互作用的统一以及对称性自发破缺的希格斯机制对质量起源的解释。

关键词：对称性守恒定律诺特定理对称性自发破缺
第一章对称性原理与微分方程的形式
1.1 Lagrange作用量形式与对称性
1.2 物理方程的协变性与对称性
第二章对称性原理与守恒定律
2.1 诺特定理
2.2 Hamilton函数的对称性
2.3 时间的平移不变性与能量守恒
2.4 空间平移不变性与动量守恒定律
2.5 空间转动不变性与角动量守恒定律第三章对称性的自发破缺
第四章总结
对称性是小到日常生活大到科学艺术领域都经常用到的词。

对称性通常代表了我们对美的追求，无论是艺术家对建筑、绘画的美还是科学家对公式、定理的美，对称性的力量从中可见一斑。

那么何为对称性？可以这样理解：如果我们对某个物体进行了某种操作，而该物体在这种操作前后没有发生变化，我们就可以说物体具有对称性。

例如足球，当你转动它的时候，无论从哪个方向看，它都是一样的，我们就可以说足球具有转动对称性；再比如等边三角形，当你每次转动120°的整数倍时，它看起来会跟转动前一模一样，这也是对称性。

当然，这两者的对称性是相当不同的：前者是连续的对称性，这种对称性对任意小的变换均成立；而后者是分立对称性，它有一个最小的“变换单位”，只有进行“变换单位”的整数倍的变换才能保持它的对称性。

简而言之，对称性的本质就是“变化下的不变性。

”
那么对称性对于我们物理学研究又有什么意义？我们知道，宇宙中所有物理系统都要遵守一定的原理规则和定律，总结起来它们具有如下的特性：
1) 这些原理、规则和定律可用微分方程或数学公式来表达，即
定律=微分方程
2) 定律应该具有普适性，而普适性的具体体现就是要求具有某种对称性，而对称性在
很大程度上决定了微分方程的表达形式；
3) 微分方程的解提供了相应物理系统地状态和性质。

包含了物理系统所有的物理信
息。

物理学家们之所以苦苦寻求对称性的原因之一，便可以从以上特点看出来。

概括来说， 对称性在三个方面起到重要作用：其一，对称性决定了物理方程的形式；其二，由Noether 定理，对称性与物理守恒量有一种对应关系，即一种对称性确定一种守恒量；其三，对称性及其自发破缺机制对电弱相互作用的统一和大统一理论起到了重要作用
下文将分别对这三个方面进行阐述。

第一章 对称性原理与微分方程的形式 1.1 Lagrange 作用量与对称性
Lagrange 作用量是连接物理和数学的桥梁，物理定律正是通过它被转化成微分方程。

同样的，对称性也是通过作用量将它自己数学化的。

我们用有限维函数当作Lagrange 作用量来阐述这个问题。

令
1:n F R R →
是一个有限维泛函，它可以写错一个n 元函数形式
1(),(,,).n n F F x x x x R ==⋅⋅⋅∈ （1.1）
现在将（1.1）视为某个物理系统的作用量，并且希望能够确定它的具体表达形式。

在逻辑和物理意义上有以下两个约束条件：
（A ） 由（1.1）表达的定律是普适的，与它的实验地点、时间及方位无关。

（B ） ()F x 是一个指数不超过二次的多项式（真是作用量中导数项指数不超过二次，
这在物理中是普遍性的条件）。

约束（A ）中的不同地点、时间与方向对应的就是坐标变换。

我们考虑不同方向的转动 变换：
~
,x Ax A =是正交矩阵 （1.2）
而定律的普适性就是()F x 在（1.2）的正交变换下保持形式不变。

我们注意到x 的模是不变的，即
22
222
222~~~~12n 12n =+=+=x x x x x x x x +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 则不变性的函数()F x 一定取如下形式：
()F F x = （1.3） 现在再有约束条件(B)，作用量便被唯一地确定（只差一个常数）为如下形式：
2
2
2
12n ()(+),F x x x x αα=+⋅⋅⋅+为常数 （1.4）
因为（1.4）的等值面是一个n-1维的球面，当你从不同角度去观察这个球面时会发现图像没有变化，即图像是对称的。

