第三章-参数曲面- 正交曲线网-共形变换
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2
1
保角对应(共形对应)
其实就是保长对应. 像前面 当函数 1 时， 一样，上述条件等价于 I2 dr1 dr1 2 dr1 dr1 2 I1 ， 即有
u E F T E F u J J u F G v F G 2 u E F u v v F G v u v u u v
I 2 (du2 dv 2 ) ，
其中 (u, v) 是局部定义的函数. 作业：习题 3.5：1，4
保角对应(共形对应)
推论 设映射 : S1 S2 是三次以上连续可微的 一一对应. 则 是保角对应的充分必要条件是存 在 S1 上的正的连续函数 : S1 : p ( p) ，使得 X Y (u, v ) X Y ， X , Y Tp S1 ， p S ， 其中 (u, v) 是 p 点的曲纹坐标.
切映射 设两个曲面 S1 , S2 的参数方程分别为
r1 r1 (u, v), (u, v) D1 和 r2 r2 (u , v ) ， (u , v ) D2 .
映射 : S
1
S2 是连续可微的，它的参数表示为
Leabharlann Baidu
r2 r11 ，
其中
: D1 D2 : (u, v) (u, v) (u , v ) (u (u, v), v (u, v)) .
C : u (t ) u (u(t ), v(t )) ， v (t ) v (u(t ), v(t )) .
切映射 定义 X 为 C 在 t 0 处的切向量，即 d d ( X ) dt |t 0 r2 (u (t ), v (t )) dt |t 0 r2 (u (u(t ), v(t )), v (u(t ), v(t )) u u v v r2 u 2 v u u (0) v v (0) u u (0) v v (0) r u u v v a b r a b r u v 2 u u v 2 v .
曲面上正交参数曲线网的存在性
在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简 2 2 单： I Edu Gdv . 问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？
曲面上正交参数曲线网的存在性
设 f (u, v)du g(u, v)dv 是定义在区域 D
2
上的连续可微的 1 次微分形式，且 处处不为零. 则对于任意一点 (u0 , v0 ) D ， 在 (u0 , v0 ) 的某个邻域 U D 内存在积分因子，即有定义在 U 上的非零连 续可微函数 (u, v) ，使得 (u, v) 是某个定义在 U 上 的连续可微函数 F (u, v) 的全微分： (u, v) f (u, v)du g (u, v)du dF (u, v) .
保角对应(共形对应)
任意正则参数曲面 S 必局部共形于平面，即 S 上任意一点 p 都有一个邻域 U 可以与平面上的一 个区域建立共形对应. 由此可知任意两个正则参 数曲面都可以建立局部共形对应.
保角对应(共形对应)
推论 任意正则曲面 S 上均存在局部的等温坐 标系，即，局部地可选取参数 (u, v) 使得
u E F T E F u J J u F G F G v u E F u v v F G v u v u u v
v . v
保长对应(等距对应) 曲面 S1 和 S 之间存在保长对应的充分必要条 件是，可以在 S 和 S2 上选取适当的相同参数系 (u, v ) ，使得在这个参数系下 S 和 S2 有相同的第一基 本形式.
1 1 其中 1 r1 (U1 ), 2 r2 (U2 ) . 这种参数系称为映射 的适 用参数系.
id : 1 2 : (u1 , v1 )
(u2 , v2 ) (u1 , v1 ) ，
保长对应(等距对应) 设映射 : S1 S2 是 3 次以上连续可微的. 如果 对每一点 p S1 ，切映射 都保持切向量的长度， 即
曲面上正交参数曲线网的存在性
假定在曲面 S : r r (u, v) 上有两个处处线性无 关的、连续可微的切向量场 a (u, v) , b (u, v) . 则对每 一点 p S ，必有 p 点的一个邻域 U S ，使得在 U 上 存在新的参数 (u, v ) ，满足 ru // a ， rv // b .
