高等数学习题详解-第6章 定积分

习题6-1
1． 利用定积分的几何意义求定积分：
(1)
1
2xdx ⎰
；
(2)
⎰
(0)a >．
解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10
2xdx ⎰表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角
形的面积,而此三角形面积为1,所以
1
21xdx =⎰．
(2) 根据定积分的几何意义知
,
⎰
表示由曲线0,y x x a ===及
x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为2
14
πa ,
所以2014a a =⎰π.
2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：
(1)
1
2
x dx ⎰
与1
3
x dx ⎰； (2)
1
x
e dx ⎰与1
(1)x dx +⎰．
解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即2
3
x x ≥,
又2
x
3x ,所以11
230
x dx x dx >⎰⎰．
(2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x
e x ≥+，所以1
1
0(1)x e dx x dx >+⎰
⎰.
3． 估计下列各积分值的范围：
(1)
4
2
1
(1)x dx +⎰；
(2) arctan xdx ；
(3)
2
a
x a
e
dx --⎰
（0a >)； (4)
22
x x
e dx -⎰
．
解 (1) 在区间[]1,4上，函数2
()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,
最小值(1)2m f ==,所以4
2
1
2(41)(1)17(41)d x
x -≤+≤-⎰,
即 4
21
6(1)51x dx ≤
+≤⎰
．
(2) 令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=+
+,
当
x ∈时,()0f x '>,从而()f x
在上是增函数,从而f (x )
在
上的最大值M f ==,最小
值m f ==,所以
2arctan 93xdx =≤≤=
ππ
即
2arctan 93xdx ≤≤ππ
．
(3) 令2()x f x e -=,则2
()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =，又(0)1f =，
2
()()a f a f a e -=-=,a >0时, 2
1a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值
2
e a m -=,所以
2
2
22a
a x a
a dx a ---≤≤⎰e e .
(4) 令2()x x
f x e
-=,则2
()(21)x
x
f x x e -'=-,令()0f x '=得驻点1
2
x =
,又(0)1,f = 1
24
1(),(2)2
f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 2
12
24
2x
x
e
e dx e --≤≤⎰．
习题6-2
1． 求下列导数：
(1)
0d dx ⎰; (2) 5ln 2x t d t e dt dx -⎰； (3) cos 2
0cos()x d t dt dx π⎰; (4)
sin x d t dt dx t π⎰ (0x >)． 解 (1)
d dx =⎰ (2) 55ln 2x t x
d t
e dt x e dx --=⎰. (3)
cos 222
cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dx πππ'=⋅=-⎰. (4) sin sin sin x x d t d t x
dt dt dx t dx t x
ππ=-=-⎰⎰.
2． 求下列极限：
(1) 0
2
arctan lim
x
x tdt x →⎰； (2)
()22
2
20
e lim
e x
t x
x t dt t dt
→⎰⎰
．
解 (1) ()0
22000021arctan arctan arctan 11(1)lim lim
lim lim 222x x
x x x x tdt tdt x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'
⎰⎰．
(2) (
)
(
)
2
2
222
222
22
2
0000
20000220022lim lim lim lim x
x
x x t t t x t
x x x x x x x t x t e dt e dt e dt e dt xe xe te dt
te dt →→→→'⎡
⎤⋅⎢⎥⎣
⎦==='⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰e []
22
2
2202000222lim lim lim 2122x t x x x x x x x e dt e x e xe x xe →→→'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰． 3． 求由方程
e cos 0y
x
t dt tdt +=⎰
⎰所确定的隐函数()y y x =的导数．
解 方程两边对x 求导数得:
cos 0e y y x '⋅+=, cos e y
x
y '∴=-
， 又由已知方程有00
0sin e y x
t
t +=,即1sin sin 00e y x -+-=， 即1sin e y
x =-,于是有cos cos sin 1
e y
x x
y x '=-
=-． 4． 计算下列定积分：
(1)
1
⎰
； (2)
2
21
d x x x --⎰
；
(3) 设,0,2
()sin ,2
x x f x x x πππ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤;⎪⎩ ，求0
()f x dx π⎰
(4)
⎰
．
解 (1)
4
321
1
21433x ==⎰
.