这就是为什么将作用量在某种变换下的不变性称作对称性的原因。

从这个例子我们也可以简单地看出对称性是如何影响微分方程的形式的。

1.2 物理方程的协变性与对称性
其实，更一般的物理定律的对称性是体现在微分方程的协变性上面，即：如果方程的每一项属于同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，结果保持方程形式不变。

举例来说，设在参考系
∑
下某方称具有形式
F G μμ= （1.5） 其中F μ和G μ都是四维矢量。

在参考系变换下，有
F F
G G μμνμμνμμαα''=== 因而在新参考系
'∑
中有F G μμ
''=，这方程形式上和原参考系中的方程（1.5）一致。

这
就是协变性。

因此，如果表示物理规律的方程是协变的话，那么它就能满足物理规律的对称
性要求。

我们只要知道某方程中各个物理量的变换性质，就可以看出它是否具有协变性。

下面讨论相对论理论的协变性质：
在相对论的四维形式下，洛仑兹变换是满足间隔不变
2222222222
1
23123x x x c t x x x c t ''''++-=++-=不变量 如果形式上引入第四维虚数坐标：4x ict =
则间隔不变可以写成：2
2
2
2
1234x x x x ''''+++2222
1234
x x x x =+++
即： x x x x μ
μμμ''==不变量 （1.6） 一般洛仑兹变换是满足间隔不变性（1.6）式的四维线性变换：
=x x μ
μννα' ，μνα为正交矩阵元 (1.7) 洛仑兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”，但这四维空间的第四个坐标是虚数，因此
它是复四维空间，不同于实数的Euclid 空间。

沿x 轴方向的特殊洛仑兹变换的变换矩阵为
000
100001000i a i γβγβγ
γ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭ （1.8） 其中
,v c
βγ=
=
逆变换的变换矩阵为 1000
10000100
0i a i γβγβγ
γ--⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间中，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转
动”。

在洛仑兹变换下不变的物理量称为洛仑兹标量，例如间隔 2
ds dx dx μμ=- 为洛仑兹标量
具有四个分量的物理量V μ，如果它在惯性系下与坐标有相同变换关系：
=V V μμννα'
它就是四维矢量。

例如上面的矢量(,)x x ict μ= 而具有九个分量的T μν如果满足变换关系
T T μν
μλντλταα'= 就是二阶四维张量。

更高阶的张量这里不涉及了。

这些物理量在洛仑兹变换下具有确定的变
换性质，便都是洛仑兹变换群下的协变量。

我们以四维波矢量为例介绍，来看下对称性是如何修正四维空间的波矢量的： 设在参考系
∑
有一角频率为ω，波矢量为k 的平面电磁波在真空中传播。

在另一参考系
'∑
上观察，该电磁波的频率和传播方向都会发生改变。

以ω'和k '表示
'∑
上观察到的
角频率和波矢量。

电磁波的相位因子是 ,i e k x t φφω=- （1.9a ）
在另一参考系
'∑
观察的相位因子是
,i e k x t φφω''''''=- （1.9b ）
我们先看相位φ和φ'的关系。

设参考系
∑
和
'∑
的原点在时刻0t t '==重合。

在该
时刻，两参考系的原点上都观察到电磁波处于波峰，相位φ=φ'=0，取此事件为第一事件。

在
∑
系n 个周期（2/t n πω=）后，第n 个波峰通过
∑
系原点，相位为2n φπ=-。

去此事件为第二个事件，它在∑上的时空坐标为（x =0，2/t n πω=），在
'∑
上的时空
坐标（x '，t '）可用洛仑兹变换求得，而相位同样是2n φπ'=-，这是因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而相位只是计数问题，不随参考系而变。

因此，我们称电磁波的相位是对称的，它是一个不变量：
φφ'==不变量
由(1.9)式有 k x t ω-=k x t ω''''-=不变量 若我们另k 与i
c
ω
合为另一个四维矢量k μ，便有： ()()112212312
3
33k k k k x x x ict x x x ict k k i i c c ωω'⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪' ⎪
⎪'''= ⎪ ⎪' ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
其中123
k k k k i c ω⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
是我们得到的四维电磁波矢量，即(,)k k i c μω
=，这个是我们根据电磁
波相位的不变性得到的。

