对称性浅谈

对称性浅谈

山东大学陈蒙摘要：

本文主要介绍了对称性原理在理论物理学中的作用和意义。包括对称性原理影响了描述物理体系的微分方程的形式，物理方程的协变性与对称性的关系；然后介绍了物理学中很重要的一个定理：诺特定理——用来描述对称性原理和守恒定律的关系，并通过三个经典力学中的例子来进一步说明对称性与守恒律的关系；最后介绍了对称性在近代理论物理研究中的作用，包括电磁作用和弱相互作用的统一以及对称性自发破缺的希格斯机制对质量起源的解释。

关键词：对称性守恒定律诺特定理对称性自发破缺

第一章对称性原理与微分方程的形式

1.1 Lagrange作用量形式与对称性

1.2 物理方程的协变性与对称性

第二章对称性原理与守恒定律

2.1 诺特定理

2.2 Hamilton函数的对称性

2.3 时间的平移不变性与能量守恒

2.4 空间平移不变性与动量守恒定律

2.5 空间转动不变性与角动量守恒定律第三章对称性的自发破缺

第四章总结

对称性是小到日常生活大到科学艺术领域都经常用到的词。对称性通常代表了我们对美的追求，无论是艺术家对建筑、绘画的美还是科学家对公式、定理的美，对称性的力量从中可见一斑。那么何为对称性？可以这样理解：如果我们对某个物体进行了某种操作，而该物体在这种操作前后没有发生变化，我们就可以说物体具有对称性。例如足球，当你转动它的时候，无论从哪个方向看，它都是一样的，我们就可以说足球具有转动对称性；再比如等边三角形，当你每次转动120°的整数倍时，它看起来会跟转动前一模一样，这也是对称性。当然，这两者的对称性是相当不同的：前者是连续的对称性，这种对称性对任意小的变换均成立；而后者是分立对称性，它有一个最小的“变换单位”，只有进行“变换单位”的整数倍的变换才能保持它的对称性。简而言之，对称性的本质就是“变化下的不变性。”

那么对称性对于我们物理学研究又有什么意义？我们知道，宇宙中所有物理系统都要遵守一定的原理规则和定律，总结起来它们具有如下的特性：

1) 这些原理、规则和定律可用微分方程或数学公式来表达，即

定律=微分方程

2) 定律应该具有普适性，而普适性的具体体现就是要求具有某种对称性，而对称性在

很大程度上决定了微分方程的表达形式；

3) 微分方程的解提供了相应物理系统地状态和性质。包含了物理系统所有的物理信

息。

物理学家们之所以苦苦寻求对称性的原因之一，便可以从以上特点看出来。概括来说， 对称性在三个方面起到重要作用：其一，对称性决定了物理方程的形式；其二，由Noether 定理，对称性与物理守恒量有一种对应关系，即一种对称性确定一种守恒量；其三，对称性及其自发破缺机制对电弱相互作用的统一和大统一理论起到了重要作用

下文将分别对这三个方面进行阐述。 第一章 对称性原理与微分方程的形式 1.1 Lagrange 作用量与对称性

Lagrange 作用量是连接物理和数学的桥梁，物理定律正是通过它被转化成微分方程。同样的，对称性也是通过作用量将它自己数学化的。我们用有限维函数当作Lagrange 作用量来阐述这个问题。令

1:n F R R →

是一个有限维泛函，它可以写错一个n 元函数形式

1(),(,,).n n F F x x x x R ==⋅⋅⋅∈ （1.1）

现在将（1.1）视为某个物理系统的作用量，并且希望能够确定它的具体表达形式。在逻辑和物理意义上有以下两个约束条件：

（A ） 由（1.1）表达的定律是普适的，与它的实验地点、时间及方位无关。

（B ） ()F x 是一个指数不超过二次的多项式（真是作用量中导数项指数不超过二次，

这在物理中是普遍性的条件）。

约束（A ）中的不同地点、时间与方向对应的就是坐标变换。我们考虑不同方向的转动 变换：

~

,x Ax A =是正交矩阵 （1.2）

而定律的普适性就是()F x 在（1.2）的正交变换下保持形式不变。我们注意到x 的模是不变的，即

22

222

222~~~~12n 12n =+=+=x x x x x x x x +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 则不变性的函数()F x 一定取如下形式：

()F F x = （1.3） 现在再有约束条件(B)，作用量便被唯一地确定（只差一个常数）为如下形式：

2

2

2

12n ()(+),F x x x x αα=+⋅⋅⋅+为常数 （1.4）

因为（1.4）的等值面是一个n-1维的球面，当你从不同角度去观察这个球面时会发现图像没有变化，即图像是对称的。这就是为什么将作用量在某种变换下的不变性称作对称性的原因。从这个例子我们也可以简单地看出对称性是如何影响微分方程的形式的。 1.2 物理方程的协变性与对称性

其实，更一般的物理定律的对称性是体现在微分方程的协变性上面，即：如果方程的每一项属于同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，结果保持方程形式不变。举例来说，设在参考系

∑

下某方称具有形式

F G μμ= （1.5） 其中F μ和G μ都是四维矢量。在参考系变换下，有

F F

G G μμνμμνμμαα''=== 因而在新参考系

'∑

中有F G μμ

''=，这方程形式上和原参考系中的方程（1.5）一致。这

就是协变性。因此，如果表示物理规律的方程是协变的话，那么它就能满足物理规律的对称

性要求。我们只要知道某方程中各个物理量的变换性质，就可以看出它是否具有协变性。 下面讨论相对论理论的协变性质：

在相对论的四维形式下，洛仑兹变换是满足间隔不变

2222222222

1

23123x x x c t x x x c t ''''++-=++-=不变量 如果形式上引入第四维虚数坐标：4x ict =

则间隔不变可以写成：2

2

2

2

1234x x x x ''''+++2222

1234

x x x x =+++