(2)
2
1
2
2222
1101()()()dx x x dx x x dx x x dx x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰
012
3223321011111111163
22332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
(3) ()
2
2220
2
2
()sin 1cos 8
2x
f x dx xdx xdx x π
π
π
π
π
π
ππ=+=
+=+
-⎰
⎰⎰
(4)
3
2
3
2
2(2)(2)xdx x dx x dx =-=-+-⎰
⎰⎰⎰
23
2202
115
(2)(2)222x x x x =-+-=．
5．设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在(),a b 内可导,()0f x '≤,1()()x
a
F x f t dt x a =-⎰；
证明：在(),a b 内有()0F x '≤． 证明 2
2
111
()()()()()()()()x
x a
a F x f t dt f x x a f x f t dt x a x a x a ⎡⎤'=-
+=
--⎢⎥⎣⎦
---⎰
⎰
[][][]21
()()()(),(,,)()
x a f x x a f a x a b x a ξξ=
---∈∈- (),((,)(,))x f x a b x a
ξ
ηηξ-'=
∈∈-． 由已知条件可知结论成立．
习题 6-3
1． 计算下列积分：
(1) 3
sin()x dx π
ππ
+3⎰； (2) 32(115)dx x 1-+⎰；
(3)
1
-⎰
； (4) 320
sin cos d ϕϕϕπ⎰
；
(5)
2
2cos udu ππ6
⎰
；
(6)
2
e 1
⎰
(7)
1
；
(8)
；
(9)
ln 3
ln 2
e e x x
dx --⎰
； (10) 3222dx
x x +-⎰． 解 (1)
3
3
3
sin()sin()()[cos()]x dx x d x x π
π
πππ
πππ
π
π
+=++=-+3333⎰
⎰
42cos
cos 033
ππ
=-+=. (2) 1
2
33222
11(511)1
51
(511)(115)5(511)10512
dx d x x x x 1
1---+==-
=
+++⎰⎰. (3)
1
111(54)14x --=--==⎰
⎰.
(4)
2334220
00
11
sin cos cos cos cos 44d d π
π
π
ϕϕϕϕϕϕ=-==-⎰
⎰.
(5) 2
22221cos 211
cos cos 2(2)224u udu du du ud u ππ
ππ
ππππ66
66+==+⎰⎰⎰⎰
26
11sin 226264u π
ππππ⎛⎫=
+=- ⎪⎝⎭ (6)
2
22
1
1
1)e e ===⎰
⎰. (7) 令tan x t =，则2
sec dx tdt =，当1x =时，4t π=
；当x =3t π=； 于是
3
3
21
4
4
cos 1
sin sin t dt t t
π
π
ππ
==-=⎰． (8)
令x t =,
则dx tdt =,当0x =时，0t =
；当x =
,2
t π
=
； 于是
22
220
1
2cos (1cos 2)(sin 2)22tdt t dt t t π
ππ
π==+==+⎰⎰
．
(9) 令x
e t =，则1ln ,d x t x dt t
==，当ln 2x =时，2t =;；当ln 3x =时,3t =；
于是
3
ln3
332ln 2
2221113111(ln ln )12222
111x x dx dt t dt e e t t t t --⎛⎫====- ⎪---++⎝⎭⎰
⎰⎰． (10)
3
3
322
22
11111()ln 231232dx x dx x x x x x -=-=+--++⎰
⎰
1211
(ln ln )ln 2ln 53543
=-=- 2． 计算下列定积分： (1)
1
0e x
x dx -⎰
； (2)e
1
ln x xdx ⎰；
(3)
4
1⎰； (4) 32
4
sin x
dx x
ππ⎰
； (5) 220
e cos x xdx π
⎰
； (6) 2
21
log x xdx ⎰；
(7)
π
2
(sin )x x dx ⎰
； (8) e
1
sin(ln )x dx ⎰．
解 (1)
111
1000
x x x x
xe dx xde xe e dx ----=-=-+⎰⎰⎰
1
1101
2
1x e e
e e e e
----=--=--+=-．
(2) 222221
1111111111ln ln ln (1)222244
e e e e e
x xdx xdx x x xdx e x e ==-=-=+⎰⎰⎰．
(3) 44411111
2ln 28ln 2dx x dx x ==-=-⎰⎰⎰
8ln 24=-．
(4)
33
332
4
4
4
4
cot cot cot sin x
dx xd x x x xdx x ππ
π
π
π
πππ
=-=-+⎰⎰⎰
34
π131ln ln sin 4224x
ππ
π⎛=+=+ ⎝．
(5)
22222222
cos sin sin 2sin x x x
x e xdx e d x e x
e xdx π
π
π
π==-⎰
⎰⎰
2222220
2
cos 2cos 4cos x x
x e e d x e e x
e xdx π
π
ππ
π=+=+-⎰
⎰
220
e 24
cos x e xdx π
π
=--⎰
于是
22
1cos (2)5x
e xdx e π
π=-⎰． (6) ()
222222211112
222
1111log ln ln 2ln 22ln 211ln 2ln 22x xdx xdx x x xdx x x x ==-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰ 133(4ln 2)22ln 224ln 2
=-=-． (7) 2
2320000
1111(sin )(1cos 2)(sin2)2232x x dx x x dx x x d x ππππ
=-=-⎰⎰⎰ 33
