黄金分割及其应用

黄金分割及其应用
作 者：黄武智 俞杰耀 江钊凡 指导老师：陈俊鑫 马鸿良 范世华
摘 要：本文用迭代法计算黄金分割数,并对黄金分割法的基本思想加以阐述,从冷压装配、股票价格变化、求最优值等方面说明黄金分割法在生 活生产中的实际应用,并通过对黄金分割和斐波那契数列的分析、比较, 引出它们的关系最后,介绍了黄金分割的三角表示及黄金图形。

关键词：黄金分割；斐波那契数列；迭代
把一条线段分成两段, 使其中较大的一段是原线段与较小一段的比例中项, 叫做把这条线段黄金分割. 如图1, 在线段AB 上取点C,使得
AC BC
AB AC
=
, 则点C 叫线段AB 的黄金分割点. 显然, 从对称性上考虑, 一条线段有两个黄金分割点,它们关于线段的中心对称. 1、黄金分割 1.1黄金分割数
如图1,设AB=a , AC=x , 则BC=a x -
有2()x a a x =-, 即220x ax a +-=
解得
, 2
a x -±=
舍去负根, 得
AC=1
2
x a -=
A
B
C
D
图1
故
1
2
AC BC AB AC == , 这就是黄金分割数, 以下记为ϕ, ϕ是一个无理数.
因为任何的无理数都可以用有理数逼近．现在我们试图找出一串分数()1,2,3,n
n
a n
b =，使得lim
n n n a b ϕ→∞
=，而且n n
a
b 是所有分母小于或等于n b 的分数中最接近ϕ的.
我们用一种近似方法——迭代法来确定求解黄金分割数ϕ的二次方程式()210f x x x =+-=.
将210x x +-=改写成迭代方程1
1x x
=
+, 易知](0,1x ∈.迭代函数()1
1g x x
=
+，()()211x g x +'=-在区间](0,1上恒有()1g x '<. 因此, 迭代公式11
1
n n x x +=+对任意初始值](00,1x ∈均收敛于方程的根x ''.
取初始值01x =, 可得x ''的一系列近似值(见表1)
表1 方程210x x +-=的根的近似值
从表1可以看出：
（1）当迭代次数n 越大时，n x 越接近于0.618，即0.618ϕ≈, 这就是黄金分割数.
(2){}n x 是x ''的一个渐进分数列,且具有以下规律：设
()12321211,,
,n n n F F F F F F F F n N +
++===+=+∈,即1
2
,.n n n F x n N F +++=∈
1.2黄金分割法的基本思想
黄金分割法, 也叫0.618法, 是黄金分割在优选法上应用的一种方法, 是优化计算中的经典算法, 以算法简单、效果显著而著称, 是许多优化算法的基础．它适用于一维区间[],a b 的单峰函数．其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索范围. 具体地说：
设ｆ是定义在区间[],a b 的下单峰函数,有唯一的极小点*x （即最优点）．在区间[],a b 中取点120.382(),0.618()x a b a x a b a =+-=+-
如果()12()f x f x >，则令11,,;a x x b ⎡⎤=⎣⎦取区间 如果()()12,f x f x ≤ 则令[]2,b x =2取区间a,x ．
这样, 通过比较()()12f x f x ，的大小, 就可以将区间[],a b 缩短为区间
[]2a,x 或[]1,x b ．因为新的区间内包含了一个已经计算过函数值的点,所以再
从其中找出一个试点,又可将这个新的区间再缩短一次．不断地重复这个过程,直至最终的区间长度缩短到满足预先给定的精度为止．
目前, 由于史文谱、刘迎曦等人的努力,用推广的黄金分割法已经能够求解部分多维区域上的函数的最优解了,可参考文献［1］． 1.3黄金分割法的应用
1953年, 美国的弗基提出0.618法获得大量应用, 特别是工程设计方面. 20世纪70年代初，我国著名数学家华罗庚在应用优选法方面做出了杰出贡献，使得黄金分割法在我国得以推广, 并取得了很大的成[]2
就.以下给出黄金分割法在生产生活及计算数学中的应用实例．
1.3.1黄金分割法在冷压装配中的应用
自行车链轮（一种板料冲压）与右轴柄（一种切削件）要装配成一个组合件，通过链轮内孔与曲柄小台阶外径处的冷压铆合来达到抗扭强度要求：经过2000KN扭力,在1min 后, 两者的铆合处不得发生转动. 冷压铆合前, 于链轮的内孔上须冲压出一定数量的不冲通内齿形. 内齿数太多, 冷压装配时曲柄小台阶外径处的材料挤压入其间因量少而铆合不牢; 内齿数太少, 材料又难以压入填满其间而铆合不牢. 故内齿数目有一个最佳值的问题.