S1
r1
S2
r2
D2
D1
曲面到曲面的连续可微映射 将映射 : S1 S2 通过它们的参数用两个函数 表示出来，则有
如果这两个函数都是连续可微的， 则称映射 是连续可微的.可微与这两个曲面的参数取法无 关.
u2 f (u1 , v1 ) v2 g (u1 , v1 )
1
2
保角对应(共形对应) 对于保角对应 ，在每一点 p S1 ，切映射
: Tp S1 T ( p ) S2 都是线性同构，否则 X ,Y 无意
义. 因此可以选取适用参数系 (u, v) 使得映射 就 是具有相同参数的点之间的对应.
保角对应(共形对应)
引理 设 V ,W 是两个欧氏空间(即带有内积 , 的 实向量空间)， : V W 是线性同构. 如果 保持向 量之间的夹角： ( u, v) (u, v), u, v V ，则 ， 使得 2 u, v u, v , u, v V . 反之，若 ，使得上式成立，则 保持向量之 间的夹角.
保长对应(等距对应) 注 2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应 ，在每一点 p S1 ，切映射 : Tp S1 T ( p ) S2 都是线性同构，从而局部地 是微分 同胚，存在适用参数系.
保长对应(等距对应) 设映射 : S1 S2 是 3 次以上连续可微的. 则 是等距对应的充分必要条件是 I2 dr1 dr1 dr1 dr1 I1 ， 即在对应点，成立
X X ， X Tp S1 ， p S1 .
则称 是从 S 到 S2 的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry).
1
保长对应(等距对应) 注 1. 保持向量长度的线性映射一定保持内 积，因此若 : S1 S2 是等距对应，则有 X Y X Y ， X , Y Tp S1 ， p S1 . 反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长 度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长， 即有 L(C) L( (C)) .
切映射
对每一点 p S1 ， 可以通过下面的方法定义一个 线性映射 : Tp S1 T ( p ) S2 : X a r1 u b r1 v X ， 上面定义的映射 称为由连续可微映射 诱导的 切映射.
切映射 切映射也可以用另一种方法来定义： 将 S1 上 的曲线 C 映为 S2 上的曲线
适用参数系
设映射 : S1 S2 是 3 次以上连续可微的. 如果在 p 点切 映射 : Tp S1 T ( p ) S2 是线性同构，则分别有 p 点的邻域 U1 S1 和 ( p ) 点的邻域 U 2 S2 ， (U1 ) U2 ，以及 U1 , U 2 上 的参数系 (u1 , v1 ) 和 (u2 , v2 ) ，使得映射 |U1 的参数表示为
2
1
1
保角对应(共形对应) 设映射 : S S 是三次以上连续可微的一一对 应. 如果 X , Y X ,Y ， X , Y Tp S1 ， p S1 ，其中 X 0,Y 0 ，
1 2
则称 是从 S 到 S 的保角对应，或称共形对应 (conformal correspondence).
曲面上正交参数曲线网的存在性
在曲面 S : r r (u, v) 上每一点 p S ，有 p 点的一 个邻域 U S ，使得在 U 上存在新的参数 (u, v ) ，满足 F ru rv 0 .
作业：习题 3.4：1，2
保长对应和保角对应
曲面到曲面的连续可微映射 设有两个曲面. 因为曲面上的点 p 与它的参 数(曲纹坐标)是一一对应的，所以从曲面 S1 到曲面 S2 的映射 : S1 S2 可以通过它们的参数表示出来， 即有映射 : D1 D2 使得 r2 r11 ， 或 r21 r1 .
v . v
保角对应(共形对应)
所以在适用参数系下，保角对应的条件 就简化为 E 2 E , F 2 F , G 2G .
保角对应(共形对应)
设映射 : S1 S2 是三次以上连续可微的一一 对应. 则 是保角对应的充分必要条件是存在 S1 上的正的连续函数 : S1 ，使得 I 2 2 I1 ， 其中 I1 ， I 2 分别是 S1 ， S2 的第一基本形式.