200011(sin 22sin2)cos26464
x x x xdx xd x ππ
πππ=--=-⎰⎰ 3001(cos 2cos2)64
x x xdx ππ
π=
--⎰ 3301sin 264864
x π
ππππ=
-+=-． (8)
11
1
sin(ln )sin(ln )cos(ln )e
e
e
x dx x x x dx =-⎰
⎰
1
1
sin1cos(ln )sin(ln )e
e
e x x x dx =--⎰
1
sin1cos11sin(ln )e
e e x dx =-+-⎰
所以
1
1
sin(ln )(sin1cos11)2
e
x dx e e =-+⎰． 3． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分：
(1)
1
1ln(x dx -⎰ ； （2）1
2
12sin 1x
dx x -++⎰
(3)
2
2
2
(x dx -+⎰
; (4)
422
4cos d θθππ-⎰
．
解 (1)
ln(x 是奇函数，
1
1
ln(0x dx -∴
=⎰
．
(2) 2sin 1x
x +
是奇函数，121sin 01x dx x -∴=+⎰， 因此 111
2
21112sin 22arctan 11x dx dx x x x π---+===++⎰⎰． (3)
2
2
2
2
22
2
((42416x dx dx dx ---=+==⎰
⎰⎰．
(4) ()2
4
4
2220
2
2
20
1cos 24cos 8cos 822
12cos 2cos
231384222
d d d d θθθθθθθθθ
πππ
πππ-π
+⎛⎫== ⎪⎝⎭
=++=⋅⋅⋅=
⎰
⎰⎰
⎰．
4． 证明下列等式： (1) 证明：
1
1
00
(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰
⎰；
(2) 证明：1
1
2
2111x
x dx dx x x =++⎰⎰ (0x >)； (3) 设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a ∈-∞+∞，有
0()()a T
T
a
f x dx f x dx +=⎰
⎰．
证 (1)令1x t -=，则dx dt =-，当0x =时，1t =；当1x =时，0t =；
于是
1
11
1
(1)(1)()(1)(1)m n
m n
n
m
n m x x dx t t dt t t dt x x dx -=--=-=-⎰
⎰⎰⎰，
即
1
1
(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰
⎰．
(2) 令1x t
=
则21
dx dt t -=，
于是11
1
11112
2222112
1
1111111111t x
x t t dx dt t dt dx x t
t x t t
⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰d ，
即 1
1
2
2111x
x dx dx x x =++⎰⎰． (3) 因为
()()()a T
T a T
a
a
f x dx f x dx f x dx ++=+⎰
⎰⎰
，而
()()()a T
a
a
a
f x dx x t T f t T dt f t dt +=++=⎰
⎰⎰令
()()()a
T T
a
f x dx f x dx f x dx ==-⎰
⎰⎰
故
()()a T
T a
f x dx f x dx +=⎰
⎰．
4． 若()f t 是连续函数且为奇函数，证明0
()x
f t dt ⎰
是偶函数；若()f t 是连续函数且为偶函
数，证明
()x
f t dt ⎰
是奇函数．
证 令0
()()x
F x f t dt =
⎰
．
若()f t 为奇函数，则()()f t f t -=-，令t u =-，可得
()()()()()x
x x
F x f t dt f u du f u du F x --==--==⎰
⎰⎰,
所以0
()()x
F x f t dt =
⎰
是偶函数．
若()f t 为偶函数，则()()f t f t -=，令t u =-，可得
()()()()()x
x x
F x f t dt f u du f u du F x --==--=-=-⎰
⎰⎰,
所以0
()()x
F x f t dt =
⎰
是奇函数．
5． 利用分部积分公式证明：
()
()()()d x
x
u
f u x u du f x x du -=⎰
⎰
⎰
．
证 令0
()()u
F u f x dx =⎰
则()()F u f u '=,
则
(())()()()x
u x x
x
f x dx du F u du uF u uF u du '==-⎰⎰
⎰⎰
()()()()x
x x
xF x uf u du x f x dx uf u du =-=-⎰
⎰⎰
()()()()x
x
x
x
x f u du uf u du xf u du uf u du =-=-⎰
⎰⎰⎰
()()x
x u f u du =
-⎰
． 习题6-4
1． 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：
(1) 2y x =与22y x =-； (2) x y e =与0x =及y e =； (3) 24y x =-与0y =； (4) 2y x =与y x =及2y x =；
(5) 1
y x
=
与y x =及2x =； (6) 2y x =与2y x =-； (7) ,x x y e y e -==与1x =；
(8) sin (0)2
y x x π
=≤≤
与0,1x y ==． 解 (1)两曲线的交点为(1,1),(1,1)-，取x 为积分变量，[]1,1x ∈-，面积元素
22(2)dA x x dx =--，于是所求的面积为
1
1
2
311
18
2(1)2()33A x dx x x --=-=-=⎰．
(2) 曲线x y e =与y e =的交点坐标(1,)e ， x y e =与0x =的交点为(0,1)，取y 为积分变量，[]1,y e ∈，面积元素ln dA ydy =；于是所求面积为
11
1
ln (ln )1e
e
e A ydy ydy y y y =
