有限单元法基础介绍

标准化（研究力学理论：任意复杂问题＝>标准化分解，单 元建模>有限种标准单元类型） 规范化（前处理：CAD几何、力学建模、求解、后处理显示） 计算机程序化 （标准程序、模块） 应用的规模化、普及性（可求解大型计算问题108-1010DOF)
南京农业大学工学院机械工程系
2019/1/13
物理系统举例
物理系统
几何体 载荷
结构
热
电磁
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有限元模型

Definition
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
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有限元模型
有限元单元模型中几个重要概念

单元

网格划分中每一个小的块体
单元 单元

节点

确定单元形状、单元之间相互联 结的点
（应变） （应力）

力的平衡方程 几何方程 物理方程
即：
三大方面
三大方程

求解方法



经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
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三大基本方程

根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程。

平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程：
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有限单元法几种典型的分析对象
双向拉索悬索桥
发动机有限元模型
齿轮接触有限元分析
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汽车碰撞实验模拟（福特）
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有限元单元法基本思想

Definition
有限单元法的思想是将物体（连续体）离散成有限个 按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼 近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简 化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。 物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析， 然后再进行整体分析，最终得到整个物体的分析结果。
UY ROTY
参数 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁通
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
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节点和单元
载荷、约束和力等信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
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A
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B
. .
.
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A
1 node
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有限单元法的思路及技术路线
思路

以力学为基础，分析任意变形体的受力情况，运用数值近 似分析方法，以计算机为工具进行分析计算，以获得该结 构所有的力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、 方便，一般工程技术人员熟练掌握后就可以使用。 技术路线


.
.
B
.
.
.
分离但节点重叠的单元 A和B之间无法进行信息传递 （需进行节点合并处理）
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
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节点和单元 (续)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J J
三维杆单元 (铰接)
I
UX, UY, UZ
I
K
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
有限单元法基础介绍
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问题的引出

问题一：
上图所示为一个悬臂梁，其中长度L=2000mm，高 度H＝100mm，宽度B＝50mm，在力P＝1000N作用 下，求该梁A点的挠度。 已知:材料弹性模量E=2.0×1011Pa，泊松比为0.3。


解答：

PL3 BH 3 f I 根据材料力学公式， B 为矩形截面的惯性矩，代入 3EI ，其中 ， 12 已知条件，计算结果为： f B 3.2

x
1 1 2(1 ) ( x y ), y ( y x ), xy xy E E E
(8-1)
1 2 1 2 2(1 ) x ( x y ), y ( y x ), xy xy (8-2) E 1 E 1 E
历史典故 • 结构分析的有限元方法是在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代由一 批学术界和工业界的研究者创立的。 • 有限元分析理论现在已成为悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。
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有限单元法力学基础

各力学学科分支的关系
非变形体（刚体）
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变形体
节 点

节点力

单元上节点处的结构内力
节点力

载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）

载荷

约束

限制某些节点的某些自由度

弹性模量（杨式模量）E 泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
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单元的自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
x yx fx 0 x y
y y xy x fy 0
(6)

根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程： u u v u (7) x , y , xy x y x y 根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：
L
二维或轴对称实体单元 UX, UY
I P J O N I
L
K J
P
O
M
L I
K J
三维实体结构单元 UX, UY, UZ
M L I
三维实体热单元
N
K
J
TEMP
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物体变形及受力情况的描述

基本变量 基本方程

μ
（位移）
εБайду номын сангаас
σ
σ =E ε
E 弹性模量

问题：
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有限元单元法简介

Definition

有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广 泛应用而发展起来的一种现代数值解法。该方法首先应 用在连续力学领域——飞机结构静、动态特性分析中。 随后很快就广泛应用于求解传导、电磁场、流体力学等 连续性问题。 有限元分析是利用数学近似分析方法对真实物理系统 （几何、载荷工况）进行模拟，利用简单而又相互作用 的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知 量的真实系统。