高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1471 5

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.了解基本不等式的证明过程．

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【重点知识梳理】 1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a ，b ∈R)． (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab≤

⎝⎛⎭

⎫a ＋b 2 2 (a ，b ∈R)． (4)a2＋b22≥⎝

⎛⎭

⎫

a ＋

b 2 2 (a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p2

4.(简记：和定积最大) 【高频考点突破】

考点一 利用基本不等式证明简单不等式 【例1】 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.

求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭

⎫x z ＋y z ≥8.

【规律方法】利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．

【变式探究】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.

考点二 利用基本不等式求最值 【例2】 解答下列问题：

(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值； (3)已知x ＜54，求f(x)＝4x －2＋1

4x －5

的最大值；

(4)已知函数f(x)＝4x ＋a

x (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．

【规律方法】

(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．

(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．

【变式探究】

(1)设a ＞0，若关于x 的不等式x ＋a

x ≥4在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．16 D ．1

(2)设0＜x ＜5

2，则函数y ＝4x(5－2x)的最大值为______．

(3)设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）

x ＋1

的最小值为________．

【答案】(1)A (2)25

2 (3)9 考点三 基本不等式的实际应用

【例3】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭

⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；

(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

【规律方法】有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

【变式探究】 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝1

2x2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

【真题感悟】

1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足

12

ab a b

+=，则ab 的最小值为( ) A 、2B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C

2.【高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.

【答案】23

3.【高考福建，文5】若直线1(0,0)x y

a b a b

+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C

4．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4

b ＋5

c 的最小值为________．

【答案】－2

5．（·山东卷）若⎝⎛⎭

⎫ax2＋b x 6

的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．