==-=⎰
⎰．
(3)曲线2
4y x =-与0y =的交点为(2,0),(2,0)-，取x 为积分变量，[]2,2x ∈-，面积元
素2(4)dA x dx =-，于是所求的面积为
2
2
2322
132
(4)(4)33A x dx x x --=-=-=
⎰． (4) 曲线2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1)；2
y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4)；
它们所围图形面积为：
1212
220
1
1
(2)(2)(2)A x x dx x x dx xdx x x dx =-+-=+-⎰⎰⎰⎰
2
23120
1
117()
2
3
6
x x x =
+-=
．
(5) 曲线1y x =
与y x =的交点为(1,1)，1y x =与2x =的交点为1(2,)2
；取x 积分变量，[]1,2x ∈，面积元素1
()dA x dx x
=-，于是所求的面积为
2
2
211
113
()(ln )ln 222A x dx x x x =-=-=-⎰．
(6) 曲线2
y x =与2y x =-的交点为()()114,2-，和，取y 作积分变量，[]1,2y ∈-，
面积元素2
(2)dA y y dy =+-，于是所求的面积为
2
2
2
2311
117
(2)(2)232A y y dy y y y --=+-=+-=⎰．
(7) 曲线x y e =与x y e -=的交点(0,1)，取x 作积分变量,[]0,1x ∈，面积元素
()x x dA e e dx -=-，于是所求图形的面积为
1
)()
2x x x x A e e dx e e e e
--=-=+=+-⎰1
01
(．
(8)取x 作积分变量，0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，面积元素(1sin )dA x dx =-，于是所求的面积为 220
(1sin )(cos )12
A x dx x x ππ
π
=-=+=-⎰．
2． 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：
(1) 1,4,0y x x y =
===，绕x 轴；
(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴； (4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．
解 (1)取x 作积分变量，[]1,4x ∈
，体积元素2dV dx xdx ππ==，于是所求旋转体的体积为
4
4
21
1
15
2
2V xdx x π
ππ==
=
⎰． (2)绕x 轴旋转时，取x 作积分变量，[]0,2x ∈，体积元素32()x dV x dx π=，于是
2
2
670
128
7
7
x V x dx x π
ππ==
=
⎰； 同理可求平面图形绕y 旋转所成的旋转体的体积
8
58
223
00
3642(4)55y V dy y y πππ⎡⎤=-=-=⎣⎦⎰．
(3)曲线2y x =与2x y =的交点为(0,0),(1,1)，取y 作积分变量[]0,1y ∈
，体积元素
222
()dV y dy π⎡⎤=-⎣⎦，于是所求的旋转体的体积为
1
1
42500
113()()2510V y y dx y y π
ππ=-=-=
⎰． (4) 取y 作积分变量[]1,1y ∈-
，体积元素
22(5(520dV dy π⎡⎤=-=⎣⎦
，
于是所求的旋转体的体积为
1212020102
V π
ππ-==⋅=⎰．
3．设某企业边际成本是产量Q （单位）的函数0.2()2Q
C Q e '=（万元／单位），其固定成本为090C =（万元），求总成本函数． 解 总成本函数为
0.200
()()290Q Q
Q C Q C Q dQ C e dQ '=+=+⎰⎰
0.20.20
10901080Q
Q Q e e =+=+．
4．设某产品的边际收益是产量Q （单位）的函数()152R Q Q '=-（元／单位），试求总收益函数与需求函数． 解 总收益函数为
20
()(152)15Q
R Q Q dQ Q Q =-=-⎰
需求函数为
()
15R Q P Q Q
=
=-． 5．已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数()25,0f t t t =+≥，问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?
解 设产品总产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量
55
2510
()(25)(5)50Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰． 第二个5月的总产量为
1010
210
25
5
5
()(25)(5)
100Q f t dt t dt t t ==+=+=⎰⎰．
6．某厂生产某产品Q (百台)的总成本()C Q (万元)的变化率为()2C Q '=(设固定成本为零)，总收益()R Q (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数()72R Q Q '=-．问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?
(2) 在利润最大的基础上又多生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-
当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=,
2.5Q =(百台)时,总利润最大，此时的总成本和总收益分别为
2.5 2.5
2.50
()225C C Q dQ dQ Q
'====⎰⎰
2.5
2.5
2.520
()(72)(7)
11.25R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=⎰⎰
总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).
