高考数学(人教a版,理科)题库：直接证明与间接证明(含答案)

第2讲 直接证明与间接证明

一、选择题

1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”

上述推理( )

A 小前提错

B 结论错

C 正确

D 大前提错

解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.

答案 C

2．对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题中真命题是( )．

A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α

B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n

C ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n

D ．若m ，n 与α所成的角相等，则m ∥n

解析 对于平面α和共面的直线m ，n ，真命题是“若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ”． 答案 C

3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明

( )． A ．2ab －1－a 2b 2≤0

B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0

解析 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D.

答案 D

4．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”

是否成立( )．

A ．不成立

B ．成立

C ．不能断定

D ．能断定 解析 ∵S n ＝2n 2－3n ，

∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，

∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．

又∵a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，

∴{a n }是等差数列．

答案 B

5．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )．

A ．都大于2

B ．都小于2

C ．至少有一个不大于2

D ．至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，

∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭

⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.

答案 D

6．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(n ＋1)*1＝n *1＋1，

则n *1＝ ( )．

A ．n

B ．n ＋1

C ．n －1

D ．n 2

解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝n. 答案 A

二、填空题

7．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是

________(填序号)．

①反证法，②分析法，③综合法．

答案 ②

8．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．

解析 取a ＝2，b ＝1，得m

a －

b 0，显然成立．

答案 m

9．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b ＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围

是________．

解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)且1a ＋9b ＝1，

∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫9a b ＋b a ≥10＋29＝16，∴a ＋b 的最小值为16. ∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.

答案 (0,16]

10．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：

①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；

②a >b 与a

③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．

其中判断正确的是_______．

解析 ①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，

如a ＝1，b ＝2，c ＝3.选C.

答案 ①②

三、解答题

11．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 证明 a ⊥b ⇔a ·b ＝0，

要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，

只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，

只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，

只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，

即(|a |－|b |)2≥0，

上式显然成立，故原不等式得证．

12．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．

(1)求证：数列{S n }不是等比数列；

(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？

(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，

即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，