第二章 对称性与守恒定律 2.1 诺特定理
大自然给我们展现出它的无比玄妙和神奇，但是所有这些全都是表象，真正产生这一切
的根源最终都可以归结到若干个极其简单而又朴素的普适性原理当中。

对称性原理便是其中之一。

我们都知道，物理定律在空间平移、时间平移及转动下具有不变性——这是观测事实。

或许未来的某天，人们可能会观察到破坏这三种对称性的物理事实，不过这一天还没有到来。

物理学家、天文学家、地理学家们已经做过大量的实验并且留下了数量惊人的观测记录，其中无一提到上述三种对称性破缺的例子。

任何旨在描述宇宙的方程必须满足这三个简单对称性的要求。

变换下具有不变性意味着某些量在变换过程中没有改变——或者说守恒。

所以毫不奇怪，对称性与我们所拥有的最基本、最具广泛性以及最强大的物理定律——守恒量有着某种联系。

终于，在1915年，德国数学家诺特（Noether ）证明了一条著名的定理：对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。

其中“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。

物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。

诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。

例如：
1.物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量的守恒律；
2.对于转动的不变性给出了角动量的守恒律；
3.于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。

4.在量子场论中，和诺特定理相似，沃德－高桥恒等式（Ward-Takahashi ）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。

力学中的动量守恒角动量守恒和能量守恒定律不仅适用宏观领域也适用微观世界最基本的自然规率。

我们将利用Hamilton 函数的时空变换的不变性，导出动量守恒、角动量守恒和能量守恒定律，说明3个守恒定律是时空对称性的表现，从而进一步验证对称性与守恒定律的诺特定理。

2.2 Hamilton 函数的对称性
一个由n 个质点组成的一个具有s 个自由度的封闭物理体系，体系的Hamilton 函数为 1
s
H p q L ααα
==
-∑ (1,2,,)s α= （2.1）
始终L p q αα
∂=
∂为系统的广义动量，(,,)L L q q t T V αα==-为系统的Lagrange 函数，系
统的动力学规律表示为Hamilton 正则方程形式为 H
q q αα
∂=
∂ H p p αα∂=-∂ （2.2）
根据分析力学中的正则变换理论，系统在无限小ε时限内在相空间发生的无限小位移由下式
决定
G q p ααδε
∂=∂ G
p q αα
δε∂=-∂ （2.3） （2.3）式称为由母函数(,,)G q p t αα所产生的无限小正则变换，此时Hamilton 函数H 将随
之而变，若H 函数不显含时间t ，则变分
1()s
H H H q p q p αααααδδδ=∂∂=+∂∂∑ 或 []1(),s
H G H G
H H G q p p q ααα
ααδεε=∂∂∂∂=-=∂∂∂∂∑
其中[],H G 为泊松括号。

若[],0H H G δε==，则(,,)G q p t αα为运动恒量。

因此，若在以G 为母函数的无限小正则变换下，系统的H 函数形式不变，则G 便是系统的一个运动
恒量。

下面我们就利用这一性质来导出力学三大守恒定律 2.3 时间的平移不变性与能量守恒
对系统的H 函数进行一无限小时间平移变换，此时H 的全微商为
[]11()(),s s
dH H H H H H H H H H q p H G dt q p t q p p q t t αααααααα
ααεεε==∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+=-+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∑∑ （2.4） 因为时间具有均匀性，所以H 不显含时间t ，H
t
∂=∂0，则 [],0,dH
H G H dt
ε===恒量 而H 函数
21210201
1
()(2)()s
s
T H p q L q T V T T T T T V T T V q αααααα
==∂=-=--=+-++-=-+=∂∑∑
恒量（2.5）
上式为广义能量守恒。

若主动力为保守力，约束是稳定的，则21
,
2s
T T T q T q αα
α
=∂==∂∑，于
是 H T V =+=恒量 即系统的机械能守恒。

H
t
∂=∂0，即H 函数对时间平移不变性具有不变性，表示系统的力学性质与计算时间的起点无关，即时间的绝对原点是不可测量或不可分辨的，这就是时间的均匀性。

可见时间的均匀性对系统的能量守恒相对应。

2.4 空间平移不变性与动量守恒定律
对系统的H 函数进行一无限小空间平移变换，因为空间具有均匀性，所有此变换是对称的，则H δ=
[],0H G ε=，因而泊松括号[],H G =
H G H G
q p p q αααα
∂∂∂∂-∂∂∂∂=0，所以
==0H p q αα∂-∂ ==0H
q p αα
∂∂ （2.6） （2.6）式表明H 函数不依赖广义坐标q α，这意味着空间没有绝对原点，可以选取任何位置作原点，对物理定律的形式都是相同的。