即当产量为2.5(百台)时,总利润最大，最大利润是6.25万元．
(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,
总成本3
3
00()26C C Q dQ dQ '===⎰
⎰，
总收入3
3
23
000
()(72)(7)12R R Q dQ Q dQ Q Q '=
=-=-=⎰⎰， 总利润为1266L R C =-=-=(万元)．
减少了6.2560.25-=万元．
即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元．
习题 6-5
1． 判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)
41
dx
x
+∞
⎰
； (2)
1
+∞
⎰
； (3) 0x
e dx +∞
-⎰
(a ＞0); (4)
sin xdx +∞
⎰
;
(5)
1
-⎰； (6)
222
dx
x x +∞
-∞
++⎰
；
(7)
21
⎰
； (8)10
ln x xdx ⎰；
(9)
e
1
⎰
； (10)
2
3
(1)dx
x -⎰
．
解 (1)
1
43
1
11
33
dx x x +∞
+∞
=-=⎰
．此反常积分收敛．
(2)
1
+∞
==+∞⎰
．此反常积分发散． (3) 1
1x x
e dx e +∞
--+∞=-=⎰
．此反常积分收敛．
(4) 0
0sin cos lim cos 1x xdx x
x +∞
+∞→+∞
=-=-+⎰
不存在，此反常积分发散．
(5)
1
1
1arcsin x π--==⎰．此反常积分收敛．
(6)
22(1)arctan(1)
22(1)1
dx
d x x x x x π+∞
+∞+∞-∞
-∞
-∞+==+=++++⎰
⎰．此反常积分收敛．
(7)
2
32
221
10012lim lim (1)3x εεεε
+++→→+⎡==-+⎢⎣⎰
⎰
320222lim 22333εε+→⎛==-- ⎝．此反常积分收敛． (8)
1
1122221
000111111ln lim
ln lim ln lim ln 2224
24x xdx xdx x x xdx εεεεεεεεε→→→⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰
⎰⎰， 所以
1
1220001111
ln lim ln lim (ln )4244
x xdx x xdx εεεεεε++→→==--=-⎰⎰．此反常积分收敛．
(9)
11
1
π
arcsin(ln )2
e
e
e
x ===
⎰
⎰
．此反常积分收敛． (10)
2
12333
01(1)(1)(1)dx dx dx
x x x =+
---⎰
⎰⎰， 因为反常积分1
1
32001(1)(1)dx x x ==∞--⎰发散，所以反常积分230(1)
dx
x -⎰发散． 2． 当k 为何值时，反常积分
+2
(ln )
k
dx
x x ∞
⎰
收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 解 当1k =时，
++2
2
2ln ln(ln )ln ln dx
d x x x x x
∞
∞+∞===+∞⎰
⎰,发散.
当1k ≠时,
1++12
2
211(ln )(1)(ln 2)(ln )ln (ln )11
k
k k
k k dx x k x d x x x k
k -∞
∞
--+∞
⎧
>⎪
-==
=⎨-⎪+∞<⎩
⎰
⎰
所以，当1k >时，此广义积分收敛；当1k ≤时，此广义积分发散． 3． 利用递推公式计算反常积分+0
e n x n I x dx ∞
-=⎰
．
解 ++110
n x n x
n x n n I x de x e n x e dx nI ∞
∞
----+∞
-=-
=-+=⎰
⎰
,
因为 +10
1x x x
I xde xe e ∞
---+∞+∞=-
=--=⎰
,
所以 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= .