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保角对应(共形对应)
其实就是保长对应. 像前面 当函数 1 时， 一样，上述条件等价于 I2 dr1 dr1 2 dr1 dr1 2 I1 ， 即有
u E F T E F u J J u F G v F G 2 u E F u v v F G v u v u u v
I 2 (du2 dv 2 ) ，
其中 (u, v) 是局部定义的函数. 作业：习题 3.5：1，4
保角对应(共形对应)
推论 设映射 : S1 S2 是三次以上连续可微的 一一对应. 则 是保角对应的充分必要条件是存 在 S1 上的正的连续函数 : S1 : p ( p) ，使得 X Y (u, v ) X Y ， X , Y Tp S1 ， p S ， 其中 (u, v) 是 p 点的曲纹坐标.
切映射 设两个曲面 S1 , S2 的参数方程分别为
r1 r1 (u, v), (u, v) D1 和 r2 r2 (u , v ) ， (u , v ) D2 .
映射 : S
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S2 是连续可微的，它的参数表示为
Leabharlann Baidu
r2 r11 ，
其中
: D1 D2 : (u, v) (u, v) (u , v ) (u (u, v), v (u, v)) .
C : u (t ) u (u(t ), v(t )) ， v (t ) v (u(t ), v(t )) .
切映射 定义 X 为 C 在 t 0 处的切向量，即 d d ( X ) dt |t 0 r2 (u (t ), v (t )) dt |t 0 r2 (u (u(t ), v(t )), v (u(t ), v(t )) u u v v r2 u 2 v u u (0) v v (0) u u (0) v v (0) r u u v v a b r a b r u v 2 u u v 2 v .
曲面上正交参数曲线网的存在性
在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简 2 2 单： I Edu Gdv . 问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？
曲面上正交参数曲线网的存在性
设 f (u, v)du g(u, v)dv 是定义在区域 D
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上的连续可微的 1 次微分形式，且 处处不为零. 则对于任意一点 (u0 , v0 ) D ， 在 (u0 , v0 ) 的某个邻域 U D 内存在积分因子，即有定义在 U 上的非零连 续可微函数 (u, v) ，使得 (u, v) 是某个定义在 U 上 的连续可微函数 F (u, v) 的全微分： (u, v) f (u, v)du g (u, v)du dF (u, v) .
保角对应(共形对应)
任意正则参数曲面 S 必局部共形于平面，即 S 上任意一点 p 都有一个邻域 U 可以与平面上的一 个区域建立共形对应. 由此可知任意两个正则参 数曲面都可以建立局部共形对应.
保角对应(共形对应)
推论 任意正则曲面 S 上均存在局部的等温坐 标系，即，局部地可选取参数 (u, v) 使得
u E F T E F u J J u F G F G v u E F u v v F G v u v u u v
v . v
保长对应(等距对应) 曲面 S1 和 S 之间存在保长对应的充分必要条 件是，可以在 S 和 S2 上选取适当的相同参数系 (u, v ) ，使得在这个参数系下 S 和 S2 有相同的第一基 本形式.
1 1 其中 1 r1 (U1 ), 2 r2 (U2 ) . 这种参数系称为映射 的适 用参数系.
id : 1 2 : (u1 , v1 )
(u2 , v2 ) (u1 , v1 ) ，
保长对应(等距对应) 设映射 : S1 S2 是 3 次以上连续可微的. 如果 对每一点 p S1 ，切映射 都保持切向量的长度， 即
曲面上正交参数曲线网的存在性
假定在曲面 S : r r (u, v) 上有两个处处线性无 关的、连续可微的切向量场 a (u, v) , b (u, v) . 则对每 一点 p S ，必有 p 点的一个邻域 U S ，使得在 U 上 存在新的参数 (u, v ) ，满足 ru // a ， rv // b .
