3.数列中已知前n项和Sn求an(20200706120351)

已知数列｛a n｝前n项和S n求a n

一、数列｛a n｝前n项和S n求a n理论知识点：

注意：数列｛a n｝的通项公式是否需要分段表示?

二、典例剖析

(一)已知S n与n的关系时，求a n

1、已知数列｛a n｝的前项和为S n，且S n =log! (n 1)，则昕-an……-飞99二__________________ ；

2

2、已知数列｛a n｝的前项和为S n，且lOg2(S n，1)= n 1，求a n。

S

3、(湖北卷)设数列｛a n｝的前n项和为S n，点(n, —)(n・N ”)均在函数y= 3x—2的图像上。

n

(I)求数列｛a n｝的通项公式；

(□)设b n二^^ , T n是数列｛b n｝的前n项和，求使得T n ：：：—对所有n，N ”都成立a na^K 20的最小正整数m。

4. (2009浙江)设S n为数列｛a n｝的前n项和，S n=kn2• n , n・N，其中k是常数.

(I)求a1 及a n ；

(II)若对于任意的N* , a m, a2m, a^成等比数列，求k的值.

5.（2009山东卷理）等比数列｛a n｝的前n项和为S n ,已知对任意的n • N ■，点（n, S n），均在函数y =b x• r（b 0且b =1,b,r均为常数）的图像上.

（1 ）求r的值；

n 1

（11）（文）当b=2时，记b n n N ）求数列｛b n｝的前n项和T n

4a n

（11）（理）当b=2 时，记b n=2（ l o>ga^ n^N* 卜

证明：对任意的n・N ，不等式「.，百成立

b1 b2 b n

（二）已知S n与a n的关系时，求a n

1.（福建）数列｛a n｝的前n项和为S n,印=1,a n 1 =2S n（n・N*）。（1）求数列｛务｝的通项

a n；（2）求数列｛na n｝的前n项和T n。

2.（四川卷）数列:a n /的前n项和记为S n,a^1,a n^2S n 1 n_1

（I）求「a n?的通项公式；

（n）等差数列"4 的各项为正，其前n项和为T n，且^3 - 15，又a1，b,a2^ 3a3 b成等比数列，求T n

3.（上海卷）设数列｛a n｝的前n项和为S n，且对任意正整数n , a n•& =4096。

（1）求数列｛a n｝的通项公式

（2）设数列｛log 2a n｝的前n项和为T n,对数列「T n?,从第几项起T^ -509 ?

4•在正项数列｛务｝的前n项和为S n ,且对任意正整数n , a.二-1, 求证：数列｛a n｝是等差数列，并求数列｛a n｝的通项公式

5.(湖南卷)设S n是数列｛a n｝( n・N* )的前n项和，a^ a，且S； = 3n^ • S；」，a n = 0 , n 二2,3,4, •

(I)证明：数列｛a n .2-a n｝( n > 2 )是常数数列；

(Il )试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列｛b n｝( n ：= N* )中的所有项都是数列｛a n｝中的项，并指出b n是数列｛a n｝中的第几项.

6.(重庆)已知各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和S n满足S n > 1 ,且

6S n 二(a n 1)a n 2肌N

(1)求｛a n｝的通项公式；

(n )设数列｛b n｝满足a n2n-1 =1,并记T n为｛b n｝的前n项和，求证：

3T n 1> log2（a n 3）, n N.

7.(陕西卷)已知正项数列｛a n｝，其前n项和S n满足10S n=a n +5a n+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列｛a n｝的通项a n .

& (上海卷)已知有穷数列｛ a n｝共有2k项(整数k >2),首项a1= 2.设该数列的前n项和为S n ,且

a n 1 = (a T)S n + 2 ( n = 1, 2,…，2k —1),其中常数a> 1.

(1)求证：数列｛ a n｝是等比数列；

丄，1

(2)若a = 22心,数列｛ b n｝满足b n = log 2(a1a^ a n) ( n = 1, 2，…,2k),求数

n

列｛ b n｝的通项公式;

3 3 3 3 (3)若(2)中的数列｛b n｝满足不等式b —|+ | b2—| +…+ |b2k 1—|+ |b2k—|

2 2 - 2 2

< 4，求k的值.

r 、 4 1 2

9.(全国卷I)设数列｛a n｝的前n项的和Sn =—a n——疋2“十+—，n= 1,2,3，理

3 3 3

(I)求首项a1与通项a n；

2n n 3

(□)设T n , n =1,2,3,―二，证明：v T ：：：—

Sn y 2

10.(安徽卷)数列「aj的前n项和为S n，已知a 二n2a n-n n-1 ,n =1,2,

2

(I)写出S n与S n4的递推关系式n-2，并求S n关于n的表达式；

(n)设f n x =S n x n',b n = f n/ P P R，求数列S的前门项和T n。

n

11.已知数列、a n*的前n项和为S n,且满足a^1,a n2S n S n= 0( n 一2),求数列l a n』的通项a n；

1

12.已知数列ta n J 中，a n ^0(n _1),印 ,前n 项和S n 满足：a n

2

的通项a n ；

【小结】已知数列｛a n ｝前n 项和S n 求a n

1、 当S n 与a n 的关系比较直接时，消 S n 求％ ；

2、 当S n 与a n 的关系不直接时，

① 转化为S n 与a n 较直接的关系，消 S n 求务；

② 不能转化为S n 与a n 较直接的关系时，消 a n 求& ,再求a .。

三、强化训练

20.( 2009 广东)

1

已知点(1，丄)是函数f(x)二a x (a . 0,且a = 1)的图象上一点，等比数列

3

项和为f(n) -C,数列｛b n ｝ (b n 0)的首项为C ,且前n 项和S n 满足S n -S nJ (n 一2).

(1 )求数列｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式；

(2)若数列｛—亠｝前n 项和为T n ，问T n >1000的最小正整数n 是多少？ b n b n+ 2009

2S 2

n

2S n -1

{a n }的前n ..S n + ■._ S n J