(1)确定初始点及可行区间
原有一模具(冲头), 冲出链轮内齿40牙/周, 所有组合件均发生转动, 转动率100%; 后来加工了一个10牙/周的冲头, 结果转动率仍为60%之多.经分析, 小于10牙/周的冲头也不行.故其实验的区间为[10,40];精度要求为转动率为0.
(2) 0.618法优选齿数
①新加工模具(齿数)
1
0.618()100.618(4010)28/
a b a
λ=+-=+-≈牙周实验结果:转动率为10%.
②重新加工模具(齿数)
2
0.618()100.618(2810)21
a b a
λ=+-=+-≈牙/周
实取20牙/周（为使模具更易加工,齿数要偶数）, 实验结果：转动率为0. ③按0.618法迭代步骤,当出现|b-a|ε≤时，应取*()/2b a λ=+为最佳点. 此时应取*324λλ==. 但工程实际问题不完全是一个纯数学问题. 在这里, 还必须考虑模加工所用的成本,以及在实验中还有可能产生其它问题等. 故用20牙/周的模具就完全达到了质量要求,就不再继续迭代了. 1.3.2黄金分割在股票价格变化中的应用
通常,黄金分割法中的黄金点为0.618和0.382.但在股票价格涨幅与跌 幅的测量中, 用黄金分割法时除了用0.618和0.382作为反压点外, 其间还会用到0.382的一半这个点作为反压点, 即0.191这一点.这是股市中的实际, 也可能是其特点.
因此, 当预测股价上升能力与可能反转之价位时, 可用前段下跌行情之最低点值乘以0.191, 0.382, 0.618, 0.809, 1. 当超过一倍的涨幅时，其反压点为1.191，1.382，1.618，1.809，2，相仿当预测下跌反压点时可乘以0.809，0.618, 0.382, 0.191.
例如, 当下跌行情结束前, 某股的最低价为10元, 那么, 股价反转上升时, 可预先计算出不同反弹价位：
10*(1+0.191)=11.9元 10*(1+0.382)=13.8元 10*(1+0.618)=16.2元 10*(1+0.809)=18.1元 10*(1+1)=20元 10*(1+1.191)=21.9元
当上升行情结束前, 某股的最高价为30元, 那么, 当股价反转下跌时,下跌反压点可能为：
30*(1-0.191)=24.3元 30*(1-0.382)=18.5元
30*(1-0.618)=11.5元 30*(1-0.809)=5.7元
下面列出1970～1980年台湾股票加权股价指数的实际涨.跌值及按黄金点计算价值的对照情况表(见表2)
表2 实际涨跌值与黄金点计算值对照表
188.74429.02
257.55 688.52
688.52
430
765.71
969.25
1.3.3黄金分割在求最优值方面的应用
例1 求222121100()(1)F x x x =⨯-+-, 2.08x -≤解：根据黄金分割法有如下算[]3法：
Step 0 给定ε>0, 初始值a=-2.08, b=2.08, c=-2.08,d=2.08.令F 的矩形域的直径为0Φ, 中
心为()00,x y **,该点的函数值为0f *；
Step 1 如图2所示,分别计算a1,b1, c1, d1, p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8的位置;
Step 2 计算每个小矩形的直径,若大于ε, 则转Step 3; 否则转Step 6;
Step 3 判断该矩形中心的函数值是否小
于0f *,若是则将该中心坐标赋予()00,x y **
,将0f *
用该中心处函数值替换, 然后转Step 4; 否则转Step 5；
Step 4 将该小矩形的四角赋予a, b, c, d ，转Step 1；
Step 5 估计F 在每个小矩形的最小值,若小于已有的最优解, 则将该小矩形的四角赋予a ,b, c, d,转Step 1;
Step 6 判断该矩形中心的函数值是否小于0f *,若是则将该中心坐标赋
予()00,x y **,将0f *用该中心处函数值替换；
Step 7 打印()00,x y **
及0f *.
根据以上算法,计算其结果(见表3)：
表3 最优值计算结果
而函数的精确解是:最优点 (1,1), 最优值为0. 可见, 黄金分割法是一
图2 网格分割图（在纵横
两方向分别以0.382和0.618将矩形域分割.）
种精确度高,计算速度快的计算方法.
2、黄金分割与斐波那契（Fibonacci）数列
若数列{F n}存在这样的递推关系：F1=F2=1, F n+2=F n+1+F n, n∈N+)前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ,…则数列{F n}叫做斐波那契数列, 简称F-数列. 它是13世纪意大利数学家Fibonacci在研究小兔问题时提出的.