S1
r1
S2
r2
D2
D1
曲面到曲面的连续可微映射 将映射 : S1 S2 通过它们的参数用两个函数 表示出来，则有
如果这两个函数都是连续可微的， 则称映射 是连续可微的.可微与这两个曲面的参数取法无 关.
u2 f (u1 , v1 ) v2 g (u1 , v1 )
1
2
保角对应(共形对应) 对于保角对应 ，在每一点 p S1 ，切映射
: Tp S1 T ( p ) S2 都是线性同构，否则 X ,Y 无意
义. 因此可以选取适用参数系 (u, v) 使得映射 就 是具有相同参数的点之间的对应.
保角对应(共形对应)
引理 设 V ,W 是两个欧氏空间(即带有内积 , 的 实向量空间)， : V W 是线性同构. 如果 保持向 量之间的夹角： ( u, v) (u, v), u, v V ，则 ， 使得 2 u, v u, v , u, v V . 反之，若 ，使得上式成立，则 保持向量之 间的夹角.
保长对应(等距对应) 注 2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应 ，在每一点 p S1 ，切映射 : Tp S1 T ( p ) S2 都是线性同构，从而局部地 是微分 同胚，存在适用参数系.
保长对应(等距对应) 设映射 : S1 S2 是 3 次以上连续可微的. 则 是等距对应的充分必要条件是 I2 dr1 dr1 dr1 dr1 I1 ， 即在对应点，成立
X X ， X Tp S1 ， p S1 .
则称 是从 S 到 S2 的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry).
1
保长对应(等距对应) 注 1. 保持向量长度的线性映射一定保持内 积，因此若 : S1 S2 是等距对应，则有 X Y X Y ， X , Y Tp S1 ， p S1 . 反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长 度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长， 即有 L(C) L( (C)) .
切映射
对每一点 p S1 ， 可以通过下面的方法定义一个 线性映射 : Tp S1 T ( p ) S2 : X a r1 u b r1 v X ， 上面定义的映射 称为由连续可微映射 诱导的 切映射.
切映射 切映射也可以用另一种方法来定义： 将 S1 上 的曲线 C 映为 S2 上的曲线
适用参数系
设映射 : S1 S2 是 3 次以上连续可微的. 如果在 p 点切 映射 : Tp S1 T ( p ) S2 是线性同构，则分别有 p 点的邻域 U1 S1 和 ( p ) 点的邻域 U 2 S2 ， (U1 ) U2 ，以及 U1 , U 2 上 的参数系 (u1 , v1 ) 和 (u2 , v2 ) ，使得映射 |U1 的参数表示为
2
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保角对应(共形对应) 设映射 : S S 是三次以上连续可微的一一对 应. 如果 X , Y X ,Y ， X , Y Tp S1 ， p S1 ，其中 X 0,Y 0 ，
1 2
则称 是从 S 到 S 的保角对应，或称共形对应 (conformal correspondence).
曲面上正交参数曲线网的存在性
在曲面 S : r r (u, v) 上每一点 p S ，有 p 点的一 个邻域 U S ，使得在 U 上存在新的参数 (u, v ) ，满足 F ru rv 0 .
作业：习题 3.4：1，2
保长对应和保角对应
曲面到曲面的连续可微映射 设有两个曲面. 因为曲面上的点 p 与它的参 数(曲纹坐标)是一一对应的，所以从曲面 S1 到曲面 S2 的映射 : S1 S2 可以通过它们的参数表示出来， 即有映射 : D1 D2 使得 r2 r11 ， 或 r21 r1 .
v . v
保角对应(共形对应)
所以在适用参数系下，保角对应的条件 就简化为 E 2 E , F 2 F , G 2G .
保角对应(共形对应)
设映射 : S1 S2 是三次以上连续可微的一一 对应. 则 是保角对应的充分必要条件是存在 S1 上的正的连续函数 : S1 ，使得 I 2 2 I1 ， 其中 I1 ， I 2 分别是 S1 ， S2 的第一基本形式.