换言之，空间的绝对位置是不可测量的或不可分辨的，这便是空间平移不变性或对称性。

由（2.3）与（2.6）得p αG ==恒量，即空间的对称性导致动量守恒定律。

2.5 空间转动不变性与角动量守恒定律
为使问题简化又不失其普遍性，设系统整体绕oz 轴顺时针产生d θε=无限小转动，这相当于坐标轴转动d θ-角，因而引起各质点的坐标和动量发生无限小变化（图1）， 即
,,0ix iy iy ix ix p p p p p δεδεδ=-== 及 ,,0i i i i i x y y x z δεδεδ=-== （2.7） 由（2.3）式得
,,0i i i ix iy
G G x y z p p δε
δεδ∂∂===∂∂及,,0ix iy iz i i G G
p p p x y δεδεδ∂∂==-=∂∂ （2.8）
比较（2.7）和（2.8）式得：
,,0i i ix iy iz
G G G y x p p p ∂∂∂=-==∂∂∂及,,0iy ix i i i G G G
p p x y z ∂∂∂==-=∂∂∂ （2.9）
而母函数G 的变化量为
1
(
)n
i i i ix iy iz i i i i ix iy iz G G G G G G G
G x y z p p p t x y z p p p t
δδδδδδδδ=∂∂∂∂∂∂∂=++++++∂∂∂∂∂∂∂∑（2.10）
因为空间具有各向同性，所以G 不显含时间t ，将式（2.9）和（2.8）代入式（2.10）得
1
()0n
iy i ix i i iy i ix i G p y p x y p x p δεεεε==--++=∑， 即G =恒量
系统的角动量1
()n
i
iy
i ix i J x p
y p ==
-∑，其偏微商为
,,0z z z iy ix i i i J J J
p p x y z ∂∂∂==-=∂∂∂及,,0z z z i i ix iy iz
J J J y x p p p ∂∂∂===∂∂∂ （2.11） 比较（2.9）和（2.11）得
z J G ==恒量 （2.12） 由于oz 轴取向是任意的，故式（2.12）具有普遍意义。

由H δ[],H G ε=，可知当J G α==恒量时，H δ=0，这时系统的H 函数形式不依赖与空间取向，即空间的绝对方向具有不可测量性或不可分辨性，这意味着空间是各向同性的。

正是空间的各向同性引起空间转动的不变性，从而导致角动量守恒定律。

从以上推导可以看出，力学的三大守恒定律实际上是时间的平移不变性，空间的平移不变性和转动不变性的具体表现。

研究物理学中的对称性，对于探索和发现未知的物理规律起着非常重要的作用。

实际上，在粒子物理中，许多对称性容易发现而守恒量不易发现。

于是我们可以通过对
称性来发现许多守恒量即量子数，如轻子数、重子数、同位旋、宇称等，他们的发现对粒子物理的发展起到重大作用。

表1给出各种对称性与守恒定律的对应关系：
第三章对称性的自发破缺
对称性的自发破缺其实并不神秘。

物理学中有很多这样的例子。

将一根吸管放在你的两掌之间，你就成了一个可以用具有旋转对称性的方程描述的物理系统了。

合拢你的双掌会使吸管变弯，对称性就破缺了。

你根本不能预计你的吸管是如何弯的；可以上弯，下弯，侧弯，怎么样弯都有可能。

这个不对称的系统，是具有完美对称性的方程的稳定解。

又如：一桶水具有高度的转动对称性——不论从哪个角度看它都是一样的。

但是如果我们将水冷却到结冰，使其发生相变，则转动对称性就会破缺，因为冰具有晶体结构。

从不同角度看，冰是不一样的。

这是一个重要的观点：当物理系统发生相变时，系统的对称性就会破缺。

对称性破缺的最好的粒子是铁磁系统。

铁磁就是具有杂乱无章的磁场方向的相互作用的离子集合体。

其总能量的方程具有转动对称性；磁化指向不同的方向，因而没有净磁场。

但是铁磁处于最低能量态时，所有的磁化指向同样的方向：转动对称性自发破缺。

将磁铁加热到临界温度之上，磁化方向发生扰动，铁磁发生相变；磁场消失对称性恢复。

再次冷却到临界温度以下，对称性再次破缺；所有的磁化指向相同的方向，铁磁再次获得次磁场。

在标准模型中，我们可以用波色子的交换来理解三种基本的相互作用：电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用。