复习题6
（A ）
1、 求下列积分：
（1）1
21tan sin 1x
dx x -+⎰； （2
）⎰； （3
）
2
x
⎰
； （4
）ln 0
⎰
；
（5）2
1
220(1)x dx x +⎰； （6
）1⎰；
（7）
1
20
x x e dx -⎰
； (8)
21
(ln )e
x dx ⎰
；
(9) 4
01cos 2x
dx x
π
+⎰； (10) 20
cos x e xdx π-⎰
；
(11) 2
0sin 1cos x x
dx x
π
++⎰； (12) 40ln(1tan )x dx π
+⎰． 解 (1) 因为被积函数2tan sin 1
x x +是奇函数,所以121tan 0sin 1x
dx x -=+⎰．
(2)
=⎰
⎰，令1sin x t -=，则cos dx tdt =；
当0x =时，2
t π
=-
；当1x =时，0t =；所以
02
22
2
1cos 2sin 2cos 2244t t t tdt dt ππππ---+⎡⎤
===+=⎢⎥⎣⎦⎰
⎰⎰． (3) 令2sin x t =，则2cos dx tdt =，当0x =时，0t =；当2x =时，2
t π
=
；所以2
2
2
2
2220
4sin 4cos 4sin 22(1cos 4)x
t tdt tdt t dt ππ
π=⋅==-⎰
⎰⎰⎰
20
1
2(sin 4)4t t π
π=-=． (4)
t =，则2
21
t
dx dt t =
+，当0x =时，0t =；当ln 2x =时，1t =
；所以2ln 1
1
200
022(arctan )2(1)14
t dt t t t π==-=-+⎰
⎰． (5) 令tan x t =，则2
sec dx tdt =，当0x =时，0t =；当1x =时，4
t π
=
；所以2241
244
2240000tan 1cos 2sin 21sec ()(1)sec 22484x t t t t dx tdt dt x t π
ππ
π-===-=-+⎰⎰⎰．
(6) 令sec x t =，则sec tan dx t tdt =，当1x =时，0t =；当2x =时，3
t π
=
；所以2
23330
1
00tan sec tan tan (tan )sec 3
t dx t tdt tdt t t x t πππ
π===-=⎰
⎰⎰． (7)
1
1
1
1
1
22
21
00
00
22x
x
x x x x e dx x de
x e
xe dx e xde ------=-=-+=--⎰
⎰⎰⎰
1
1
11
110
223225x x x e xe e dx e e e ------=--+=--=-⎰．
(8)
22111
111(ln )ln 2ln 2ln 22e
e e e e
x dx x x x x dx e x x dx e x
=-⋅=-+=-⎰
⎰⎰．
(9) 4
444000
0tan tan tan 1cos 2x dx xd x x x xdx x π
πππ
==-+⎰⎰⎰ 401ln cos ln 2442
x π
ππ=+=-． (10)
2222
cos cos cos sin x
x
x
x e xdx xde
e x e xdx π
π
ππ
----=-=--⎰
⎰⎰
2220
00
1sin 1sin cos x
x
x xde
e x e xdx π
ππ
---=+
=+-⎰
⎰
22
1cos x e
e xdx π
π-
-=+-⎰，
所以 2201
cos (1)2
x
e xdx e π
π--=+⎰．
(11)
2
222
20
00002sin sin cos tan 1cos 1cos 21cos 2cos
2
x x x x x d x dx dx dx xd x x x x π
ππππ
+=+=-+++⎰
⎰⎰⎰⎰
22
2
0002
2
00
tan tan ln(1cos )222ln cos ln(1cos )22x x x dx x x x π
ππ
π
ππ
=--+=--+⎰
20ln 22ln cos
2
22
x π
π
π=
++=． (12) 44
440
00cos sin ln(1tan )ln ln(cos sin )ln cos cos x x x dx dx x x dx xdx x
π
πππ
++==+-⎰
⎰
⎰⎰
令
4
x u π
-=
，可得
04
40
041ln(cos sin )ln cos()(ln 2ln cos )42
x x dx x dx u du π
π
ππ⎤
+=-=-+⎥⎦⎰
⎰⎰
40
ln 2
ln cos 8
xdx π
π=+⎰
所以
40
ln 2
ln(1tan )8
x dx π
π+=
⎰
．
2、设()f x 在[],a b 上连续，且
()1b
a
f x dx =⎰
，求()b a
f a b x dx +-⎰．
解 令a b x t +-=，则dx dt =-，当x a =时，t b =；当x b =时，t a =；所以
()()()1b
a
b
a
b
a
f a b x dx f t dt f t dt +-=-==⎰
⎰⎰．
3、设()f x 为连续函数，试证明：
()()(())x
x t
f t x t dt f u du dt -=⎰
⎰⎰．
证 用分部积分法，
(())()(())x
x
t t
x t
f u du dt t f u du td f u du =-⎰
⎰⎰⎰⎰
()()()()x
x x x
x f u du tf t dt xf t dt tf t dt =-=-⎰
⎰⎰⎰
()()x
f t x t dx =-⎰
．
4、设()u ϕ为连续函数，试证明：220
()2()a
a a
x dx x dx ϕϕ-=⎰
⎰．
证
2220
()()()a
a
a
a
x dx x dx x dx ϕϕϕ--=+⎰
⎰⎰，
令x t =-，则0
022220
()(())()()a a
a
a
x dx t dt t dt x dx ϕϕϕϕ-=--==⎰
⎰⎰⎰
所以
022220
()()()2()a
a a
a
a
x dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕ--=+=⎰
⎰⎰⎰．
5、计算下列反常积分：
（1）20
48dx
x x +∞
++⎰
； （2）21arctan x dx x
+∞⎰； （3
）
1
⎰
； （4
）1
e ⎰ 解 (1)
2220
00(2)12arctan 48(2)2228dx d x x x x x π
+∞
+∞
+∞++===++++⎰⎰． (2)
221
1
11arctan 1arctan 1
arctan (1)
x x dx xd dx x x x x x +∞
+∞
+∞+∞=-=-++⎰
⎰⎰ 2
2
1
11
ln
ln 242142
x
x π
π
+∞
=
+=
++.