现在给出F-数列的通项公式（证明略）：
11
(]
22
n n
n
F
+-
=-
上式的奇妙在于：F n的表达式竟然出现了方程x2+x-1=0的一对实数根,
, 而F n竟是一个整数！
从高等数学的角度来看, 递推公式与通项公式存在必然的联系. 我们把递推公式用矩阵写出来就是：
21
1
11
10
n n
n n
F F
F F
++
+
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
=
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
而矩阵
11
10
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
的两个特征值就是
:
1
2
+
和
1
2
-
，这两个数真的出现在F n的表达式中！我们知道
,
11
2ϕ
+
=
,
1
2
ϕ
-
=-, 因此有：
()]
n n
n
Fϕϕ
-
=--
这就是黄金分割和F-数列在形式上的联系.
另外, F-数列在分析方面有一个非常优美的结[]4
果:
1
lim n
n
n
F
F
ϕ
→∞
+
=. 这使得黄金分割与F-数列的联系更加紧密. 因此, 它们在应用上也有很多共同之处. 斐波那契数列和黄金分割法相似, 他们的区别在于斐波那契数列每次
的缩短率不是常数, 而是由斐波那契数列决定的.
例2 用黄金分割法和Fibonacci 法求函数2()2f x x x =-+在区间[-1，3]上的极小点, 要求最终区间长不大于原始区间长的0.08.
解 函数2()2f x x x =-+在区间[-1,3]上为下单峰函数，且
(31)0.080.32ε≤+⨯=
用黄金分割法求解：
取10.382()0.528x a b a =+-=,20.618() 1.472x a b a =+-=, 则1 1.751,f = 2 2.695f =
12f f <，∴得到的新区间为[-1，1.472]. 仍把此区间记为[a, b]，并令
x 2=x 1，取10.382()x a b a =+-，继续迭代，直到满足精度要求，计算过程见表4
表4 迭代计算过程
经过6次迭代已经满足精度要求，最优解与最优值分别为
()1
0.4430.6650.554, 1.5712
x f **=
+== 下面用Fibonacci 法求[]5解： 由12.6n b a
F ε
-≥
=可知，应取的试点个数6n =。

第一次迭代： 最初的两个试点分别为
()4165140.53813F x a b a F =+
-=-⨯⨯=, ()526
1.462F x a b a F =+-= 21.751,
2.675.f -=1且f
[]12,.f f <∴ 缩短后的新区间为-1，1.462
第二次迭代：
令220.538, 1.751,x f ==取()315
1 1.46210.077F x F =-++=-
则1 2.083.f =
[]12,.f f >∴ 又得到新区间为-0.077，1.462
第三次迭代：
令110.538, 1.751,x f ==取()324
0.77 1.4620.0770.846F x F =-++=
则2 1.870.f =
[]12,.f f <∴ 新区间为-0.077，0.846
第四次迭代：
令220.538, 1.751,x f ==取()115
0.0770.8460.0770.231F x F =-+
+= 则1 1.822.f =
[]12,.f f >∴ 得到新区间为0.231，0.846 第五次迭代，即最后一次迭代：
令220.538, 1.751,x f ==取()1210.10.8460.2310.477, 1.751x x f =-⨯-==
12,f f =∴ 最优解可取为：()1210.508, 1.7502x x x f *
*=+== 由此我们可以看到, 这两种方法都是通过缩短搜索区间来逼近最优值的. 它们的算法在优化问题的求解中发挥着重要的作用.
3.黄金分割的另一种表示——三角表示
由00sin36cos54=，即()()00sin 218cos 318⨯=⨯
得003002sin18cos184cos 183cos18=-
又0cos180.≠
∴0202sin184cos 183=-
()()20200
04sin 182sin18102sin182sin18102sin18ϕ∴+-=∴+-=∴= 我们称含有黄金分割比ϕ的图形为"黄金图形".
因此顶角为036的等腰三角形是一个黄金三角形(如图3)：
作AD BC ⊥于D ,由等腰三角形的性质可知,012
sin18BC AB
=,即02sin18,BC AB ϕ==亦即包含了黄金分割比. D 图3
被冠以“黄金图形”的几何图形还有很多: 黄金矩形、黄金椭圆、黄金立方体、五角星等. 这些图形蕴含着客观美和数学的奇异之美,深受人们的喜爱与重视, 在艺术及生活中都有着广泛的应用.
参考文献：
[1] 史文谱,刘迎曦,巩华荣，李翠华.黄金分割法在无约束多元优化问题中的应用[J]东北师大学报自然科学版,2003,35(2):11-14.
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