对这些理论的这种最基本的理解使得我们有希望将这三种基本相互作用进行统一。

事实上，在这个方向的推进几十年前就已经开始了：物理学家们已经统一了电磁相互作用和弱相互作用。

电磁场只与带电荷的粒子有耦合；而弱相互作用对所有的粒子都起作用，甚至包括电中
性的中微子。

电磁力是一种长程力，在很远的距离上都能起作用；而弱相互作用是一种短程力，作用范围甚至不能超出原子核的范围。

电磁力不能区分左手和右手；而弱相互作用具有手征性。

当然还有其他的一些区别。

尽管如此，物理学家深信在这两种理论下面潜藏这一个深层次的理论，这个理论可以将这两种看似不同的相互作用联系起来。

格拉肖研究的理论就是基于两个群的乘积——SU（2）L*U(1)Y——的局域规范理论。

事实上，SU（2）L*U(1)Y已经为我们提供了一个关于电磁相互作用和弱相互作用的整体理论！两组群的两个不同的耦合常数分别对应两种不同的相互作用。

但是要注意的是，在格拉肖的理论中有一个不可忽视的问题：所有的规范粒子都是无质量的。

光子当然是无质量的，不过其他的三个传递者必须是有质量的，只有这样才能解释弱相互作用是一种短程力。

1967年，阿卜杜斯·萨拉姆与史蒂文·温伯格各自独立地证明了：如果使理论中的部分对称性发生自发破缺，那么这个理论既可以保持其深层次的对称性又可以使规范粒子获得质量。

正是希格斯场与格拉肖的电弱理论中W粒子和Z粒子的耦合使得这两个粒子获得质量。

自旋为1的无质量波色子，它有两个自由度，即两个横向极化分量。

而自旋为1的有质量波色子，则有三个自由度：两个横向极化分量以及一个纵向极化分量。

希格斯机制提出存在一个有四个物理极化分量的基本场。

当这个基本场与W+波色子相互作用时，W+波色子就会“吃掉”它的一个分量从而变成有质量的粒子；同样的，W-波色子就会“吃掉”它的另一个极化分量从而变成有质量的粒子；Zo波色子就会“吃掉”它的第三个极化分量从而变成有质量的粒子。

而拒绝参加这场游戏的光子仍然无质量。

原来的基本场就会只剩下一个极化分量——也就是标量场（即自旋为0的波色子），这就是希格斯波色子。

希格斯机制可以赋予所有的基本粒子以质量。

在空间中川流不息的夸克与轻子与希格斯场相互作用；于是粒子附近的场就会变得扭曲，从而这些夸克或是轻子就会获得质量。

第四章总结
本文主要通过对称性原理和物理体系的微分方程的形式，对称性原理和守恒定律的关系，对称性原理和对称性自发破缺机制等方面，列出了对称性在理论物理研究中的作用和意义。

通过本对对称性的浅谈，大家完全可以看出对称性在我们探索宇宙的奥秘过程中展现出的巨大威力。

其实，对称性在我们的生活中是如此常见，其中蕴藏的原理是又是如此丰富，这种简洁而又深刻的特点值得我们每一位物理工作者深思。

我相信，对称性原理在以后的研究中仍将发挥它重要的作用，你我应当共勉。

参考书目：
[1]马天从数学观点看物理世界——基本粒子与统一场论科学出版社2014
[2]【美】斯蒂芬·韦伯看不见的世界——碰撞的宇宙，膜，弦及其他湖南科学技术出版社2007
[3]周衍柏理论力学教程（第三版）高等教育出版社2009
[4]山东大学数学学院线性代数（第二版）高等教育出版社2011
[5]李质勇时空对称性与力学量守恒定律齐齐哈尔大学学报2006
[6]维基百科词条诺特定理
[7]郭硕鸿电动力学（第三版）高等教育出版社2008。