(3)
11
10022π⎡===⎣⎰
⎰．
(4)
1
12e
e ===⎰
⎰． 6、求抛物线22y px =及其在点(
,)2p
p 处的法线所围成的平面图形的面积． 解 抛物线2
2y px =在点(,)2p p 处的法线方程为32
x y p +=，两曲线的交点为
9(,3),(,)22
p
p p p -；取y 作积分变量3p y p -≤≤，所求的平面图形面积为 2232
333131116()()222263p
p
p p
A p y y dy py y y p p p --=--=--=⎰
． 7、求由曲线32
y x =与直线4,x x =轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．
解 曲线3
2
y x =与直线4x =的交点为(4,8)，取y 作积分变量，08y ≤≤，体积元素
223243
4()(16)dy y dy y dy ππ⎡⎤=-=-⎣⎦
于是，所求的旋转体的体积为
8
8
4700
3512
(16)(16)77V y dy y y πππ=-=-=⎰．
8、设某产品的边际成本为()2C Q Q '=-（万元/台），其中Q 代表产量，固定成本022C ==（万元），边际收益()204R Q Q '=-（万元/台）．试求： (1) 总成本函数和总收益函数； (2) 获得最大利润时的产量；
(3) 从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化．
解 (1)总成本函数2
00
1()(2)2222
Q C Q Q dQ C Q Q =-+=-+⎰， 总收益函数20
()(204)202Q
R Q Q dQ Q Q =
-=-⎰
．
(2)利润函数2
3()()()18222
L Q R Q C Q Q Q =-=-
-，令()0L Q '=,得6Q =(台)，而(6)30L ''=-<，所以当产量6Q =(台)时，利润最大．
(3)(10)(6)83224L L -=-=-，所以从最大利润时的产量又生产了4台，总利润减少了24（万元）．
(B) 1、填空题：
(1)
202
cos x d x t dt dx
=⎰ . (2) 设()f x 连续，2
20
()()x F x xf t dt =
⎰
，则()F x '= .
(3) 20
sin()x
d x t dt dx -=⎰ . (4) 设()f x 连续，则220
()x
d tf x t dt dx -=⎰ . (5) 设20cos ()1sin x
t f x dt t
=+⎰,则220()1()f x dx f x π
'=+⎰ . (6) 设()f x 连续，且1
()2()f x x f x dx =+⎰
，,则()f x = .
(7) 设()f x 连续，且
()1cos x
tf x t dt x -=-⎰
,则20()f x dx π
=⎰ .
(8)
2ln e dx
x x +∞
=⎰ .
解 (1) 2220002224
cos (cos )cos (cos )2x x x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx
==+-⋅⎰⎰⎰
2
224cos 2cos x
t dt x x =
-⎰
.
(2) 222
220
0()(())()()2x x d F x x f t dt f t dt x f x x dx '=
=+⋅⋅⎰⎰ 2
2220
()2()x f t dt x f x =
+⎰
.
(3) 令x t u -=,则0
2
2
20
sin()sin ()sin x
x
x
x t dt u du u du -=-=⎰
⎰⎰
所以
222
00sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx -==⎰⎰. (4)令22
x t u -= 则222222001()()()2x x tf x t dt f x t d x t -=---⎰⎰
2
200
11()()22x x f u du f u du =-=⎰⎰．所以
2222
00
1()()()2x x d d tf x t dt f u du xf x dx dx -=⋅=⎰⎰． (5)
2
2200
()arctan ()arctan ()arctan (0)1()2
f x dx f x f f f x π
π
π'==-+⎰
， 而0
2222000cos cos (0)0,()arctan(sin )1sin 21sin 4
t t f dt f dt t t t ππ
ππ=====++⎰⎰，所以2
20
()arctan
1()4
f x dx f x π
π
'=+⎰
(6) 等式1
()2
()f x x f x dx =+⎰
两边在区间[]0,1积分得
1
1
1
10
01
()2()2()2
f x dx xdx f x dx f x dx =+=
+⎰
⎰⎰⎰
1
1
()2
f x dx =-⎰， 所以 ()1f x x =-．
(7)令x t u -=，则du dt =-，于是
00()()()x
x
tf x t dt x u f u du -=-⎰
⎰
原等式化为 0
()()1cos x
x
x f u du uf u du x -=-⎰⎰
两边对x 求导
()sin x
f u du x =⎰
在上式中，令2
x π
=
，得
()1x
f x dx =⎰
．
(8)
22ln 11ln ln ln e
e e
dx d x x x x x +∞
+∞
+∞==-=⎰
⎰ 2、计算下列积分：
(1) 1
2
0ln(1)
(2)x dx x +-⎰； (2)
31
42
(1)x x dx -⎰
；
(3)
3
1
(2)f x dx -⎰
，其中21()x x f x e
-⎧+=⎨⎩
0x x ≤>； (4)
()f x dx π
⎰
，其中0
sin ()x
t
f x dt t
π=-⎰
． 解 (1) 1
1
1120000ln(1)1ln(1)ln(1)(2)22(1)(2)
x x dx
dx x d x x x x x ++=+=----+-⎰⎰⎰ 1
100
11111
1
ln 2(
)ln 2ln ln 231232
3
x dx x x x +=--=-=+--⎰. (2) 令2
sin x t =，则
3
3
1
14424222
2
20
0001111cos 2(1)(1)cos ()2222t x x dx x dx tdt dt ππ+-=-==⎰⎰⎰⎰
2200
11cos 41313
(12cos 2)(sin 2sin 4)8282832t t dt t t t π
π
π+=++=++=⎰． (3) 令2x t -=，则dx dt =，当1x =时，1t =-；当3x =时，1t =；于是
3
101
1
1
1
(2)()()()f x dx f t dt f x dx f x dx ---==+⎰
⎰⎰⎰
1
21
71
(1)3x x dx e dx e
--=++=
-⎰
⎰. (4) 由题设有sin ()x
f x x
π'=
-，用分部积分法得 00000sin sin ()()()t x f x dx xf x xf x dx dt x dx t
x π
π
π
ππ
π
ππ'=-=---⎰⎰⎰⎰ 000sin sin sin ()x x x
dx x dx x dx x x x
ππππππππ=-=----⎰⎰⎰ 0
sin 2xdx π
=
=⎰
．
3、设13
2
01()()1f x x f x dx x =
++⎰，求10()f x dx ⎰． 解 等式两边在区间[]0,1上积分得
1
1
113
20
0001()()1f x dx dx f x dx x dx x =+⋅+⎰
⎰
⎰⎰
11
1
000
11arctan ()()444x f x dx f x dx π=+=+⎰⎰
解得
1
()3
f x dx π
=
⎰
．
4、求函数2
()(1)x t f x t e dt -=
-⎰
的极值．
解 令2
2
2()(1)22(1)(1)0x x f x x e x x x x e --'=-⋅=--+=，得函数()f x 的驻点：1,0,1-；
当1x <-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<； 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；
所以函数()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =，在1x =±处取得极大值：
1
1(1)(1)t f t e dt e
-±=-=
⎰． 5、设2
1
sin ()x t
f x dt t
=
⎰
，求10()xf x dx ⎰．
解 用分部积分法得
221
2
1
11222200110
01sin 1sin 1sin ()2222x x t t x xf x dx dt dx x dt x xdx t t x ⎡⎤⎡⎤==-⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰
1
122200
11cos11
sin cos 222x dx x -=-==⎰．
6、求曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积． 解 抛物线(1)(2)y x x =--的顶点坐标为3
1(,)24
-
，左、右半支方程分别为：
11()(32x y =
-
和21()(32x y =+；取y 作积分变量，1
04
y -≤≤；体积
元素为22
21(())(())3dV x y x y dy π⎡⎤=-=⎣⎦，因此所求的旋转体的体积为
030
2114
4
33(14)(14)
42
2
V y y π
π
π
--==
+=
+=
⎰⎰
．
７、设2
()()()x
a
x x t f t dt Φ=-⎰
，证明：()2()()x
a
x x t f t dt 'Φ=-⎰．
证 2
2
2
2()(2)()()2()()x
x
x x
a
a
a
a
x x xt t f t dt x
f t dt x tf t dt t f t dt Φ=
-+=-+⎰
⎰
⎰⎰，所以
(
)
2
2()()2()()x
x x
a
a
a
x x
f t dt x tf t dt t f t dt ''Φ=-+⎰⎰⎰
222()()2()2()()x
x
a a
x f t dt x f x tf t dt x xf x x f x =+--⋅+⎰⎰
2()2()2()()x
x x
a
a
a
x
f t dt tf t dt x t f t dt =-=-⎰
⎰⎰．
8、设连续函数()f x 满足(2)2()f x f x =，证明：2110()7()xf x dx xf x dx =⎰⎰． 证 2
02
110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰， 令2x t =，则
2111
0000()2(2)(2)42()8()xf x dx tf t d t t f t dt xf x dx ==⋅=⎰⎰⎰⎰， 所以 2
02
110()()()xf x dx xf x dx xf x dx =+⎰⎰⎰ 1
11000()8()7()xf x dx xf x dx xf x dx =-+=⎰⎰⎰．。